【数学】排列 排列数课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第六章

计数原理6.2排列与组合（1）1.排列一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元

素中取出m个元素的一个排列.2.排列数(1)排列数的概念:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不

同元素中取出m个元素的排列数,用符号

表示.特别地,把n个不同的元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列,记作

.6.2排列与组合

|排列与排列数知识点必备知识清单破6.2.1排列

6.2.2排列数(2)排列数公式:

=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=

(m,n∈N*,且m≤n).

=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1=n!(n∈N*).规定:0!=1.知识辨析1.若组成两个排列的元素相同,则这两个排列是相同的吗?2.“某商场有四个门口,某人从一个门口进入,购买物品后,从一个门口出去,求不同的进出方

式有多少种”是排列问题吗?3.排列数和排列是同一个概念吗?一语破的1.不一定.若组成两个排列的元素相同,但元素的排列顺序不相同,则这两个排列是不相同的.2.不是.判断一个问题是不是排列问题的要点有两个:一是被取元素互不相同,二是取出的元

素是有顺序的.而此人进出的门口可以是同一个门口,所以不是排列问题.3.不是.排列是元素的一种具体排法,它不是数值.而排列数是指排列的个数,它是一个数值.1|排列数及其运算定点关键能力定点破应用排列数公式时的注意点(1)准确展开:求排列数一般用乘积式展开,要注意展开式的项数要准确.(2)合理约分:若运算式是分式形式且分子与分母中有相同的因式或因数,则要先约分再计算.(3)合理组合:化简、证明时一般运用阶乘式,应用排列数、阶乘的性质,进而提高运算的速度

和准确性.常用性质如下:①

=n

=m

+

;②n·n!=(n+1)!-n!;③

=

-

.典例1(1)用排列数表示(55-n)(56-n)·…·(69-n)(n∈N*且n<55)为

;(2)计算

=

;(3)满足3

=2

+6

的x的值为

.35解析

(1)∵55-n,56-n,…,69-n中最大的数为69-n,且共有(69-n)-(55-n)+1=15个正整数,∴(55-n)

(56-n)…(69-n)=

.(2)

=

=

=3.(3)由3

=2

+6

,得3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1).易知x≥3,∴3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),即3x2-17x+10=0,解得x=5或x=

(舍去),∴x=5.易错警示

解含参数的排列数问题时要注意

中的隐含条件n≥m,n,m∈N*,防止遗漏导致解题错误.典例2(1)化简:①1!+2×2!+3×3!+…+n×n!(n∈N*);②

+

+

+…+

(n≥2且n∈N*);(2)证明:

-

=m

.思路点拨

(1)①利用n·n!=(n+1)!-n!裂项求和;②利用

=

-

裂项求和.(2)等号左、右两边排列数的上、下标均为字母,宜用阶乘式进行证明,也可用排列的定义进

行证明.解析

(1)①∵n·n!=(n+1)!-n!,∴原式=(2!-1)+(3!-2!)+(4!-3!)+…+[(n+1)!-n!]=(n+1)!-1.②∵

=

-

,∴

+

+

+…+

=

+

+

+…+

-

=1-

.(2)证法一:∵

-

=

-

=

·

=

·

=m·

=m

,∴

-

=m

.证法二:

