2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试（新高考专用）常用逻辑用语 含解析

专题02常用逻辑用语

知考纲要求

识考点预测

梳常用结论

理方法技巧

题型一：充分、必要条件的判定

题题型二：由充分条件、必要条件求参数的范围

型题型三：充要条件的探求与证明

归题型四：全称量词与存在量词

类题型五：命题中参数的取值范围

训练一：

培训练二：

优训练三：

训训练四：

练训练五：

训练六：

强单选题：共8题

化多选题：共4题

测填空题：共4题

试解答题：共6题

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.

2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系.

3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定.

【考点预测】

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p=>q，则p是q的充金条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件pnq且q书p

p是q的必要不充分条件p^q且qnp

p是q的充要条件pgq

p是q的既不充分也不必要条件p中q且q勺p

2.全称量词与存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号'V'表示.

(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号2”表示.

3.全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

结构对M中的任意一个X,有p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立

简记3x£M,p(x)

否定非p(x)YKRM,非0(X)

【常用结论】

1.区别/是8的充分不必要条件(/08且8分⑷，与力的充分不必要条件是3(30/且/分8)

两者的不同.

2.充要关系与集合的子集之间的关系，设4="抄(刀)},B={x\q(x)},

(1)若NU8,则p是g的充分条件，q是"的必要条件.

(2)若N是8的真子集，则?是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.

(3)若N=8,则p是q的充要条件.

3.p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件.

4.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.

5.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定.

6.命题p和非p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假.

【方法技巧】

1.充分条件、必要条件的两种判定方法：

⑴定义法：根据?=必进行判断，适用于定义、定理判断性问题.

(2)集合法：根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的

推断问题.

2.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出

关于参数的不等式(或不等式组)求解.

(2)要注意区间端点值的检验.

3.量词的否定注意事项

(1)含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.

(2)判定全称量词命题“VxWM,双x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成

立；要判定存在量词命题p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x,使p(x)成立

即可.

(3)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是

利用等价命题，即p与非p的关系，转化成非p的真假求参数的范围.

二、【题型归类】

【题型一】充分、必要条件的判定

【典例1］已知p：Uy,q：log2X<0,则夕是“的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】由知x>0,所以P对应的X的范围为(0,+oo),

由Iog2%<0知0<%<1,

所以q对应的x的范围为(0,1),

显然(0,1)是(0,+8)的真子集，

所以p是q的必耍不充分条件.故选B.

【典例2】等比数列｛斯｝的公比为q,前〃项和为S,“设甲：q>0,乙：｛例｝是递增数列,则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

n

【解析】当©<0,时,a„=aiq-'<0,此时数列｛S〃｝单调递减,所以甲不是乙的充分条件.当

数列{£}单调递增时，有列+1—5“=/+1=41/>0,若m>0,则/>O(〃eN*),即g>0；若m<0,

则gYOSWN*),不存在.所以甲是乙的必要条件.故选B.

【典例3】在△/8C中，7¥+8c2=4〃，堤"△N8C为直角三角形”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】在△/BC中，若+8c2=^^,

则N8=9O。，

即△N8C为直角三角形，

若△Z6C为直角三角形，推不出N8=9O。，

所以AB2JrBC1=AC1不一定成立，

综上，Z82+8G=NG”是“△28。为直角三角形”的充分不必要条件.故选A.

【题型二】由充分条件、必要条件求参数的范围

【典例1】已知集合4=8x—20W0},非空集合8={x|l-mSxS+m}.若是

的必要条件，求机的取值范围.

【解析】由N—8x—20<0,得一2<x<10>

/.J={x|-2<x<10}.

由xGZ是x£8的必要条件，知尤4

1—ni<\+/»,

则T一掰之一2,0<w<3.

.1+w<10,

二当03加二3时，是的必要条件，

即所求机的取值范围是[0,3].

【典例2]已知p-.x>a,q：|x+2a|<3,且p是4的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()

A.(—co,-1]B.(-co,-1)

C.[1,+oo)D.(1,+00)

【解析】因为小|x+2a|<3,

所以q：—2a—3Vxv—2。+3,

记力=3一2。一3<尤<—2。+3},

p：x>a,记为8=｛x|xN。｝.

