专题3.7直线与圆锥曲线的综合问题（强化训练）

题型一直线与圆锥曲线的位置关系题型二弦长问题题型三中点弦问题题型四定点问题题型五定值问题题型六定直线问题题型七三角形（四边形）问题题型八求参数范围问题题型九双切线问题题型一直线与圆锥曲线的位置关系A．相交B．相切C．相离D．不能确定3．直线3x-4y=0与双曲线-=1的交点个数是()224．记双曲线C:4．记双曲线C:为. -a2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y5．直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1有且只有一个公共点，则实数k=.6．已知直线y=(a+1)x-1与曲线y2=ax恰有一个公共点，则实数a的值为.(1)有两个公共点？(2)有且只有一个公共点？(3)没有公共点？=1．m为何值时，直线l与椭圆C：题型二弦长问题，点F1到直线x=的距离为，过点F2且倾斜角为45。的直线l与椭圆交于A,B两点.(1)求椭圆的方程；(2)求线段AB的长.x24x24=1交于A,B两点，记‘AOB的面积为S. 10．已知双曲线C经过点P(2,一)，且其两条渐近线相互垂直.(1)求双曲线C的方程；(2)过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若‘OEF的面积为2（O为坐标原点求直线l的方程.(1)求双曲线C的方程；(2)直线l:y=kx+3与双曲线交于M,N两点，若MN=16，求k的值.12．已知双曲线x2y2a2-b2(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为的直线l与双曲线交于A，B两点，求AB.13．已知抛物线C：y2=4x，坐标原点为O，焦点为F，直线l：y=kx+1.(1)若直线l与抛物线C只有一个公共点，求k的值；(2)过点F作斜率为1的直线交抛物线C于A,B两点，求‘OAB的面积.题型三中点弦问题14．直线l过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，线段AB中点的纵坐标为1，O为坐标原点，则O到直线AB的距离为()15．设A，B为双曲线x2-=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是()16多选）已知椭圆C:+=1的焦点分别为F1(0,2)，F2(0,-2)，设直线l与椭圆C交于(11)且点P（|2,2)|为线段MN的中点，(11)=6C．直线l的方程为3x+y-2=0D．‘F2MN的周长为42,是E上一点.(2)若A,B是E上两点，且线段AB的中点坐标为-,，求AB的值.x2418．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x24交于A，B两点.(1)若直线l过椭圆的右焦点，求‘OAB的面积；(2)线段AB的中点为M，求直线OM的斜率.19．已知抛物线C:y2=6x，过P(3,2)的直线l交抛物线C于A,B两点，且PA=PB，则直线l的方程为.x2yx2a2b2近线垂直，且交E于A，B两点，AF2-AF1=4.(2)设点P为线段AB的中点，求直线OP的方程.题型四定点问题,F2，左、右顶点分别为A,B，点P在Γ上.已知△APF1面积的最大值为，且△APB与△F1PF2的面积之比为2:1.(2)不垂直于坐标轴的直线l交Γ于M,N两点，M,N与A不重合，直线AM与AN的斜率之积为-.证明：l过定点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)不经过点P的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若直线PA与PB的斜率之和为一1，证明：直线l必过定点，并求出这个定点坐标.23．已知圆E:(x+1)2+y2=8，F(1,0)为圆E内一个定点，P是圆E上任意一点，线段FP的垂直平分线l交EP于点Q，当点P在圆E上运动时.(1)求点Q的轨迹C的方程；(2)已知圆O：x2+y2=在C的内部，A,B是C上不同的两点，且直线AB与圆O相切.求证：以AB为直径的圆过定点.(1)点A1，A2为C的左右顶点，P为双曲线C上异于A1，A2的点，求kPA.kPA的值；(2)点M，N在C上，且kAM.kAN=，ADLMN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.且双曲线焦距为4.(1)求双曲线C的方程；(2)如果Q为双曲线C右支上的动点，在x轴负半轴上是否存在定点M使得ZQF2M=2ZQMF2？