2023高考数学复习练26　探究性问题

微专题26探究性问题

高考定位解析几何中的探究性问题，一般探究某种命题是否正确，某种位置关

系是否成立等，是高考的热点问题，难度较大.

真题研析类题突破研真题析类题

［高考真题］(2015∙全国∏卷改编)已知椭圆Cz9x2÷y=m2(∕π>0),直线/不过原点

。且不平行于坐标轴,/与C有两个交点4,8,线段48的中点为M若/过点俘〃?)，

延长线段OM与C交于点P,四边形。4抬能否为平行四边形？若能，求此时/

的斜率；若不能，说明理由.

解设直线/：y=kx~∖~b(k≠O,6≠0),A(x↑,ʃi),8(x2,y2),M(XM,加).

将y=kx+b代入Ox2+，=/%?得

(∕r+9)x2+2kbx+h2-m2=0,

x↑+x2—kb

故u矶=^T-=百万

_,,9b

yM=k7xM~vb=「+§.

于是直线OW的斜率kθM=詈=筌,

XMK

9

则直线OM■的方程为y=一炉.

因为直线/过点停，加)，

所以/不过原点且与C有两个交点的充要条件是左>0,左≠3.

设点尸的横坐标为XP,

尸^⅛

Icm2

由得点=

9Λ2+8Γ

,9x2+y2=

H∏士km

即、广3户.

将点停，，，的坐标代入/的方程得6=加6”

k(左一3)m

因此XM=3(F+9).

四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段/8与线段OP互相平分，即XP=2XM.

„±kmk(女——3)加

丁三B=2×

3(F+9)

解得心=4一巾，攵2=4+市.

因为">0,ki≠3,Z=I,2,

所以当/的斜率为4—由或4+小时，四边形OAPB为平行四边形.

样题1(2022•长沙适应性考试改编)已知椭圆G：?+?=1，抛物线C2：∕=-4x.

过椭圆G的左顶点。的直线I交抛物线G于43两点，点。为原点，射线。/,

OB分别交椭圆于C,。两点，XOCD的面积为Si,AOAB的面积为S2∙问：是否

13

存在直线/使得S2=∙γS∣?若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

解由题意得直线/的斜率不为0,。(一2,0),

设直线/的方程为x=my-2,/(xι,yι),8(x2,yι),C(X3,乃)，O(X4,必)，

X=TMV-2,

由L，

∖y=-4x,

得yi-∖-4my—8=0,

ΛJ=(4W)2-4×(-8)=16W2+32>0,

川+y2=—4〃?，yιj2=—8.

..-B,

•v33ς''

O∖∖OA∖∖OB∖smAAOB

.02__±________________

.∙s-ɪ

.Oqioz)ISinNCoZ)

JOA∖-∖OB∖Jyy∖迦」回

~∖OC∖-∖OD∖~∖yy∖∖y,∖-∖y^∖

=于

Vy?=-4xι,

，直线OA的斜率为1■=—2，

4

即直线。4的方程为》=—mχ,

3X64

得必=

3乂+64'

____gC3X64rC3×643×6432×64

I同I理可行下=3贯+64'比〃=---------X---------=-------------

3j^τ+643J^+64^48W2+12Γ

(⅛)2_[yι∖2∣2_121+48〃/_ɪɜɪ

IsTj=My4∣2=-9—=亨，

得加=±1,

13

・•・存在直线/使得52=ySι,直线/的方程为χ-y+2=0或x+y+2=0,

7

样题2（2022・武汉模拟改编）已知椭圆G5+∕=l'其上顶点为8，以8为直角

顶点作椭圆的内接等腰直角这样的直角三角形是否存在？若存在，请说

明有几个；若不存在，请说明理由.

解假设能构成等腰直角三角形5MN,其中3（0,1）,

由题意可知，直角边8Λ√,BN不可能垂直或平行于X轴，故可设所在直线的

方程为y=Ax+l（不妨设Λ>0）,

[y-kx+∖,

由21

§+9=1，

得(9F+1)X2+18H=0,

.一18左

∙,XM=^9Λ2+1,

,,(18-182」八

故M9d+l,-9λ2+l+1J,

「•好力号[BK=/'

用一;代替上式中的左，

K

*18√⅛2+1

何BN=t2IO，

18|84标+11队/乒+1

由得9⅛2+l=标+9

即Λ3-9^2+9Λ-l=0,

故(左一1)(Λ2-8左+1)=0,

，%=1或％=4±VT^,

故存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形.

样题3(2022・重庆诊断改编)已知椭圆C：点+V=I,若P为椭圆C上异于椭圆C

顶点的任意一点，过点。(0,—2)且平行于。P的直线/与椭圆C相交于4,B两

点(点。为坐标原点)，是否存在实数人使得逾∙3=4必2成立？若存在，求出

2的值；若不存在，请说明理由.

解存在.因为尸是椭圆C上异于椭圆C顶点的任意一点，且/〃0。

所以直线/的斜率存在且不为0.