因为p是g的必要不充分条件，所以/是8的真子集，

所以ag—2a—3,解得好一1.

故选A.

【典例3】若不等式（x—a）2<］成立的充分不必要条件是l<x<2,则实数。的取值范围是

【解析】由（x—。）2<1得a—l<x<a+1,

因为1cx<2是不等式（x—q）2<l成立的充分不必要条件，

所以满足产―I"且等号不能同时取得，

\fl+l>2

即解得l<a<2.

介1，

【题型三】充要条件的探求与证明

2

【典例。数列｛为｝的前〃项和Sn=An+Bn（A,B是常数）是数列｛劣｝是等差数列的什么条件？

【证明】当〃>1时，an=Sn-Sn-\=2An+B—A；

当〃=1时，a\=S\=A+B,适合。"=2/〃+8—4

所以0,=2/〃+8—4显然｛呢｝是等差数列，故充分性成立.

反之，若｛小｝是等差数列，则有d（d为公差）,即£=，?2+标|―3〃.

设〃=’,B=a\—~,即得S"=/〃2+B〃，

22

因此，必要性成立.

所以S“=/〃2+6〃（N,B是常数）是数列｛m｝是等差数列的充要条件.

【典例2】已知〃?ez,关于x的一元二次方程

%2—4x+4m=0,①

x2-4znr+4m2-4加一5=0,②

求方程①②的根都是整数的充要条件.

【证明】方程①有实数根。/=16—16哈0,即Y1，

方程②有实数根=/=16〃?+20之0,即m>一

4

*0.方程①②都有实数根o—^<ni<1.

■:mGZ,:・m=-190,1.

当相=一1时，方程①可化为X2—4X—4=0,无整数解；

当〃?=0时，方程②可化为r-5=0,无整数解；

当加=1时，方程①②都有整数解.

综上所述，方程①②的根都是整数的充要条件是加=1.

【典例3】求方程"2+2》+1=0至少有一个负实根的充要条件.

【证明】（1）当。=0时，方程为一元一次方程，其根为x=—g,符合题目要求；

⑵当今0时，方程为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式/K）,即4一4d0,从而H1.

设方程加+2》+1=0的两实根为XI,X2,则由韦达定理得Xl+X2=—2,X1X2=1.

aa

a<\,

①方程ax2+2x+1=0恰有一个负实根的充要条件是lyn得a<0；

a

a<\,

—-<o,

②方程af+2x+1=0有两个负实根的充要条件是，a得0<日1.

->0,

综上，方程ar2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是a<\

【题型四】全称量词与存在量词

【典例11下列四个命题中真命题是（）

A.n2>n

B.R,nvn=m

C.m2<n

D.n2<n

【解析】对于选项A,令〃即可验证其不正确；对于选项C,D,可令〃=-1加以验证,

均不正确，故选B.

【典例2］下列命题中的假命题是（）

2

A.VxGR,2foB.Vx£N+,（x-l）>0

C.3xGR,lg%<1D.BxGR,tanx=2

【解析】当x@N+时，x—1GN,可得（x—1）2之0,当且仅当x=l时取等号，故B不正确；易

知A,C,D正确，故选B.

【典例3]已知命题p：Vxi,X2^R,[/（X2）—J（X1）]（X2—XI）>0,则rp是（）

A.Bxi，X26R,[/（X2）—/（X1）]（X2—X|）<0

B.Vxi,X2^R,[/（X2）—fix1）]（X2—X1）<0

C.3X1,X26R,[/（X2）—/（X1）]（X2—X1）<O

D.Vxi,X2GR，[/（X2）_/（X1）]（X2~x\）<0

【解析】已知全称命题p：Vxi，X2^R.[A^2）~j（x\）]（X2—Xi）>0.则rp：3xi，X2£R»网2）—/（X1）]（X2

—xi）<0,故选C.

【题型五】命题中参数的取值范围

【典例1】已知兀0=111停+1）,g（x）=O一机，若对V»C[O,3],3x2e[i,2],使得危1）羽>2）,

则实数m的取值范围是.

【解析】当xe[0,3]时,Xx）min=y（0）=0,当xw[1,2]时，

g（x）min=g（2）=1-TH9由虱X）min，

得ON；-m,所以mN；.

