2023年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试题-含答案

2023年全国高中数学联赛重庆预赛试题

一、填空题(本大题共8小题，每小题8分，共64分)

1.设集合｛：+"门W/Wuw｝中的最大元素与最小元素分别为河,N,则=

2.设/(2)是二次函数，且2/—4工+3</(2)<3/—6多+4,/(3)=11,则/(5)=

3.若实数多,“满足4--23/+2/=1,则3x2+xy+y2的最大值与最小值的和为

4.一只蚂蚁在正方体ABCD-EFGH的顶点A处，每次等概率地爬行到相邻三个顶点中的一

个，那么六次爬行之后回到顶点A处的概率为.

5.设Q,]G肢，且满足sinoi•cos/3+|cosa•sin例=sina•|cosa|+|sin/3|•cos/3,贝U(tan7—

sina)2+(cot7-cos/?)2的最小值为•

7/2

6.双曲线彳—3=1的左、右焦点分别为A,B,P是双曲线上一点，若4PAB的内切圆圆心

晨16

为1(3,1),则APAB外接圆的半径为.

7.已知复数z满足闫=1,则,3+?2_5z+3］的最大值为

8.棱长为V2的正四面体ABCD中，已知国5=|lB,AQ=|ZC,AR=|AD.若点K为

△BCD的重心，则四面体KPQR的体积为-''

1

二、解答题（本题满分56分）

9.（本题满分16分）设工,沙,zNO,且2+9+?=2,证明：3a?+3xy+16xyz<12,并指出其中

"=”成立的条件.

I2a2

10.（本题满分20分）已知A为正实数，数列｛时｝满足：ai=an+1="2:一

34。夕—2（1n+1

m

1,2,3,若对任意的巾eN*,都有£伙<r求人的最小值.

k=l

力27/22

11.（本题满分20分）已知椭圆C：玄+*=1（a>b>1）的离心率为以其左顶点K为

Q?/

3Q

圆心，V6为半径作圆K,圆K交椭圆于A,B两点,且线段AB中点的横坐标为一行

（1）求椭圆。的方程；

9

（2）圆K交直线/=—］于C,。两点，点P在线段CD上，过点P作椭圆的两条不同切线

PE,PF（耳F为切点），求4PEF面积的取值范围.

2

2023年重庆市高中联赛预赛试题参考答案

考试时间：80分钟

一.填空题(本题满分64分，每小题8分)

I.【答案】20石

【解析】由I<x<v<5.—+i^<-+5=10.x=l,y=5时取得最大值M=10.又』+^2—+工22后.

X'1XX

x=y=括时取得最小值N=2，L则脑V=20石.

2.【答案】41

【解析】2(x-lF+14/(x)43(x-ir+l,设/(x)=o(x-l)2+lj(3)=ll=a=g,则/(5)=41.

3.【答案】3

【解析】齐次化，设3/+叼，+/=翻4/-4不，+2/),则

(4k-3)x2-(4A+1)即+(2A-1)炉=0

当4=3时，-4xv+—V2=0.x=1,y=0是一组解.

422

3

当Aw—时，A=(4*+1)2/-4(4k-3)(2k-1)y2>0.

4

、I3

若y=0,则/=一,A=—,舍：

44

若ywO,得-16公+481120二>14%4〃，且均能取等，

44

从而3x2+号+/的最大值与最小值和为3.

4.[答案】-

243

【解析】如图将顶点分成四类{4},{8,0,E},{C,〃/},{G}

第一次后在四个集合概率分别为：(0,1,0,0)

第二次后在四个集合概率分别为：

吗,吟

第三次后在四个集合概率分别为：

(■。片，0)

第四次后在四个集合概率分别为：

2727

小61-20、

第五次后在四个集合概率分别为：、一，，一，，

8181

第六次后在四个集合概率分别为：(包,0,竺2,o)

243243

则第六次回到力的概率为里.

243

5.【答案】3-2痣

【解析】已知等式变形为(sina-|sin〃|)(cos/?-|cosa|)=0.ax=sina,y=cos/,则

)(v-Vl-x2)=O.从而x=Jl-y2或丫=J]..?,其图象是单位圆在一、二、四象限

I

(包括坐标轴)的部分，乂(tan/,cot?)为双曲线号，=1上的点，由几何意义知道所求值为距离最小值的

平方(a-1『=3-2"

6.【答案】—

12

【解析】由双曲线性质知。=3,设右顶点为C,则E4-P8=2R(sin8-sin4)=6，

又tanO='-=1,tanH=」一=L,从而有sin4=3,sin8=±,代入得/?=竺

2BC22AC865512

7.【答案】粤1

【解析】z=x+yi(x,y£R),x24-y2=1.从而有

u=|z3+z2-5z+3|=|(z-l)(z2+2z-3)|=|(z-1):(z+3)|

=|z-l|-|z-l|-|z+3|=\l(x-])2+y2-J(x_])，+/.&+3)，+/

=yj2-2x-\l2-2x-V10+6x=；j3-3x•y/3-3x•J10+6x

3-3x+3-3x+10+6x|=*叵，当且仅且x=-N时取等.

43279

8.【答案】—.

36

【解析】如图由于K为重心，则匕.=，匕^~+分勺+匕小。，

根据AQ=-AC.AR=^ADn

.._1.._1I1..

=$“B4QR=33,^BACD

221133I1z

=

V《'PQR=T匕PART，CBAD，噎叱=T匕"0/T^DBCA

•JJ4*•"••4J

将四面体"CO放入边长为l的正方体中知VWD=1

=八L+Z+3rVABCD=,—/

24242436

2

二.解答题(本题满分56分)

9.(本小题满分16分)

【解析】证明：

由二元均值不等式

3X+8.W+16XVZ=3X+8AY(1+2Z)

=3x+4x(2y)(l+2z)43x+4x(生中史=3x+4.vf1+2^-'V)j=4x3-20x2+28.r

只需证4/-20x2+28x412……8分

这等价于4(3-x)(x-1)?NO……12分

取等为x=l,2y=l+2z,解得x=l,y=3,z=1....16分

44

10.(本小题满分20分)

【解析】A=1

廿“cE14a2-2a+11cl1

首先，a„*0,则---=--------——=>-----=2----+——5分

a»+i2aM4+]u„2ali

令上=b.，则如-2=-b“+与.

a.2

接下来证明引理：>0,3m>0,bm>M.

由于％==3,根据一2=%(“一2)知6“>2且单调增.

a}2

...2>|("-2)=a>§)1(«-2)+2,引理得证.

10分

15分

对册”,有功*多六一九心力一（二1

b*i-2

并且若4<1,令小充分大，与引理矛盾.20分

3

U.（本小题满分20分）

上+£=i

C23V52c2-C2

【解析】（1）设e=-=+,则。=2c,b=*c,联立｛44消去y得:

322

0f3V2,

lx+—cl+y=6

42,7,23xv

-x+3cr+-c-6=0,代入x=-2解得。=2,从而椭圆方程为。：一+二二..5分

92295

（2）易知半）设？（-；,，，注意到直线£尸方程为

--x+^=l.椭圆方程二+二=1联立消去x得（9/+9]/一8"-25=0,

10分

25