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.26．在平面直角坐标系xOy中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线C经过点(2,4).(2)若C关于x轴对称，焦点为F，过点(4,2)且与x轴不垂直的直线l交C于M，N两点，直线MF交C于另一点A，直线NF交C于另一点B，求证：直线AB过定点.27．已知过点P(2,0)的直线l与抛物线E:y2=2px(p>0)交于A,B两点，过线段AB的中点M作直线MNLy轴，垂足为N，且PMLPN.(1)求抛物线E的方程；(2)若C为E上异于点A,B的任意一点，且直线AC,BC与直线x=一2交于点D,R，证明：以DR为直径的圆过定点.题型五定值问题28．已知A，B为椭圆E:+x2=1的左、右顶点，过其焦点F(0,1)的直线与椭圆E交于C，D两点，并与x轴交于点P(异于A，B)，直线AC，BD交于点Q，求证：.为定值.(1)求椭圆的标准方程C；(2)若直线y=kx+m与轨迹C交于M，N两点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜率之积等于一，试探求ΔOMN的面积是否为定值，并说明理由.(1)求椭圆C的方程；PBBQ(2)过点B(一4,0)的直线l交C于点M，N，直线MA,NA分别交直线x=一4于点P，Q．PBBQ31．已知F为抛物线C的焦点，过F的直线l交C于A，B两点，点D在C上，使得ΔABD的重心G在x轴的正半轴上，直线AD，BD分别交x轴于Q，P两点.O为坐标原点，当ABLOF时，AB=4.(1)求C的标准方程.(2)记P，G，Q的横坐标分别为xP，xG，xQ，判断2xP+2xQ一3xG是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.32．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心为C的动圆过点(2,0)，且在y轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)已知A(1,2)及曲线E上的两点B和D，直线BD经过定点(一3,2)，直线AB、AD的斜率分别为k1、k2，求2为定值.,0(2)若直线l过点P(4,0)且与C的右支交于M，N两点，记C的左、右顶点分别为A1，A2，直线MA1，NA2的斜率分别为kMA，kNA，证明：为定值.(1)求双曲线的离心率；(2)过M(0,1)的直线与双曲线交于P，Q两点，过双曲线的右焦点F且与PQ平行的直线交双曲线于A，B两点，试问是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由.题型六定直线问题中恰有两点在椭圆E上.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点A,B为椭圆E的左右端点，过点M(2,0)作直线交椭圆E于P，Q两点（不同于A,B求证：直线AP与直线BQ的交点N在定直线上运动，并求出该直线的方程. (1)求椭圆C的方程；(2)过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交于不同的A,B两点，在线段AB上取点Q，满足AP.QB=AQ.PB，证明：点Q总在某定直线上.与直线AC交于点D.(1)求点D的轨迹E的方程；(2)设轨迹E与x轴分别交于A1,A2两点（A1在A2的左侧过R(3,0)的直线l与轨迹E交于M,N两点，直线A1M与直线A2N的交于P，证明：P在定直线上.38．已知点A(1,0)，B(1,0)，动点P(x,y)满足直线PA与PB的斜率之积为3，记动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过点F(2,0)的直线与曲线C交于M,N两点，直线AM与BN相交于Q．求证：点Q在定直线上.39．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为(1,0)，其中一条渐近线的倾斜角为.(1)求C的标准方程；(2)过点T(2,0)作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段AB上取一点E满足AE.TB=EB.AT，证明：点E在一条定直线上.40．如图，正六边形ABCDEF的边长为4．已知双曲线Γ的焦点分别为A，D，两条渐近线分别为直线BE，CF.