【典例2】己知命题“VxWR,/一5》十”4>0”的否定为假命题，则实数”的取值范围是

2

【解析】由“VxGR,x2-5x+"a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式/

2

—5x+—a>0对任意实数x恒成立.

2

设危）=/-5丫+5。，则其图象恒在X轴的上方.

故/=25-4x"a<0,解得。丁，

26

即实数。的取值范围为A'+°°1

【典例3】若命题“VxW[1,4],4x—加加"是假命题,则〃z的取值范围是（）

A.—4<m<—3B.m<—4

C.m>—4D.-4</?1<0

【解析】若命题“VxW[1,4],/一以―是假命题，

则命题Txe[l,4],x2—4x-m=0”是真命题，

则w=x2—4x,

设,='2一4》=(》-2)2—4,

因为函数歹=/-4x在(1,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增，

所以当X=2时，Jmin=—4;

当X=4时，_Vmax=0,

故当1―4时，-4勺&),则一4WmW0.故选D.

三、【培优训练】

【训练一】已知函数危)=」-1(烂2),g(x)=av(a>l).

x—1

⑴若*W[2,+oo),使/(X)=M成立，则实数机的取值范围为；

(2)若VxiG[2,+oo),3x2[2,+oo),使得火xi)=g(X2),则实数a的取值范围为.

【解析】(lM-v)=1+-1-+1>2+1=3,当且仅当x=2时等号成立.

X—1X—1X—1

若mxd[2,+oo),使成立，则实数"7的取值范围为[3,4-00).

(2)当定2时，外巨3,g(x巨。2,

若VxiG[2,+oo),3x2G[2,+oo),

2

M,[a<3,

使得7UD=g(x2),则，

a>l,

解得l<a<^3.

【训练二】(多选)下列说法正确的是()

A."ac=bc"是％=6”的充分不必要条件

B"I〉)”是“aVb”的既不充分也不必要条件

ab

C.若“xGZ”是“xeB”的充分条件，则NUB

D."a>b>0”是“a">b"(neN,»>2)M的充要条件

【解析】A项，ac=6c不能推出。=b,比如a=l,b=2,c=0.而可以推出ac=bc,所

以“ac=be”是"a=6”的必要不充分条件，故错误；

B项，不能推出aVb,比如1>」，但是2>—3；“V6不能推出比如一2<3,一

ab23ab

所以'』>卜是的既不充分也不必要条件，故正确；

23ab

C项，因为是“XCB”的充分条件，所以xW/1可以推出即/U8,故正确；

D项，。砥〃CN,〃N2)不能推出a>b>0,比如a=l,b=0,1">O"(〃GN,应2)满足，但

是a>b>0不满足，所以必要性不满足，故错误.

【训练三】/(x)=—/―6x—3,记max{p,q}表示p,q二者中较大的一个，函数g(x)=

maxD。，I。改%+3.,若加<—2,且VxP[m，­2],3x2e[0,+oo),使/%i)=g(x2)成立,

则m的最小值为.

【解析】为减函数，y=]og2(x+3)为增函数，

观察尝试可知当且仅当X=1时，@「2=]og2(x+3).

由题意得,虱力=a?0夕<1,

log;x+3

...在[0,+8)上，g(x)min=g(l)=2,g(x)的值域为[2,+»),./(x)=-(x+3)2+6<6.

“VxPM-2],3.r2e[0,+8),使/(刘)=虱切成立”等价于/(X)在[加，-2]上的函数值域是g(x)

在[0,+oo)上的值域的子集，作函数y=/(x),y=g(x)的图象，如图所示，

5

45x

令/(x)=—x2—6x—3=2,解得x=—5或、=—1,

则m的最小值为一5.

【训练四】已知p实数加满足％<*4雨>0),q：方程/+上=1表示焦点在y轴上的

m—12~tn

椭圆，若p是q的充分条件，则。的取值范围是.

【解析】由2—解得即<?：1<加<(.因为p是<7的充分条件,

3介1,1131

所以4〃<3解得上后，所以实数a的取值范围是H8」.