设过点。(0,—2)的直线/的方程为2,A(x∖,ʃɪ),B(X2,yι).

,{y=kx-2,

叫x2+4γ2=4,

消去y得(1+4Λ2)x2—16AX+12=0,

则/=(一16左)2—4X12X(1+4Λ2)>0=>4F>3,

∖6k12

,

X∣+X2=]+4FX∣X2=]+4Q'

所以∖QA∖∙∖QB∖=y∣1÷Λ2∣xι—xρ∣∙ʌ∕T÷P∣X2-xρ∣=(1÷^2)∣x∣X2∣.

[y=kxp,4

*Up+¼=4,何/b?1+4Q

4

所以IOPI2=(1+d)j⅛=(1+d)γ不而，

又因为03说=2成2,

所以∣04∣∙∣08∣=2∣QP∣2,

所以IXIX2∣=h⅜,

124

即1+4庐=zT+4^5

解得λ-3.

故存在实数人使得逸•必=为。辩成立，且％=3.

规律方法探索性问题的求解步骤：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）

存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则

元素（点、直线、曲线或参数）存在，否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在.

训练（2022・九江模拟）已知椭圆C：3+*=l（α>b>0）的左、右焦点分别为B，

离心率为3,P是椭圆C上的一个动点.当尸是C的上顶点时,ZSHPE的面积为√i

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设斜率存在的直线尸F2与C的另一个交点为。，是否存在点7（30）,使得IZPl

=∖TQ∖?若存在，求出实数/的取值范围；若不存在，请说明理由.

解（1）设椭圆C的半焦距为c.

因为S∆F∣PF2=^×2c×h=√3,

所以bc=∖∣3.

又β=~=^,α2=Z>2÷c2,

所以4=2,b=∖∣3,c=l.

所以椭圆C的标准方程为Y+q=1.

（2）假设存在点T（t,0）,使得ITPl=I70∣.

由直线P。过尸2（1,0）,设直线尸。的方程为丁=左。-1）,尸（XI,ʃl）,0（X2,竺），

P0的中点为Mxo,ʃo）.

当左=0时，f=0,符合题意.

y=k（XT）,

当先#0时，由'止+/=]

得（4M+3）x2-8dx+4>12=0,

/=（一8F）2—4（4壮+3）（4严一12）=144F+144>0,

8-4F一12

x∣+x2=4yt2+3,X∣X2=4F+3'

Xl+x24后

所以XO=

2—4Λ2+3'

3k

yo=k(xQ-1)=

4Λ2+3'

4F

即

4F+3'

连接7N,因为ITPl=ITQ

所以TNLPQ,

则kτN-k=-MkTN为直线TN的斜率).

3k

4⅛2+3

所以---布-∙k=­1,

'4F+3

后1

即/=4^+3=~T-

4⅛

因为4+3%所以UO

综上可得，实数，的取值范围为［θ,ɪ).

高分训练对接高考重落实迎高考

一、基本技能练

1.(2022•福州二模)已知椭圆C∖+*=l(α>b>O)的离心率e=坐以上顶点和右

焦点为直径端点的圆与直线x+y—2=0相切.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同的交点M,N时,

能在直线V=］上找到一点尸，在椭圆C上找到一点Q,满足万/=廊？若存在,

求出直线方程；若不存在，说明理由.

解(1)由离心率e=2，得a=^∖［^c.

又/=∕>2+c2,从而b=c,

椭圆的上顶点为(0,h),右焦点为(c,0),

22

所以以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程为Q—&+(厂守=P

圆心为II，D，半径为当b∙

由该圆与直线χ-∖-y-2=0相切得，

∖b~2∖y∣21wrτι

啦=2儿即Ib—2∣=b,

解得b=l,从而C=1,α=√2,

所以椭圆C的标准方程为曰+/=L

(2)不存在.理由如下：

设直线方程为y=2x+/,M(x∖,ʃɪ),JV(X2,”)，P↑X3,Q(X4,必)，

PV=2x+1,

由匕+E,

消去X得9∕-2(y+∕2-8=0,

由/=4»—36(尸—8)>0可得∕∈(-3,3),

0.It

且yi+y2=§，

由厢=庖，

得(xi-X3,yi—∣j=(x4-X2,y^~yι)∙,

..,52/5

所以％="+"一§=§一§.

因为r∈(-3,3),

7

所以一]<j¼<-1,

但—1,1],所以不存在斜率为2的直线满足条件.

2.(2022•苏北四市联考)已知点P(l,0)在椭圆C5+∕=l(α>b>0)上，直线y=yo

与椭圆C交于不同的两点/,B,当次=1时，∖AB∖=y∣2.

(1)求椭圆C的方程；

⑵直线为，P6分别交y轴于M,N两点，问：N轴上是否存在点。，使得|OM，

∖OQ∖,IoNI(O为坐标原点)成等比数列？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请

说明理由.

