数学模型与实验报告习题

数学模型与实验报告姓名：王珂班级：121111学号：20111002442指导老师：沈远彤数学模型与实验一、数学规划模型某企业将铝加工成A,B两种铝型材，每5吨铝原料就能在甲设备上用12小时加工成3吨A型材，每吨A获利2400元，或者在乙设备上用8小时加工成4吨B型材，每吨B获利1600元。现在加工厂每天最多能得到250吨铝原料，每天工人的总工作时间不能超过为480小时，并且甲种设备每天至多能加工100吨A，乙设备的加工能力没有限制。〔1〕请为该企业制定一个生产方案，使每天获利最大。〔2〕假设用1000元可买到1吨铝原料，是否应该做这项投资？假设投资，每天最多购置多少吨铝原料？〔3〕如果可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给工人的工资最多是每小时几元？〔4〕如果每吨A型材的获利增加到3000元，应否改变生产方案？题目分析：每5吨原料可以有如下两种选择：在甲机器上用12小时加工成3吨A每吨盈利2400元在乙机器上用8小时加工成4吨B每吨盈利1600元限制条件：原料最多不可超过250吨，产品A不可超过100吨。工作时间不可超过480小时线性规划模型：设在甲设备上加工的材料为x1吨，在乙设备上加工的原材料为x2吨，获利为z，由题意易得约束条件有：Maxz=7200x1/5+6400x2/5x1+x2≦25012x1/5+8x2/5≦4800≦3x1/5≦100,x2≧0用LINGO求解得：VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX1100.0000.000000X2150.0000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUAIPRICE1336000.01.00000020.000000960.000030.00000040.00000440.000000.000000做敏感性分析为：VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOFFINCREASEDECREASEX11440.00480.000160.000X21280.00160.000320.000ROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE2250.00050.000033.33343480.00053.333280.00004100.000INFINITY40.0000可见最优解为x1=100，x2=150，MAXz=336000。因此最优解为在甲设备上用100吨原料生产A产品，在乙设备上用150吨原料生产B产品。最大盈利为336000.由运算结果看约束条件1〔原料〕的影子价格是960，即每增加1吨原料可收入960，小于1000元，因此不购入。同理可得，每小时的影子价格是40元，因此聘用员工的工资不可超过每小时40元。4、由敏感性分析可得，在最优解不变的前提下，x1予许的变化范围上限是1920，下限是1280。假设每吨A获利增加到3000，价值系数变为1800，在允许范围内，所以保持原方案不变。二、微分方程模型在鱼塘中投放n0尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的重量将增加。设尾数n(t)的(相对)减少率为常数;由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼的外表积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本省成正比。分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解。用控制网眼的方法不捕小鱼，到时刻T才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对减少量表示，记作E，即单位时间捕获量是En(t)。问如何选择T和E，使从T开始的捕获量最大。根本假设：1.鱼塘里的鱼无繁殖，且不会自然死亡。2.鱼苗尾数相对减少率为常数。3.由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与其外表积成正比；由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与本身重量成正比。4.将鱼简化为椭球体，且其密度分布均匀，初始状态相同。符号表示符号符号说明鱼塘内初始时刻的鱼尾数鱼塘内每条鱼初始时刻的重量鱼塘内t时刻的鱼尾数鱼塘内每尾鱼t时刻的重量尾数的相对减少率重量增加率与外表积的比例重量减少率与重量本身的比例初始时刻每尾鱼的外表积t时刻每尾鱼的外表积捕捞能力单位时间捕获量捕获量最大的时刻渔网网眼面积椭球体的长半轴长椭球体的宽半轴长椭球体的高半轴长鱼的体密度标准正态分布函数鱼群外表积的均值鱼群外表积分布的方差椭球体的体积模型的建立：由根本假设：鱼苗尾数相对减少率为常数，那么可得以下微分方程：由根本假设：由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与其外表积成正比；由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比。