(1)建立适当的平面直角坐标系，求Γ的方程；(2)过点A的直线l与Γ交于P，Q两点，=(λ子_1)，若点M满足=λ,证明：点M在一条定直线上.41．已知抛物线E:y2=2px(p>0)，过点(_1,0)的两条直线l1、l2分别交E于A、B两点和C、D两点．当(1)求E的标准方程；(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G在定直线上.题型七三角形（四边形）问题42．已知F1,F2分别为双曲线C:x2_y2=36的左、右焦点，A是双曲线C右支上(顶点除外)任意一点，若ZF1AF2的角平分线与以AF1为直径的圆交于点B，则△BF1F2的面积的最大值为()43．已知F为抛物线y2=2x的焦点，点A、B在该抛物线上且位于x轴的两侧，.=原点则ΔABO与VAFO面积之和的最小值是.(1)求C的方程;①证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.②若kOM=_，求ΔOAB面积的最大值，并求此时直线l的方程.45．设抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,E上点A(x0,2)满足AF=2.(1)求抛物线E的方程；(2)已知正方形ABCD有三个顶点在抛物线E上，求该正方形面积的最小值.直线交椭圆于A，B两点，‘F2AB的周长为8.(1)求椭圆C的方程；(2)过直线x=4上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，①证明：直线MN过定点；②求S‘DMN的最大值.(1)求M的方程；(2)直线x+y一=0交M于A，B两点，C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDLAB，求四边形ACBD面积的最大值.(1)求双曲线C的标准方程.(2)如图所示，点P是曲线C上任意一动点（第一象限直线PALx轴于点A，PBLy轴于点B，直线AB交曲线E于点Q（第一象限过点Q作曲线E的切线交PB于点K，交y轴于点J，求SΔKQA+SΔBQJ的最小值.题型八求参数范围问题49．已知A,B,C是抛物线y2=12x上三个动点，且‘ABC的重心为抛物线的焦点F，若B，C两点均在x轴上方，若BC的斜率kBC>m恒成立，则m的最大值为()三角形.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆外一点M(m,0)的直线交椭圆于P，Q两点，已知点P与点P,关于x轴对称，直线P,Q与x轴交于点K；若ZAKB是钝角，求m的取值范围.等边三角形.(1)求椭圆C的标准方程？(2)过点F1且斜率为k的直线l与椭圆C交于A、B两点，若ZAF2B为钝角，求k的取值范围.52．已知动点M到定点F(1,0)的距离与动点M到定直线x=2的距离之比为.(1)求点M的轨迹C的方程；(2)对vkeR，曲线C上是否始终存在两点A，B关于直线y=kx+b对称？若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由.2一3(1)点Q(2,3)在直线l上，求直线l的方程；(2)设点F1,F2分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限设M，N分别为‘AF1F2,‘BF1F2的内心.①点M的横坐标是否为定值？若是，求出横坐标的值；若不是，请说明理由.②求kMF+kNF的取值范围.(2,1)到C的两条渐近线的距离之积为.(1)求C的标准方程；(2)若直线l与C有两个不同的交点A，B，且△APB的内心恒在直线x=2上，求l在y轴上的截距的取值范围.55．曲线Γ:y2=4x，第一象限内点A在Γ上，A的纵坐标是a.(1)若A到准线距离为3，求a；(2)若a=4,B在x轴上，AB中点在Γ上，求点B坐标和坐标原点O到AB距离；(3)直线l:x=3，令P是第一象限Γ上异于A的一点，直线PA交l于Q,H是P在l上的投影，若点A满足“对于任意P都有HQ>4”求a的取值范围.题型九双切线问题56．已知点M到直线l：x=2的距离和它到定点F(1,0)的距离之比为常数.