2024年高考数学一轮复习第3章：导数的综合问题（附答案解析）

2024年高考数学一轮复习第3章：导数的综合问题学生版

1.(2023・温州模拟)已知函数｛x)=f—(〃+l)lnx.

(1)当。=0时,求危)的单调区间:

(2)若火x)》(a2—a)inx对Vxe(l,+8)恒成立，求。的取值范围.

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2.设/(x)=2xlnx+L

(1)求火x)的最小值;

(2)证明：x+丄+21nx.

x

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3.(2023,邢台质检)2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体

育场举行，拉开了冬奥会的帷幕.冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家

的广泛喜爱，达到一墩难求的地步.当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中

某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交。元(lOWaW13)的税

收，预计当每件产品的售价定为x元(13Wx<17)时，一年的销售量为(18—x)2万件.

(1)求该商店一年的利润兀0(万元)与每件纪念品的售价x的函数关系式；

(2)求岀兀0的最大值0(“).

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4.(2022•重庆质检)已知函数/(x)=f+2x—Hn〃£R.

(1)当。=4时，求危)的极值;

(2)若曲线歹=/(x)与直线在(0,4］上有且只有一个交点，求。的取值范围.

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5.(2023・济宁质检)已知函数/(x)=acosx+6e'(a,b&R),曲线y=/(x)在点(0,貝0))处的切线

方程为y=-x.

(1)求实数a,6的值；

(2)当xcL2’8J时，/)<c(cGZ)恒成立，求。的最小值.

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2024年高考数学一轮复习第3章：导数的综合问题教师版

1.(2023・温州模拟)已知函数4x)=.­(〃+1)加x.

(1)当4=0时，求段)的单调区间;

(2)若以)2(*-〃)lnx对VxS(l,+8)恒成立，求a的取值范围.

解(l)/(x)的定义域为(0,+8),

10丫2—1

当。=0时，f(x)=2x—=’----.

XX

当xe[0,当时,f(%)<0,

则.危)的单调递减区间为雪，

当XGTT'+8)时，f(x)>0,

则.危)的单调递增区间为停'+°°]

(2)由/(x)2(a2—a)lnx对Vx《(l,+8)恒成立，

r2

得a2+l^~—对Vx£(l,+8)恒成立.

Inx

设〃(x)=A(x>l),则"(x)=x(jln,l)

Inx(Inx)2

当xe(l,/)时，h'(x)<0；

当xG&e,+8)时，h'(x)>0.

所以//(X)min=〃(a)=2e,

则a2+1W2e,解得一WeTWaW\]2e—1,

故a的取值范围是[—y/2e—l,\/2e—1].

2.设-x)=2xlnx+l.

(1)求人x)的最小值；

(2)证明：/(x)^x2—x+-+21nx.

X

⑴解貝X)的定义域为(0,+8),/(x)=2(lnx+l),

当xeP，3时，/'(x)<0,/(X)单调递减；

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当+8)时，/，(x)>0,/(X)单调递增,

所以当x=1时，/(X)取得最小值/日=1一2.

ee

(2)证明令F(x)=x2~x+~+2\nx-/(x)

x

x-1

=x(x-1)-----------2(x—l)lnx

x

f11

lx-------291nxi

=(x—1)1XJ,

令g(x)=x-------21nx,

x

则g，(X)=1+丄-2=心声,0,

所以g(x)在(0,+8)上单调递增，

又g(l)=0,所以当0VXV1时，g(x)<0,F(.r)>0

当x>l时，g(x)>0,F(,r)>0,当x=l时，F(x)=O,

所以0—1)1XJ》0,

即7(x)Wx2—x+1+21nx.

X

3.(2023•邢台质检)2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体

育场举行，拉开了冬奥会的帷幕.冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家

的广泛喜爱，达到一墩难求的地步.当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中

某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交a元(lOWaW13)的税

收，预计当每件产品的售价定为x元(13WxW17)时，一年的销售量为(18—x)2万件.

(1)求该商店一年的利润7(x)(万元)与每件纪念品的售价x的函数关系式；

(2)求出/(x)的最大值。(°).

解(1)由题意，预计当每件产品的售价为x元(13WxW17)时，一年的销售量为(18-x)2万件,

而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交。元(10Wa<13),

.••商店一年的利润Hx)(万元)与售价x的函数关系式为；(x)-(x-5-a)(18-x)2,xG[13,17].

(2)V/(x)=(x-5-a)(18-x)2,xe[13,17],

：.f(x)=(28+2a-3x)(18—x),

令/(x)=0,解得x=28：2。或5=区而10WaW13,则16W生产W18,

①若16^28+2fl<17,即10Wavll.5,

3

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13

当xG'3」时，，(x)20,/(x)单调递增,

卩8+2。9

当xeL3'」时，/(x)WO,4x)单调递减,

[28±2£)4

•••段>皿=/13J=壺(13—03；

②若]7忘生土&忘18,即11.5Wa<13,

3

则/'(x)20,即/(X)在[13,17]上单调递增，

，/(x)max=/07)=12—a,

f42J

—(13-a)3,10^a<11.5,

综上，0(a)=，27

\2-a,11.5WaW13.

4.(2022,重庆质检)已知函数/(x)=x2+2x—41naCR.

(1)当“=4时，求/(x)的极值；

(2)若曲线y=/(x)与直线y=ax在(0,4］上有且只有一个交点，求“的取值范围.

解⑴由题意，/(x)=N+2x-4吟x>0,

497

则/(x)=2x+2--=^+x-2)=~(x-\)(x+2),

XXX

故危)在(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增，

有极小值式1)=3-41n5无极大值.

⑵设g(x)=J(x)—ax=x2+(2—a)x—a\npx£(0,4],

则g'(x)=2x+(2-a)--=-[2x2+(2-a)x-a]=^(x+l)(2x-a),

XXX

①当a=0时，g(x)=N+2x,在(0,4］上无零点，不符合题意；

②当"0时，g(x)在(0,4］上单调递增，虱2)=4+(2—a)X2>0,

X-0时，g(x)<0,

由零点存在定理得，g(x)在(0,4］内只有一个零点，即曲线y=/(x)与直线歹=ax在(0,4］上有且只

有一个交点.

上单调递减，在(？9上单调递增,

③当a>0时,

若44,即0<a<8,则只能U=a—(居―Hn彳

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flIn冃

="l44J=0=Q=4,

若。28,则g(x)在(0,4］上单调递减,当工一0时，g(x)>0,

74

则要g(4)=16+4(2—4)—〃ln2v0,则心亠；?，

故心8,

综上，。的取值范围为(一8,0)U{4}U[8,+8).

5.(2023•济宁质检)已知函数/(x)=〃cosx+g(a,Z)eR),曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线

方程为》=一%.

(1)求实数Q，b的值；

——,+001

(2)当2J时，/(x)Wc(ceZ)恒成立，求c,的最小值.

解(1)因为/(x)=-〃sinx+be\

f(0)=6=—1a=1,

所以解得

/(0)=a+6=0,b=—\.

(2)因为/(x)=cosx—ev,2J,

所以/(x)=-sinx—e\设g(x)=—sinx-e\

g'(x)=—cosx~ex=~(cosx+ev).

当_2'时，cosx^O,ev>0,

所以g'(x)〈0,

当x£(0,+8)时，一IWcosxWl,^>1,

所以g'a)〈o.

—更