0+*=l,

解(1)由题意得<惇j

j

解得/=2,b2=l,

故所求椭圆C的方程为=L

(2)假设存在点。(0,M)使得IoM，∖OQ∖,ION成等比数列,

则IOQF=QNlloM.

因为直线y=yo交椭圆。于4,8两点，

则/,8两点关于y轴对称.

设/(xo,泗)，则8(—Xo,∕)(xo≠z士1),

因为尸(1,0),

则直线的方程为y=Uη^(χ-1),

—VO

令x=0,得"Y=

JXo-I

所以IoM=I⅛∙

lʃo-ɪl

直线PB的方程为y=^θψθ(χ-1),

令X=O,得孙=谭ɪ'

所以QN=洲可

因为I。。F=IoNlIOM，

所以.=高.

又因为点/(xo,次)在椭圆C上,

所以M=2(l-χ3).

所以评=2IN)=2

即m=±∖∣2,

故存在点。(0,±√2),

使得IOM，∖0Q∖,|。NI成等比数列.

3.如图，椭圆C：5+/=1(4>6>0)经过点尸(1,4，离心率e=；,直线/的方程

为x=4.

(1)求椭圆C的方程；

Q)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线/相交于点M,

记直线山，PB,PW的斜率分别为左k2,心.问：是否存在常数人使得怎+公

=〃3?若存在，求出2的值；若不存在，请说明理由.

rɪ_9__

了十福=L

解(1)由题意得<C=L

a~T

<⅛2÷c2=α2,

『2=4,

解得(b2=3,

Ic2=I,

22

故椭圆C的方程为5X+5V=1.

(2)由题意可设直线/8的斜率为k,

则直线/8的方程为y=网X-1),①

代入椭圆方程，并整理，

得(4F+3)%2—8dx+4(F-3)=0,

设/(XI,y∖),5(X2,竺)，且XlwX2/1,

则X∣+X2=信P4(M—3)

X|X2=4æ2+3,

在方程①中令x=4,得点M的坐标为(4,3k).

33

夕口/一］3k-ɪ

从而左］=Γ,kz=7,ki=^~C=k-2

Xl-IX2-∖

因为aF,8三点共线，

所以k=IiAF=IiBF,

即告=占3

33

'2-5

y'-2.2=刃+-2

所以佑+左2=7+

Xi-IX2~~1Xl-1X2~1

3xi+x2-2C

2X∖X2—（X1+X2）+1'

将②代入③得,

8尼_

2-2

34Λ+3

h+k2=2f4（庐_3）~=2k-l,

82

1

4F+34P+3

又依=左一］,所以左1+左2=2左3.

故存在常数2=2符合题意.

二、创新拓展练

2

4.(2022・沈阳模拟)已知点Z(xι,yι),Bg,问在抛物线E：x=2PxP>0)上,∕l,I2

分别为过点/,8且与抛物线E相切的直线，h,/2相交于点M(X0,ʃo).

条件①：点M在抛物线E的准线上；

条件②：l∖A-h;

条件③：直线/8经过抛物线的焦点E

(1)在上述三个条件中任选一个作为已知条件，另外两个作为结论，构成命题，并

证明该命题成立；

(2)若p=2,直线y=x+4与抛物线E交于C,。两点，试问：在X轴正半轴上是

否存在一点M使得△•)N的外心在抛物线E上？若存在，求N的坐标；若不

存在，请说明理由.

解(1)由题意，抛物线方程化为歹=三，则y=5则八的切线斜率公=段，

乙PPP

所以/|的方程为y—n=二(X—XI),将6=2/和代入，化简整理得XIX=Pe+y),

同理可得/2的方程为X2X=P3+歹2),

抛物线E：χ2=2Py的准线为尸一多焦点F的坐标为(0,

若选择①作为条件，②③作为结论，证明如下：

因为点M在抛物线E的准线上，可设点M的坐标为(X0,一切,

又/1,/2相交于点”，

点/,8的坐标满足方程XoX=W―另，

即直线43的方程为XoX=PQ―胃，进而直线/8经过抛物线的焦点40,匀，③

得证.

又

消去y整理得着一首一g=0,

所以X∖X2=~p1.

设直线/1,/2的斜率分别为抬，fo,

有心生=红卫=二=_1,

PPP

所以/1_L/2,②得证.

若选择②作为条件，①③作为结论，证明如下:

因为/山2,设直线八，/2的斜率分别为公，左2,有％1心2=，■亍=—1,

即x∖X2=~pr,

又八，/2相交于点M,

所以2∖x∖=x=PpS(y++γRι),

解得产箸=%

所以点M在抛物线E的准线上，①得证.

设点M的坐标为(Xo,-2J,

进而直线ZB经过抛物线的焦点7(0,③得证.

若选择③作为条件，①②作为结论，证明如下：

直线”经过抛物线的焦点A设直线ZB的方程为尸代十多

yC+2,消去N整理得』