高考数学 二倍角的三角函数 考点梳理及习题训练

10.2二倍角的三角函数

【考点梳理】

考点：二倍角的正弦、余弦、正切公式

【题型归纳】

题型一：二倍角的正弦公式

1.（2023秋・湖南郴州•高一统考期末）已知角。的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若角a的终边过点

’_立［

P,则sin2a=()

2’2

_73B

A.-1C.一直D.1

44

2os200-sinl00_

2.（2023秋•重庆沙坪坝•高一重庆一中校考期末）C

cos40°-Jl-sinl0°

A.1B.V2C.\/3D.y/6

（2022春•海南省直辖县级单位•高一海南二中校考期中）sina+cosa=-1,sin2a

3.)

_24D241212

A.B.—c.——D.——

25252525

题型二：二倍角的余弦公式

4.（2023秋・山西朔州・高一怀仁市第一中学校校考期末）已知coscr+gsina=1,则cos[2a+；]=（）

47―4141

AB.——C.——D.—

-s505050

5.（2。23秋.陕西渭南.高一统考期末）已知。终边上一点哈则二^二（）

A.妪

R4A/3「8gr>8后

3333

6.（2023秋•重庆南岸•高一重庆市第十一中学校校考期末）已知sin卜-则sin（2"：|=（）

A1n1

A.-B.——C.±-D

339-1

题型三：二倍角的正切公式

「k3—tan1”

7.（2023秋•陕西榆林•高一统考期末）已知-------二4,贝!jt3n2。=（）

2tan。

D.N

A.-B.--C.-

4334

21

8.（2022秋・广东茂名•高一茂名市第一中学校考期中）tan（a+/?）=《,tan（a-夕）="贝Ijtan2。=（）

9.（2022・全国•高一假期作业）已知。£（0,4），sina-cosa=L则tan2a+5s；nacos'=（）

5cosa-sma

A.—B.12C.-12D.--

77

题型四：二倍角公式的综合应用

10.（2023秋・云南昆明•高一统考期末）计算下列各式的值：

（1）cos2150-sin215°;

小、1+tan15。

（2）------------；

1-tan15°

⑶sin210°+cos255。+0sin10°cos55°.

zy1

11.（2023秋•陕西渭南•高一统考期末）（1）已知sina=sin2万-万，求sinacoscr+cos2a的值;

/c、一tbr兀711rn.isin2x+2sin2x

（2）已矢口——<x<一,sinx+cosx=-,则------------.

2251-tanx

12.（2023秋•湖南娄底•高一校考期末）已知cos（a-qj=，^sina.

（1）求tane的值；

⑵求2sin（2a+1■bsin（2（z+万）的值.

【双基达标】

一、单选题

13.（2023春.安徽•高一合肥市第八中学校联考开学考试）下列各式中，值为g的是（）

A.2COS2150-1B.2sin75°cos75°

—tan30°+tanl5°

C.cosl8°cos42°+sinl8°sin42°D.---------------

l-tan30°tanl5°

14.（2023秋•陕西宝鸡•高一统考期末）sin2--sin24=（）

B.正C.BD.昱

A-I

223

1且羽，贝(Jtan2<z=

15.(2023秋「可南安阳•高一统考期末)若sinm-c)=-一，)

322

A.一谑口40「40D.逑

D.--------C.------

7997

,(兀、

1-tana—1

5±口±4mBE甘口土、生14,

16.(2022秋，力用刀士〉•问4乂,5城，卜，4=1、,则cos2夕的值为()

-r

-t2

1+tan-4

-

z-4

A-3

B.|

55

4

c.--D.|

55

一课时练习）若。+?=7]T,贝IJ（

17.(2023・高一7-

Aa叵誓B.-sin/3

A.cos—=—4i匕二

2722

户口|l+sin〃

I—sin-

。•呜=±[g〃=±

1+sin夕2l-sin,

a东深圳•高一校考期末）已知)则cos(2tz+g)=()

si"।

18.(2022秋a二,

—)

A.317八D.拽

B.-----C.1

252525

3/—2cos20—\

19.(2022秋・吉林长春・高一东北师大附中校考期末)已知此(二㈤，且cos。-sin。=-3，则等于(

42cos(—+0)

4

A&_1c1D&

.-------1R5•L.L.J.----

2222

20.（2023秋・山东荷泽・高一统考期末）已知tan（兀+6）-西士询=],则

0sin（2e+；）+2cos?（一8）=（）

321

A.——B.——C.——D.0

1055

21.（2023秋・云南昆明•高一昆明一中统考期末）已知。是钝角，口是锐角，cos^-^=1,sin（a+^）=1.