的、，38

【训练五】设函数/)=lg(f—x—2)的定义域为集合/,函数g(x)=\f—l的定义域为集合A

已知a：x^AHB,花x满足2x+pW0.月.a是4的充分条件，求实数p的取值范围.

【解析】依题意，得/={x|/—%—2>0}=(—8,—1)U(2,+00),

I——1>0

J=(0,3],，/03=(2,3].

f-oo_£

设集合。={耶》+层0},则xel'2_.

•；a是用的充分条件，.•.(4nB)GC则需满足3<-^p<-6.

二实数P的取值范围是(一8,-6].

【训练六】(多选)已知a£R,则使命题“Vxe(?"1N—sinx—壮0”为真命题的一个充分不必

要条件是()

A.a<\B.a<2

C."小兀2—4

D.a<

44

【解析】xwQ，1，令/(工)=X2—sinx,

贝ij/(x)=2x—cosx>0,

则函数兀0=》2-sinx在]上单调递增,

VXG你4於)岁同二专4.

所以原命题为真命题的充要条件为它立外，

4

而1<贮工2,则满足A选项、C选项的a均有aS立T,让芷士时a<l和a<亡都不一定

4444

成立，所以所求的一个充分不必要条件是选项A,C.

四、【强化测试】

【单选题】

1.设。为全集，A,8是集合，则“存在集合。使得ZUC,是"工口8=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】由力GC,BQluC,易知408=0,但NC6=0时未必有NUC,8旦小，如图所示,

所以“存在集合C使得AQC,是708=0”的充分不必要条件.

2.命题p存在常数列不是等比数列，则命题「夕为()

A.任意常数列不是等比数列

B.存在常数列是等比数列

C.任意常数列都是等比数列

D.不存在常数列是等比数列

【解析】因为特称命题的否定是全称命题，命题p：存在常数列不是等比数列的否定命题「小

任意常数列都是等比数列，故选C.

3.设平面向量a,h,c,均为非零向量，则“<r(b-c)=O”是*=乙的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】由b=c,得b-c=Q,得«,(/>—c)=0；反之不成立.故“40—C)=0"是*=C”的必要

不充分条件.故选B.

[0,J，危)<0，则()

4.已知y(x)=sinx—x,命题p：

0,

A.p是假命题,「p：VxG3印)

0,

B.p是假命题,—^p：BxE2)，./«>0

0,

C.p是真命题,—'P：VxG2J,於a0

0,

D.p是真命题,-«p：3x^2),/(x)>0

'2J上是减函数，因为/(0)=0,所以./(x)<0,所

【解析】易知了(x)=cosx—1<0,所以.

0,

兀[2),,/(x)>0,故选C.

0

以命题P：2_J,/(x)v0是真命题，—,pt

5.已知命题FxoSR,使2x8+(a—1)配十30”是假命题，则实数。的取值范围是()

A.(-00,-1)B.(-1,3)

C.(13,+00)D.(-3,1)

【解析】原命题的否定为VxGR,2r+（。-1）、+3>0,由题意知，其为真命题，则/=5-1）2

-4x2xl<0,贝ij—2<a—1<2,则一1q<3做选B.

2

6.王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破

楼兰”是“返回家乡”的（）

A.充分条件B.必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故"攻破楼兰''是"返

回家乡''的必要非充分条件.故选B.

7.“ln（x+1）<0”是“/+2》<0"的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】由ln（x+l）<0得0<x+l<l,-l<x<0,由/+〃<0得一2<x<0,所以“ln（x+l）<0”是“x?

+2x<0”的充分不必要条件，故选A.

8.%<1”是玉>0,次”的（）

x

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】当x>0时，"■=x+L由均值不等式可得X+1■"Jxxl=2,当且仅当x=L即x

XXX\1XX

=1时等号成立.

所以四次的充要条件为日2.（实质就是条件的等价转化）

X

显然、<1”是“好2”的充分不必要条件,

所以“a＜l”是“Vx＞0,的充分不必要条件.故选A.

