初中七年级数学 函数及其性质 对数与对数函数

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第二篇函数及其性质

专题2.06对数与对数函数

【考试要求】

1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；2.通过具体实例，

了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调

性与特殊点；

3.知道对数函数y=log«x与指数函数y=a<互为反函数(a>0,且存1).

【知识梳理】

1.对数的概念

如果a<=N(a>0,且存1),那么x叫做以a为底N的对数，记作x=log〃N,其中a叫做对数的底数，N叫做

真数.

2.对数的性质、换底公式与运算性质

(1)对数的性质：①a%N=N；②log/=b(a>0,且在1).

(2)对数的运算法则

如果a>0且存1,M>0,N>0,那么

①log“(MM=logM+log〃M

cM

②log方=log/Tog.N;

③log〃M"=/ilog(M(neR)；

④"GR,且MO).

(3)换底公式：1g户=曙3,b均大于零且不等于1).

3.对数函数及其性质

(1)概念：函数y=log/(a>0,且a#l)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,+<»).

(2)对数函数的图象与性质

a>\0<«<1

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指数函数丫=。価>0,且存1)与对数函数y=log“x(a>0,且在1)互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称.

【微点提醒】

1.换底公式的两个重要结论

1n

⑴log/二研；(2)log^=-log/.

其中a>0,且b>0,且厚1,加，"WR.

2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.

3.对数函数y=log/(a>0,且“円)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),Q,一1),函数图象只在第一、四象

限.

【疑误辨析】

1.判断下列结论正误(在括号内打“W或"X”)

⑴1。8产=2唾2》.()

⑵函数y=log2(x+l)是对数函数.()

1+x

(3)函数y=Iny=^与y=ln(1+x)—ln(1—x)的定义域相同.()

(4)当x>l时，若logjAlogbx,贝ija<b.()

【教材衍化】

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2.（必修IP73T3改编）已知。=2=,b=log,1,c=log$,则（）

2

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>h>aD.c>a>b

3.（必修IP74A7改编）函数yg2（2x—1）的定义域是.

3

【真题体验】

4.（2019・杭州检测）计算log29xlog34+21og510+log50.25=（）

A.OB.2C.4D.6

5.（2019・上海静安区检测）已知函数y=log〃（x+c）（a,c为常数，其中a>0,且存1）的图象如图，则下列结论

成立的是（）

c>l0<c<l

C.0<〃vl,c>lD.0<〃<1,0<c<l

6.（2018♦全国I卷）已知函数人幻=1082（元2+。）.若43）=1,贝!）。=.

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【考点聚焦】

考点一对数的运算

【例11⑴计算：(年一怆25)+100—g=.

(1-k>g(3)2+log21og，8

⑵计算:

1吗4

【规律方法】1.在对数运算中，先利用事的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数基的形式，使暴的

底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.

2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、

商、基再运算.

3.ab=N=b=logaN(a>0,且存1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.

【训练1】⑴若1g2,1g⑵+1),1g⑵+5)成等差数列，则x的值等于()

A.lB.0或"C.1D.log23

(2)(2019•成都七中检测)已知心若log*+log〃〃=|,ab=ba9贝lj〃=,b=.

考点二对数函数的图象及应用

[例2](1)(2019・潍坊一模)若函数/)=公一”S>0且分1)在R上为减函数，则函数y=log“(bd—l)的图

(2)当x£(l,2)时，不等式(x—l)2vk)g/恒成立，则。的取值范围是()

A.(0,1)B.(b2)

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D（0,乡

C.(l,2]

【规律方法】1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、

最高点、最低点等）排除不符合要求的选项.

2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

【训练2】⑴（2018•湛江模拟）已知函数於）=1。&,（2\+~1）3>0,厚1）的图象如图所示，则6满足的关

系是（）

A.0<a-i</?<l

C.0<b-]<a<\

D.0<«-K&-I<1

2x,xvl,

（2）（2019・日照一中调研）已知函数f（x）=若方程f（x）-a=0恰有一个实根，则实数a的取值范

log2x,x>l,

围是.