⑴求sin2a的值；

⑵求sin（6+T的直

47T

22.（2023秋•贵州贵阳•高一统考期末）已知sina=M，M-<a<n.

（1）求tan。的值；

⑵求cos12a+：）的值.

【高分突破】

一、单选题

1+A/2cos(2a-—)

34

23.（2022秋.湖南长沙.高一湖南师大附中校考期末）已知。是第三象限角，且cos（兀-a）=g,则

,,71、

sm(—+«)

()

2D1「2「14

A.

5555

（2022・浙江•高一校联考期中）若tan〃=3,则巴二也也=（）

24.

sin6-cos6

2口2厂1

A.

5555

（2022秋・江西宜春・高一江西省丰城中学校考期中）若sin[1+a）=；,则cos2a+cosa=（）.

25.

3131-4n7

A.

323298

26.（2022春・江苏苏州•高一统考期末）已知向量。=（3$111%-2）,6=（1/-850），若Q./?=-2,贝！Jtan2a=（）

126―126

A.

131355

27.（2022・高一课时练习）化简,2—2sin20—川+cos20的结果是（）

A.0cos10B.cos10

c.V2sinl0D.-V2sinl0

二、多选题

a

tan—

28.（2023秋・湖南湘潭・高一统考期末）已知a是第三象限角，且——2—=1,贝1」（）

1-tan2-

2

R2小

A.tana=lB.sma=--------

5

4(兀)1

C.sin2a=—D.tana——=——

514J3

29.（2023秋・湖南湘潭•高一统考期末）下列等式正确的是（）

A.sinl50cosl5°=—B.2sin222.5°-l=—

42

ctan710—tan2601

C.sin26°cos340+cos26°sin34°=—D.---------------------二1

21+tan71°tan26°

30.（2023秋•陕西榆林•高一陕西省榆林中学校考期末）计算下列各式的值，其结果为1的有（）

U16

A.cos40(1+gtanlO)

2、cos80sin80

C.sin140(6-tan190)D.4sin18°-sin54°

31.（2022春.海南省直辖县级单位•高一嘉积中学校考阶段练习）下列命题成立的是（）

A.tan220+tan230+tan22°-tan23°=-1B.cos50°(tanl00-A/3)=-l

c1-cos27001D.若sin'+a]=；,贝l]sin]?_2“=(

1+cos4002

32.（2023秋・广东深圳•高校考期末）下列各式的值为1的是（）

.tan20+tan25

A.---------------------

tan20tan25-1

B

-log627+log68-

C.sin72cosl8-cosl08sinl8

D.2COS222-5-1

33.（2022秋・广东江门•高一江门市第一中学校考期末）下列计算结果正确的是（）

A.3(-15。)=B.sinl5°sin30osin75o=-

v748

tan22.5。_1

C.cos(or-35°)cos(25°+cr)+sin(tz—35°)sin(25°+a)=——

tan45°-tan222.5°~2

填空题

cosla_1

34.（2023秋•安徽六安•高一六安一中校考期末）已知:贝hin2a的值是

I4j

35.（2023秋・吉林松原•高一松原市实验高级中学校考期末）已知a,/为锐角，tana=1,tan（a+^）=l,则

tanOL-----

（2022秋•河南开封•高一校考期末）已知sin2a=3,则一^-M的值为

36.

3tana+一

I6)

37.（2023.高一课时练习）计算：cos?8+看-sin?夕+看=

0

38.（2023•高一课时练习）己知，为第二象限角，25sin2e+sin6-24=0,则cos^的值为

39.（2023・高一课时练习）若。＜a（工，化简：卜侬（兀+2-1=______.

2V2cosa

40.（2023・高一课时练习）已知cos26=正，贝【Jsin,e+cos,夕的值为.

3

四、解答题

41.（2023秋•重庆•高一校联考期末）已知2sina=cosa.

（1）若a为锐角，求cos（c+；J的值.

sin2a-cos2a

⑵求的值.