(1)求点M的轨迹E的方程；(2)若点P是直线l上一点，过P作曲线E的两条切线分别切于点A与点B，试求三角形PAB面积的最小值二次曲线Ax2+By2+C=0在其上一点Q(x0,y0)处的切线为Ax0x+By0y+C=0）此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆C过P(1,)，Q(一(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的蒙日圆上一点M，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点N，若kOM，kON存在，证明：kOM.kON为定值.2y b2PA1(a>b>0)的左右焦点分别为F12y b2PA、PB斜率之积为一，且‘PAB的面积最大值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)直线PF1交椭圆C于另一点Q，分别过P、Q作椭圆的切线，这两条切线交于点M，证明：MF1PQ.x24x24圆两条切线切椭圆于A,B两点.=1的左右焦点为F1,F2，如图P为圆上任意一点，过P分别作椭(1)若直线PA的斜率为2，求直线PB的斜率；(2)作PQAB于点Q，判断点P在运动的过程中，‘QF1F2的面积是否存在最大值，如果存在，求出最大值，如果不存在，说明理由.(1)若P(x0,y0)为椭圆上一定点，证明：直线+=1与椭圆C相切；(2)若P(x0,y0)为椭圆外一点，过P作椭圆C的两条切线，切点分别为M、N，直线MN分别交直线2为定值.若存在，求F1的坐标；若不存在，说明理由.61．已知：若点(x0,y0)是双曲线连结P，Q两点，并过线段PQ的中点F分别再作双曲线两支的切线，切点分别为D，E，记ΔDCF与ΔECF的面积分别为S1，S2.(1)求直线PQ的方程（含m(2)证明直线DE过点C，并比较S1与S2的大小.62．动点P(x,y)到定点F(-,0)的距离和到直线l:x=-的距离之比为，(1)求动点P的轨迹；(2)设点Q,tt子士，动点P的轨迹方程为E，过点Q作曲线E的两条切线QM,QN，切点为M,N，求证：直线MN过某一个定点.63．已知抛物线E:y2=2px(p>0)，焦点为F.过抛物线外一点P（不在x轴上）作抛物线C的切线PA,PB，其中A、B为切点，两切线分别交y轴于点C,D.(2)证明：②FP平分ZAFB.题型一直线与圆锥曲线的位置关系题型二弦长问题题型三中点弦问题题型四定点问题题型五定值问题题型六定直线问题题型七三角形（四边形）问题题型八求参数范围问题题型九双切线问题题型一直线与圆锥曲线的位置关系A．相交B．相切C．相离D．不能确定【答案】A【分析】判断出直线过定点，且定点在椭圆内可得答案.【答案】D【分析】根据题意，由直线过定点，结合点与椭圆的位置关系列出不等式，即可得到结果.3．直线3x-4y=0与双曲线-=1的交点个数是()【答案】A【分析】方法一：列方程组求解，方法二：求出双曲线的渐近线进行判断【详解】方法一：联立直线3x-4y=0与双曲线-=1的方程，2,得y2-9y=1，方程组无解，说明直线与双曲线没有交点.因为直线3x-4y=0是双曲线-=1的一条渐近线，因此交点个数为0.224．记双曲线C:4．记双曲线C:为. -a2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y【分析】利用双曲线的性质计算即可.【详解】由题意可知双曲线的渐近线为y=士x故答案为：25．直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1有且只有一个公共点，则实数k=.(x2-y2=1(x2-y2=1l【详解】由〈消去y，整理得(1-k2)x2+2又注意到直线y=kx-1恒过点(0,-1)，且渐近线的斜率为士1时，直线与渐近线平行时也成立.6．已知直线y=(a+1)x-1与曲线y2=ax恰有一个公共点，则实数a的值为.【答案】0或-1或-【分析】根据给定条件，联立方程，利用方程组有解求解即得.2当a=-1时，x=-1,y=-1，直线y=-1与曲线y2=-x有唯一公共点(-1,-1)，因此a=-1；此时直线y=x-1与曲线y2=-x相切，有唯一公共点，因此a=-，所以实数a的值为0或-1或-.故答案为：0或-1或-(1)有两个公共点？(2)有且只有一个公共点？(3)没有公共点？据Δ>0求解即可.解即可.解即可.22-4(252-m2.此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点.=-25．此时方程①有两个相等的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点.（3）由Δ<0，得m<-25，或m>25．此时方程①没有实数根，直线l与题型二弦长问题倾斜角为45。的直线l与椭圆交于A,B两点.(1)求椭圆的方程；(2)求线段AB的长.(2).【分析】（1）根据题意及椭圆方程a,b,c的关系求解即可；（2）联立椭圆方程和直线方程，利用韦达定理和两点间距离公式求解即可.(a2)(a2)则b2所以椭圆方程：+y2=1.