可得以下微分方程：又因为要通过设定渔网网格面积来确定最大捕获量，而渔网网格面积由每尾鱼的最小横截面相关，又每尾鱼的横截面面积与鱼的外表积相关。由根本假设中鱼群的外表积服从正态分布，即：其中为的均值，为的方差。那么在此条件下：又由得：模型的求解：关于鱼尾数随时间变化的微分方程组：可直接求解得：又椭球体的体积为：外表积近似为：又那么可得：那么将式代入式可得：又所以求解可得:不妨设，那么：此时那么由根本假设服从正态分布，那么其中为标准正态分布函数那么由此将渔网网眼面积和单位时间最大捕获量联系起来，此时仅需将通过调查将函数进行研究，进而使得取得最大值，那么此时取得最大值又那么可通过查找标准正态分布表求得结论。三、统计回归模型下表列出了某城市18位35岁—44岁经理的年平均收入千元，风险偏好度和人寿保险额千元，其中风险偏好度是根据发给每个经理的问卷调查表综合评估得到的，它的数值越大，就越偏爱高风险。研究人员想研究此年龄段中的经理所投保的人寿保险额与年平均收入及风险偏好度之间的关系。研究者预计，经理的年均收入和人寿保险额之间存在着二次关系，并有把握地认为风险偏好度对人寿保险额有线性效应，但对风险偏好度对人寿保险额是否有二次效应以及两个自变量是否对人寿保险额有交互效应，心中没底。请你通过表中的数据来建立一个适宜的回归模型，验证上面看法，并给出进一步的分析。序号序号119666.2907104937.408526340.96451110554.3762325272.99610129846.186748445.0106137746.1304512657.2044141430.366361426.8525155639.060574938.12241624579.380184935.84061713352.7668926675.79691813355.9166数学模型解：为大致分析y与x1和x2关系，首先利用表1的数据分别作出y对于x1和x2的散点图〔见图1和图2中的圆点〕x1=[66.29040.96472.99645.01057.20426.85238.12235.84075.79637.40854.37646.18646.13030.36639.06079.38052.76655.916];>>y1=[19663252841261449492664910598771456245133133];>>p=polyfit(x1,y1,2)p=3.0246e-0021.7886e+000-6.0524e+001>>x2=0:0.01:85;y2=polyval(p,x2);plot(x1,y1,'o',x2,y2)的散点图从图中可以发现，随着的增加，的值有明显向上弯曲的二次增长趋势，图中的曲线是用二次函数模型〔1〕拟合的。〔其中是随机误差〕>>x3=[7510645469527435186];>>q=polyfit(x3,y1,1)q=1.3522e+0013.8743e+001>>x4=0:0.01:15;y3=polyval(q,x4);plot(x3,y1,'o',x4,y3)从图中可以发现，随着的增加，的值比拟明显的线性增长趋势，图中的曲线是用线性函数模型〔2〕拟合的。〔其中是随机误差〕综合上面的分析，结合模型〔1〕和〔2〕建立如下的回归模型〔3〕〔3〕式右端的和称为回归变量，是给定年平均收入、风险偏好度时，人寿保险额的值，其中的参数称为回归系数。还有影响的其它因素作用都包含在随机误差中。模型求解：使用MATLAB统计工具箱的命令regress求解，求解过程如下>>x1=[66.29040.96472.99645.01057.20426.85238.12235.84075.79637.40854.37646.18646.13030.36639.06079.38052.76655.916];x2=[7510645469527435186];x3=x1.*x1;x0=ones(18,1);x=[x0x1'x2'x3'];y=[19663252841261449492664910598771456245133133];>>[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x,0.05)b=-6.2349e+0018.3959e-0015.6846e+0003.7082e-002bint=-7.3503e+001-5.1195e+0013.9515e-0011.2840e+0005.2604e+0006.1089e+0003.3006e-0024.1157e-002stats=9.9958e-0011.1070e+0047.4095e-