表示从(n+1)个元素中取出m个元素的所有不同排列的个数,设其中一个元素为a1,则不含元素a1的排列有

个,含有元素a1的排列可这样进行:先排a1,有m种排法,再从另外n个元素中取出(m-1)个元素排在剩下的(m-1)个位置上,有

种排法,故含有a1的排列有m

个.∴

-

=m

.1.先特殊后一般解决“在”与“不在”问题解决“在”与“不在”的问题,常用的方法是特殊位置分析法、特殊元素分析法,即谁“特

殊”谁优先.如果有两个及以上的约束条件,那么常见的思路是先肯定(在)再否定(不在),在考

虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件,必要时按第一个条件对第二个条件的影响进行分

类.当直接求解较为困难时,可考虑用间接法求解,即先不考虑限制条件,计算出排列总数,再减

去不符合要求的排列数.2.“捆绑法”解决相邻问题将n个不同的元素排成一列,其中k(k≤n)个元素排在相邻的位置上,求不同排法的种数的方法

如下:①将这k个元素“捆绑”在一起,看成一个整体,然后与其他元素一起排列,有

种排法;②“松绑”,注意捆绑元素本身的内部排列,有

种排法;③由分步乘法计数原理知,符合2|有限制条件的排列问题定点条件的排法有

·

种.3.“插空法”解决不相邻问题将n个不同的元素排成一列,其中k

当n为奇数时,k≤

;当n为偶数时,k≤

个元素互不相邻,求不同排法的种数的方法如下:①将没有不相邻要求的(n-k)个元素进行全排列,有

种排法;②将要求两两不相邻的k个元素插入(n-k+1)个空隙中,相当于从(n-k+1)个空隙中选出k

个分别分配给两两不相邻的k个元素,有

种排法;③由分步乘法计数原理知,符合条件的排法有

·

种.4.“定序”问题在排列问题中,某些元素在题意中已排定了顺序,对这些元素进行排列时,不再考虑其顺

序.在具体的计算过程中,可采用“除序法”解决,即n个元素的全排列中有m(m≤n)个元素的

顺序固定,应除以这m个元素的一个全排列

,则满足题意的排法有

种.典例13名男生和4名女生站成一排照相,求满足下列情况的不同排法种数.(1)甲、乙均不在两端;(2)男生站在一起、女生站在一起;(3)男生彼此不相邻;(4)甲、乙中间有2个人;(5)若4名女生身高都不等,按从高到低的顺序站;(6)甲不在最左端,乙不在最右端.解析

(1)先排两端,在除甲、乙外的5人中任选2人排在两端,有

种排法,再将剩余的5人进行全排列,有

种排法,所以满足题意的不同排法种数为

=2400.(2)3名男生站在一起,有

种排法,4名女生站在一起,有

种排法,将这两个整体进行全排列,有

种排法,所以满足题意的不同排法种数为

=288.(3)先排女生,有

种排法,再在女生站位的空(含两端)中插入男生,每空1人,有

种排法,所以满足题意的不同排法种数为

=1440.(4)在除甲、乙外的5人中任选2人排在甲、乙中间,有

种排法,将上述4人看成一个整体,与余下的3人进行全排列,有

种排法,所以满足题意的不同排法种数为

=960.(5)7人全排列,有

种排法,4名女生不考虑身高顺序的排法有

种,而从高到低顺序站有从左到右和从右到左2种,所以满足题意的不同排法种数为2×

=420.(6)解法一:①若甲在最右端,将剩余的6人进行全排列,有

种排法;②若甲不在最右端,则甲有

种排法,乙有

种排法,剩余的5人全排列,有

种排法,所以有

种排法.所以满足题意的不同排法种数为

+

=3720.解法二(间接法):易知甲在最左端或乙在最右端的排法均有

种,甲在最左端且乙在最右端的排法有

种,将7人进行全排列,有

种排法,所以满足题意的不同排法种数为

-2

+

=3720.典例2用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个:(1)无重复数字的五位奇数?(2)无重复数字且比1325大的四位数?(3)无重复数字的六位数?若这些六位数按从小到大的顺序排成一列,则240135是该列数的第

几项?解析

(1)先排个位,有

种,再排万位,不能是0和个位所选数字,有

种,最后从剩余的4个数字中选3个分别排在十位、百位、千位,有

种,所以无重复数字的五位奇数的个数为

=288.(2)①当千位上的数字大于1时,有

个无重复数字且比1325大的四位数;②当千位上的数字是1、百位上的数字大于3时,有

个无重复数字且比1325大的四位数;③当千位上的数字是1、百位上的数字是3、十位上的数字大于2时,有

个无重复数字且比1325大的四位数.所以无重复数字且比1325大的四位数的个数为

+

+

=270.(3)因为0不能在十万位上,所以无重复数字的六位数的个数为

=600.当十万位上的数字为1时,无重复数字的六位数的个数为

;当十万位上的数字为2且万位上的数字为0或1或3时,无重复数字的六位数的个数为

.因为

+

+1=193,所以24