所以线段AB的长为.x24x24=1交于A,B两点，记‘AOB的面积为S. (1(2)y=2x+6或y=-2x+6或y=2x-6或y=-2x-6【分析】（1）联立方程求出A,B坐标，表示出S并求取值范围即可；（2）联立方程，消元后借助韦达定理，弦长公式，三角形面积公式求解即可.2S S 12S所以S 2(1,又点O到直线AB的距离d=，2所以直线AB的方程为y=2x+6或y=-2x+6或y=2x-6或y=-2x-6.10．已知双曲线C经过点P(2,-)，且其两条渐近线相互垂直.(1)求双曲线C的方程；(2)过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若‘OEF的面积为2（O为坐标原点求直线l的方程.【答案】(1)-=12-y【分析】（1）根据题意可知双曲线C为等轴双曲线，设双曲线C2-y曲线方程，可得双曲线方程；=λ,把点P(2,-)代入双（2）可设直线l的方程为l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2)，代入双曲线C的方程并整理，根据直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，进而可得k的范围，根据韦达定理可求得x1+x2,x1x2，进而表示出EF和原点O到直线l的距离根据‘OEF的面积求得k，进而可得直线方程.【详解】（1）因为双曲线C的两条渐近线相互垂直，可知双曲线C为等轴双曲线，设双曲线C的方程为x2-y2=λ,代入P(2,-)，可得λ=4-2=2，所以双曲线C的方程为x2-y2=2，即x2yx2l联立方程〈，消去y得(l21-k2|(1-k22<3|(1-k22x2((4k)2-k221-k2由题意可得：S△OEF=d.EF=根根21+k221-k2,(1)求双曲线C的方程；(2)直线l:y=kx+3与双曲线交于M,N两点，若MN=16，求k的值.【答案】(1)-=1【分析】（1）根据焦点到渐近线距离、离心率和双曲线a,b,c关系可求得a,b，由此可得双曲线方程；（2）将直线方程与双曲线方程联立可得韦达定理的形式，利用弦长公式可构造方程求得k的值.，：2<3且k22， 24x1x221+k234k212．已知双曲线x2y2a2b2(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为的直线l与双曲线交于A，B两点，求AB.（2）由题意可得直线l的方程为y=x一3，设A(x1,y1),B(x2,y2)，然后将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y，利用根与系数的关系，再利用弦长公式可得结果.222设A(x1,y1),B(x2,y2)，lx1lx1x2213．已知抛物线C：y2=4x，坐标原点为O，焦点为F，直线l：y=kx+1.(1)若直线l与抛物线C只有一个公共点，求k的值；(2)过点F作斜率为1的直线交抛物线C于A,B两点，求‘OAB的面积.（2）由抛物线的标准方程可得到焦点坐标，从而得到直线方程，联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理及S‘OAB=OFy1一y2即可求解.②当k产0时，要使得直线l与抛物线C只有一个公共点，综上所述，当k=0或k=1时，直线l与抛物线C只有一个公共点.（2）由于抛物线C：y2=4x的焦点F的坐标为(1,0)，所以过点F且斜率为1的直线方程为：y=x一1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，4242-4(y=x-1y2-4y-4=0，y1y2=-4，所以y1-y2所以 (y122-4y1y2 题型三中点弦问题14．直线l过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A,B两点，线段AB中点的纵坐标为1，O为坐标原点，则O到直线AB的距离为()【答案】A【分析】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入抛物线方程，两式相减后结合线段AB中点的纵坐标得出kAB，再结合焦点F的坐标得出直线AB的方程，由点到直线距离公式计算即可.【详解】由抛物线y2=4x得焦点F(1,0)，ly2=4x2,两式相减得y-y=4(x1-x2)，即=，所以直线AB的方程为y=2(x-1)，即2x-y-2=0，显然此时直线与抛物线有两交点，所以O到直线AB的距离d==，15．