考点三对数函数的性质及应用.•…》多维探究

角度1对数函数的性质

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【例3—1】已知函数y(x)=lnx+ln(2—x),则()

A/)在(0,2)上单调递增

B兀v)在(0,2)上单调递减

C.y=/(x)的图象关于直线x=l对称

D.y=/(x)的图象关于点(1,0)对称

角度2比较大小或解简单的不等式

【例3—2】(1)(一题多解)(2018•天津卷)已知b=\n2,c=logg,则a,b,c的大小关系为()

\.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

⑵若log*Z2+l)<loga2〃<0,则a的取值范围是(

A.(0,1)

D.(0,1)U(1,+oo)

角度3对数型函数性质的综合应用

【例3—3］已知函数./U)=log“(3—ar).

(1)当x£［0,2］时，函数兀丫)恒有意义，求实数。的取值范围；

(2)是否存在这样的实数①使得函数Ax)在区间［1,2］上为减函数，并且最大值为1?如果存在，试求出a

的值；如果不存在，请说明理由.

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【规律方法】1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.

2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.

3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用

单调性时，一定要明确底数。的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.

【训练3]⑴若a>fc>0,0<c<l,则（）

A.logac<logfccB.logf«<log（./>

C.ac<bcDocb

（2）若函数式x）=log“Q2+1r）（a>0,存1）在区间g,+叱）内恒有人戏>0,则貝x）的单调递增区间为.

【反思与感悟】

1.对数值取正、负值的规律

当。>1且6>1或0<a<l且0cb<1时，log（6>0；

当。>1且0cb<1或031且6>1时,k>g/<0.

2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化

为同底的对数式，然后根据单调性来解决.

3.比较幕、对数大小有两种常用方法：（1）数形结合；（2）找中间量结合函数单调性.

4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y=l交点的横坐标进行判定.

【易错防范】

1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y=log/的定义域应为（0,+8）.对数函数的单调性取决

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于底数a与1的大小关系，当底数“与1的大小关系不确定时，要分0々<1与a>\两种情况讨论.

2.在运算性质log*fa=alo&眼中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为log〃M“=ak>g“IMI（aeN*,且a

为偶数）.

3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：（1）务必先研究函数的定义域；（2）注意对数底数的取值范围.

【分层训练】

【基础巩固题组】（建议用时：40分钟）

一、选择题

L已知函数段）=「丄二'/则12+1。&3）的值为（）

l/U+1）,x<4,2

A.24B.16C.12D.8

2.（2018•天津卷）已知a=log3。=（力3,c=log丄g,则mb,c的大小关系为（）

3

\.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

3.（2019・张家界三模）在同一直角坐标系中，函数式或=2—以，ga）=iog“a+2）m>o,且分1）的图象大致为

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4.(2019•宁波二模)已知且x)=lg(10+x)+lg(10—x),则()

A沢x）是奇函数，且在（0,10）上是增函数

是偶函数，且在（0,10）上是增函数

C<x）是奇函数，且在（0,10）上是减函数

D<x）是偶函数，且在（0,10）上是减函数

22

5.(2019・临汾三模)已知函数式x)=llnxl,若/0)=式〃)(,〃>〃>0),则一!：+毋=()

机十In~rI

A.1B.lC.2D,4

二、填空题

6.1g|+21g2-（；）=.

7.（2019・昆明诊断）设加）=怛（±+。）是奇函数，则使式x）<0的x的取值范围是.

-log.（3—x）,x<2,

8.（2019・潍坊调研）已知函数-若/2—“）=1,则/（〃）=_________.

2x-2—1,x>2,

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三、解答题

9.设./(x)=log“(l+x)+log“(3—x)(a>0,存1),且八1)=2.

(1)求a的值及大x)的定义域；

(2)求兀0在区间［o,1］上的最大值.

10.已知函数/U)是定义在R上的偶函数，且犬0)=0,当％>0时，J(x)=logk.