X

【多选题】

9.已知mb,。是实数，则下列结论中正确的是（）

A.“层＞庐，是“心6”的充分条件

B.“层＞及，，是、＞£，的必要条件

C.“四2＞辰”是七的充分条件

D.“同习切”是%＞6”的既不充分也不必要条件

【解析】对于A,当a=-5,b=l时，满足层＞〃，但是"儿所以充分性不成立；对于B,

当4=1,b=—2时，满足a＞b,但是〃＜62,所以必要性不成立；对于C,由次2＞反2得存0,

则有。＞6成立，即充分性成立，故正确；对于D,当。=—5,力=1时，间＞步|成立，但是

所以充分性不成立，当a=\,b=~2时，满足Ab,但是同＜|外所以必要性也不成立，故“同＞|邛

是的既不充分也不必要条件.故选CD.

10.下列说法正确的是（）

A."x=Z"是"tanx=l''的充分不必要条件

4

B.定义在口，切上的偶函数大幻=/+伍+5比+6的最大值为30

C.命题“mx（）eR,xoH的否定是"VxGR,x+1＞2”

XQX

D.函数y=sinx+cosx—S无零点

【解析】由*=四，得tanx=l,但有tanx=1推不出x=匹，所以"、=三”是"tanx=1”的充分不必

444

。+5=0,

要条件，所以A是正确的；若定义在口,切上的函数/（x）=x2+s+5）r+b是偶函数，则•

a+b—0,

得"—5,则40=》2+5,在［-5,5］上的最大值为30,所以B是正确的；命题FxodR,xo

b=5,

+工之2”的否定是“VxGR,x+,＜2"，所以C是错误的；当》=更时，y=sinx+cosx—/=0,

xox4

故D是错误的.故选AB.

11.下列命题的否定是全称命题且为真命题的有（）

A.X2—x~\"-＜0

B.所有的正方形都是矩形

C.x2+2x+2=0

D.至少有一个实数x,使％3+1=0

【解析】由条件可知：原命题为存在性命题且为假命题，所以排除BD；又因为x2—

r-2)2>0,.?+2x+2=(x+l)2+l>0,所以AC均为存在性命题且为假命题，故选AC.

12.已知两条直线/,加及三个平面a,B，y,则a,尸的充分条件是()

A.lua,1邛B./_La,ml./3,ILm

C.a_Ly,/3//yD.lua,muQ,/±w

【解析】由面面垂直的判定定理可以判断A,B,C项均符合题意；对于D项，由/ua,mu[S,

/J_加也可以得到a〃夕，所以D项不符合题意.故选ABC.

【填空题】

13.若命题p的否定是“Vx《(O,+s),\{x>x+l”,则命题p可写为.

【解析】因为p是「p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可.

答案：3xoe(O,+oo),\So<xo+1

14.在△NBC中，“4=8”是"tanN=tan8”的条件.

【解析】由/=5,得tan4=tan8,反之，若tan/=tan8,则4=8+航，左CZ.因为0</<n,

0<5<n,所以4=8,故“2=8”是“tan/=tan8”的充要条件.

答案：充要

15.条件p：x>a,条件q：x>2.

(1)若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是;

(2)若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是.

【解析】设4={小>.},B={x\x>2],

(1)因为p是q的充分不必要条件，

所以/是8的真子集，所以e2；

(2)因为p是q的必要不充分条件，

所以8是/的真子集，所以。<2.

答案：⑴[2,+oo)(2)(-00,2)

12

16.若*0仁]2'一，使得2x8—&o+lVO成立是假命题，则实数2的取值范围是.

±2工2

【解析】因为于0@[2'，使得2x8-&o+l<O成立是假命题，所以」，使得2x2一

Ax+IK)恒成立是真命题，即Vxd'2，使得在绘十上恒成立是真命题，令於)=2X+L则广(X)

XX

=2—乙，当?当时,/(x)V0,当停’2一时，[(x)>0,所以/)引停)=2/，则在2s.

*

答案：(-8,2啦]

【解答题】

17.已知Pnlxl^—gx—ZOWO},S={x\l-m<x<l+m}.

(1)是否存在实数机，使xeP是xes的充要条件，若存在，求出〃？的取值范围;

⑵是否存在实数机，使尸是xWS的必要条件，若存在，求出〃？的取值范围.

【解析】由炉一8》一20勺)，得一2H0,

/.P={x|-2<