3sin2a+cos2a

42.（2023秋•重庆南岸•高一重庆市第十一中学校校考期末）在平面直角坐标系中，已知角a的顶点为原点，始边为

x轴的非负半轴，终边经过点P（T,3）.

sin(3»+a)+2sin仁+a

⑴求的值;

2cos(2万一a)

cos2cr

⑵求时值.

cos2a+sin2a

已知tana―+-一-1=7.

43.（2023秋・浙江温州•高一统考期末）

tana+—+1

I4j

(1)求cos2a的值;

小、为2sin2<z-sin2a

(2)求——-----------的值.

1+tana

cos2x

+2sinx

44.（2023秋•河北邯郸・高一校考期末）已知函数

⑴求函数“X）的单调递增区间;

JT

⑵求函数y=〃2x),xe0,-的值域

【答案详解】

1.A

【分析】根据三角函数的定义得sina=2=L,cos1=±=-3，再运用二倍角公式

r2r2

sin2a=2sinacosa解决即可.

【详解】由题得，角。的顶点为坐标原点，始边为1轴非负半轴，若角。的终边过点

小I卓2。2J

所以7=[0尸|=+

所以sina=)=±cosa=-=-^~,

r2r2

所以sin2a=2sinacosa=2'--正,一且

故选：A

2.D

【分析】利用两角和与差的余弦公式将cos20。转化为cos(30-10),进行展开，对于分子则

是结合二倍角正弦公式及完全平方式进行化简，最后再约分即可.

【详解】

2cos20°-sin10°__________2cos20°-sin100__________2cos(30-10)-sinlO

cos40°•^1-sin10°cos40°-Vcos25-2sin5cos5+sin25cos40'J(cos5-sin5)2

cos10+sin10-sin10^3cos10遭cos10

cos40(cos5-sin5)cos40(cos5-sin5)cos40'>/2sin40

sin80cos10

故选：D.

3.A

【分析】把已知等式平方化简即得解.

(详解】sina+cosa=-(两边平方得

『=£

(sina+cosa/.sin?。+2sinacosa+cos26Z=——,

25

l+2sinacosa=—

25

sin2a=------

25

故选：A

4.D

【分析】利用辅助角公式求得sinL+j]=2,然后利用二倍角公式计算即可.

I071。

【详解】costz+Aina=2sin,+「=[,则sin(c+T=得，

贝!]cos[2a+；1=cos+=l-2sin2，

故选：D.

5.B

【分析】由终边坐标求得正余弦值，结合倍角公式求值即可.

【详解】由题意可知点岑J,所以sina=¥，cosa=-1,

sin2a=2sinacosa=，cos2tz=2cos2tz-l=——,

22

,2cos2a+34^/3

••---------=-----.

sin2cr3

故选：B.

6.A

71(71\71

【分析】由题意可得，2a--=2由二倍角公式结合诱导公式代入化简即可求

6V3J2

解.

【详解】sin|2a-^|=sin

故选：A.

7.A

【分析】利用二倍角的正切公式求解.

【详解】解：由射=4,得，皿，斗

2tan。3

则tan2a=

1—tan2a4

故选：A

8.D

【分析】根据正切函数的和角公式，由2a=（。+4）+（&-4），可得答案.

21

+13

【详解】tL…+"）］=14

黑段就蜉21

1-—X—18

54

故选：D.

9.C

【分析】先求出sina,cos。和tana,利用二倍角公式求出tan2a,直接代入即可求解.

【详解】因为。£(0,万)，sina-cosa=1,sir?0+cos2a=1

,434

角牟得：sin«=—,cos所以tana=§.

2x-

29tana324

所以

tan2e=2

1-tan12a47.

1-

5xV

35sinacosa2455

所以3+赤石前-----+

7

故选：C

10.(1

⑵6

⑶3

【分析】（1）利用二倍角公式求得正确答案.

（2）利用两角和的正切公式求得正确答案.

（3）利用两角和的余弦公式、二倍角公式、降次公式、诱导公式等知识求得正确答案.

【详解】(1)cos215°-sin215°=cos30°=—

2

1+tan15°tan450+tan15°._..rr

(2)------------=----------------------=tan(z45o+15°oA)=V3.

