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文档简介

6.4.3正弦定理直角三角形中的启示直角三角形△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为

a，b，c用a，b，c表示角A，B，C的正弦？ACacbB问：在任意三角形中，这一关系式是否成立呢？当是锐角三角形时D如图:作AB上的高是CD,根椐三角形的定义,得到BACabcE且故D此时也有交BC延长线于D,过点A作AD⊥BC，CAcbB图2若△ABC是钝角三角形,如图2，同理可得正弦定理:即在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？hABC（三角形面积公式）证明方法2(等面积法）：同理可证：（正弦定理）ABChA’ABCO证明方法3（外接圆法）：作出△ABC的外接圆⊙O，连接BO交⊙O于A’，连CA’，则△A’BC为直角三角形，同理可证：（R为△ABC外接圆半径）BAC在锐角三角形中由向量加法的三角形法则证明方法4（向量法）：

在钝角三角形中，怎样将三角形的边用向量表示？怎样引入单位向量？怎样取数量积？jACB在钝角中，过A作单位向量j垂直于，

则有j

与的夹角为，j

与的夹角为.等式.同样可证得：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即注意：（1）正弦定理适合于任何三角形.（2）（R为△ABC外接圆半径）（3）每个等式可视为一个方程：知三求一.ABC

正弦定理的常见变形：（1），，（2）（3）（4）（5）;.正弦定理的应用——解三角形

一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他几个元素的过程叫做

解三角形。

利用正弦定理，可以解决两类问题：①已知两角和任一边，求其它两边和一角.②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（进而可求出其它的角和边）.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即正弦定理可以解什么类型的三角形问题？

ABC得：.ABaCbc例1解由正弦定理:得：.其中，ABaCbc例2.

在中，（1）已知，求；（2）已知，求

C.解：（1）由

得

∵在中

∴A为锐角

（2）由

得

∵在中

∴B为锐角或钝角∴B

=45°或135°.∴C

=105°或15°.ABC解：由正弦定理：由，则或①当时，②当时，综上，三角形有两个解.得：“数形结合”判断解的个数A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解例4.

在△ABC中，已知b=12，A=30°，B=45°

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