1-tan15°1-tan45°tan150'7

(3)sin210°+cos255°+72sin10°cos55°

2

=sin10°+1+8S110。+拒sin10。cos(45°+10°)

2

,1+cos(90°+20°)r-/、

=sin210°+---------------------+V2sinl0°(cos45°cosl00-sin45°sin10°)

=sin2100+1二sm20。+缶布10°(虫侬10°一且布10°

2U2J

i20°

=sin210°+-------------+sin10°cos10°-sin210°

2

_l-sin20°

+-sin20°=-

―222

24

11.(1)—；(2)

175

【分析】⑴根据题设条件利用倍角公式整理得tauj再根据齐次式问题化简求直

(2)先根据(sinx土cos%)?=l±2sinxcosx运算求解，注意符号的判断，再结合倍角公式公式

化简求解.

zy1zy1

【详解】(1)*.*sincr=sin2-------,则2sina=2sin2------1=-coscr,即tana=——,

2222

.八sintrcoscr+cos26r-sin2crtancr+l-tan26Z741

/.smacosa+cos2a=--------口-------------=--------------=—\-----=—.

sina+cos%tana+1—+15

4

21

(2)sinx+cosx=—,贝U(sinx+cos%)=sin2%+cos2x+2sinxcosx=1+2sinxcosx=——,

5

整理得2sinxcosx=-----,

25

49

所以(cosx-sinx)2=1一2sinxcos=—,

兀7112

又,:——<x<一,贝Ucosx>0,且sinxcosx=-----<0,

2225

贝!jsinx<0,BPcosx-sinx>0，

_241

sin2x+2sin2x2sinx(cosx+sinx)2sinxcosx(cosx+sinx)-25x524

1-tanx]sinxcosx-sinx7175

cosx5

12.(1)3

(2)-1

【分析】(1)根据两角差的余弦公式可得3cosa=sina,结合同角三角函数的关系即可求解;

(2)根据诱导公式、二倍角的正、余弦公式化简和切弦互化可得

2sin6a+g]-sin(2a+切=2-2tan：a+2tana,结合(i)即可求解.

k2)tan*26Z+l

【详解】(1)由题意得，

(16.6.1.

cosa----=—coscrH-------sma=——sincr+—sincr,

I2226

，口-.r,,.sinac

得3cosa=smaf贝IJtana=-------=3.

COS6Z

(2)2sin[2a+^J-sin(2a+»)

=2cos2a+sin2a

=2cos2cr-2sin2cr+2sin(2coscr

2cos2cr-2sin2a+2sinacosa

一•22

sin6z+cosa

2-2tan2cir+2tancr

=2=-1,

tana+1

13.B

【分析】利用二倍角公式和两角和与差的三角函数公式，结合特殊角三角函数值逐项判断即

可.

【详解】2COS2150-1=COS30°=^,故A错误；

2

2sin75ocos75°=sinl50°=sin30°=-,故B正确；

2

cosl80cos42°+sinl80sin420=cos(18°-42°)=cos(-24°)wg,故C错误;

tan30°+tanl5°

=tan(30°+15°)=1,故D错误,

l-tan30°tanl5°

故选:B.

14.C

【分析】先利用诱导公式化为同角，然后利用倍角公式计算即可.

71•27171

【详角星】sin2--sin2-=cos2-----sin—=cos—=

1212121262

故选：C.

15.D

【分析】由诱导公式求出sine=-;，由同角三角函数关系结合a的范围得到cosa=-述,

33

得到正切值，进而利用二倍角公式求出答案.

【详解】由题意得$山(兀-&)=$1111=-3,

L兀//371LLt、l/02J2

又5<1工彳，所以cosau-Jl-sin?。=-----

223

〜.sina1

所以tana=-------

cosa_2V2,

2tana

故tan2a=

1-tan2a

故选：D

16.A

【分析】由已知可得tan(a-进而求出tane=2.将cos2a化为二次齐次式，即可求

出结果.

(兀、

1_tancc—(、

【详解】由----74=:可得，tan1=1，

1+tanL-^j2I4J3

兀「兀、

tan—+tana—；

4I4)1+-

所LL以2tana=tan—兀+a——兀__3_2

[4411'

1-tan—兀tan(a兀——1—

4I43

cos2a-si・n2a1-tan2a_3

所以cos2a=cos2a—sin2a=

cos2a+sin2a1+tan2a5

故选：A.

17.C

jrryry

【分析】由a+尸可得cosa=sin6,利用二倍角公式可得出cos],si吟，进而得出

ry

tan],根据结果判断即可.

2

[详解]因为a+£=|>所以cosa=cos]]_£)=sinQ.

因为costz=2cos20-l,所以cosq=土J+o'々=土代史明,故A错误;

22V2V2

因为cosc=l-2sin2],所以sin4=土巨逐=±巨迹,故B错误；

22V2V2

由上面的推导可知，cos里=土近还,sin?=±、仁5还，所以

2V22V2

.a

sin—

a1-sin/?

tan—=」=±，故C正确，D错误.

2a1+sin/?

cos—

2

故选：C.

18.B

【分析】利用诱导公式和倍角公式即可求解.

【详解】依题意,

cos2aH■一=cos2a——+71=-cos2(cr-y

I3I3

2

712

=2sin2a~~—l=2x

故选：B.

19.A

【分析】利用平方关系由cos。-sin。结合已知角的范围求出COS29的值，再代入二倍角公式

和和角公式计算即可.

【详解】因为cos8-sine=

2

7

所以(cos0-sin6)2二cos20+sin2。-2sin6cos。=1一sin2。=—,

4

3

所以sin2。=——.

4

343冗

因为人（彳㈤,所以2—（耳,2万）,

所以cos26=Vl-sin220=

4

2cos20—\cos2。

则

cos(£+。)f(cos0-sin9)714-2

4

故选：A.

20.D

110

【分析】由tan（兀+0）-=了以及诱导公式求出tan9=3,再利用两角和的正弦

tan(2兀-6)

公式、二倍角公式以及同角公式将应sin126+：J+2cos2（-0）化为tan。的形式，代入

tan。=3即可得解.

/Q1io

【详解】因为tan(兀+。)-而=

所以3”商濡10

3

所以tan6+-,

tan。3

所以Stan?e-10tan，+3=0,

所以tan6=；或tan9=3,

因为所以tan9>l,

42

所以tan8=3,

所以0sin126+m+2cos2=A/2fsin20cos：+cos20sin:j+2cos26

=sin20+cos2^+2cos26

2sin。cos6

+cos2。一sin?6+2cos之0

sin2+cos2

2tan63cos2sin20

tan20+1sin2+cos20

2tan63-tan20

tan20+1tan2^+1

_2x3+3-9

一__9+1

=0.

故选：D

7

21.⑴一§;

0、4+6^/^

【分析】(1)根据诱导公式可得sin2a=cos21a-：J,再由二倍角的余弦公式即可求解;

(2)根据同角三角函数的基本关系分别求出cos(a+0,sin["：],由

sin,+:卜in(c+0一及两角差的正弦公式即可求解.

【详解】(1)sin2a=cos2[a-：)=2cos?=2x[g]-1=.

4

(2)因为a是钝角，夕是锐角，sin(a+^)=-,

y2兀_„7171„3717171371

\以—<6Z<71,0<y^<—;5<a+/<,—<C6Z——<C,

._____________□

所以cos(a+,)=_Jl^sin^«Ty0y=_g,

⑵喑

【分析】(1)先由同角三角函数的平方关系结合角的象限计算cosa,再由商数关系计算

tana；

(2)先由二倍角公式计算cos2/和sin2a,再代入和差角公式计算即可.

冗3

【详解】(1).^<a<n,cosa=-Vl-sin2

5

4

sina4

tana=-------

cosa3

5

,3

(2)由(1)得cosa=-y,

所以cos2a=2cos2a-l=2x

sinla=2sincrcoscr=-----,

25

匚UI、I兀\c兀.c.兀V27,24.17A/2

所以cos2a--=cos2ocos----sin2asin—=——Ir---------(------)n1=-------

v4j442252550

23.D

【分析】根据诱导公式及同角三角函数关系与二倍角公式即可得解.

2

34

【详解】由已知得cosa=-£sina=-,则原式

5

1+cos2a+sin2a2cos?a+2sinacosa。0.6814

=-----------------------=-----------------------------=2cosa+2sma=---------=------.

cosacosa555

故选：D

24.D

【分析】利用同角三角函数关系，结合正弦的二倍角公式，带值计算即可.

cos0(1-sin2^)cossin2O+cos?e-2sin6cose)cos/sine-cosej

sin6-cos6sin6-cos6sinO-cos。

cos6(sin6-cos6)tan^-1