设A，B为双曲线x2-=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是()【答案】C【分析】根据点差法分析可得kAB.k=9，对于A、B、C：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于D：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB的中点M,，设直线OM的斜率为k，可得kAB=y1一y2xy1+y2 2y1+y2x2y)yy=0，22x2所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；|y=2x2|y=2x2|所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；|2y|2y2+4x63x193>0，故直线AB与双曲线有交两个交点，故C正确；对于选项D：可得k=则AB:y=3x为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故D错误；【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查点差法，解题的关键是根据点差法得到kAB.k=9，然后逐个分析判断，考查计算能力，属于较难题.且点P,为线段MN的中点，则下列说法正确的是()=6C．直线l的方程为3x+y一2=0D．‘F2MN的周长为4【答案】AC【分析】先由题意求出m2即可判断A；再根据离心率公式即可判断B；由点差法可以求出直线l的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C；由焦点三角形的周长公式即可判断D.【详解】如图所示：22 y1+y2 1所以直线l的斜率为kl=y1一y2x y1+y2故选项D不正确.故选：AC.2,是E上一点.(2)若A,B是E上两点，且线段AB的中点坐标为-,，求AB的值.5（2）设出A,B两点坐标，利用点差法求出直线AB的斜率为k=1，联立直线和椭圆方程利用弦长公式即可abab2(-82)(-82)所以可得直线AB的斜率为k==-=1，222所以 (x12)22所以 (x12)24x1x2|5(83)285所以AB= x5x2418．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x24交于A，B两点.C(1)若直线l过椭圆的右焦点，求‘OAB的面积；(2)线段AB的中点为M，求直线OM的斜率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据过焦点求出直线方程，联立椭圆方程求出弦长，利用点到直线距离求出高即可得出三角形面积；（2）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系得出弦中点坐标，即可得出直线斜率.22b228xO到直线l的距离d=（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)，M(x0,y0)224x12x+x4ty+yt(4tt)故x00x+x4ty+yt(4tt) t y0y0x所以kOM4t005119．已知抛物线C:y2=6x，过P(3,2)的直线l交抛物线C于A,B两点，且PA=PB，则直线l的方程为.【分析】根据中点坐标以及点差法即可求解斜率，进而由点斜式求直线方程.【详解】因为P(3,2)在抛物线C内部，又PA=PB，所以P是AB的中点.x2yx2a2b2(2)设点P为线段AB的中点，求直线OP的方程.【答案】(1)y2=1可得到E的方程；（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，可表示出直线AB和直线OP的斜率，再用点差法求出直线OP的斜率，即可得到直线OP的方程.因为斜率为2的直线l与E的一条渐近线垂直，所以=，所以所以E的方程为-y2=1.线段AB的中点P的坐标为,，则kOP=，(x-y(x-y②-①得，-=0，②-①得，-=0，a两边同时除以(x2-x1)(x2+x1)并整理，得kOPb2.2.a所以直线OP的方程为：y=1. x.8题型四定点问题,F2，左、右顶点分别为A,B，点P在Γ上.已知△APF1面积的最大值为，且△APB与△F1PF2的面积之比为2:1.(2)不垂直于坐标轴的直线l交Γ于M,N两点，M,N与A不重合，直线AM与AN的斜率之积为-.证明：l过定点.【答案】(1)x2+y2=1(2)过定点P,0.【分析】（1）根据几何关系得到点P为椭圆的上顶点或下顶点时，△AF1P面积最大，结合△APB与△F1PF2面积之比，得到方程组，求出a=2,b=，得到椭圆方程；得到方程，求出m=2k或m=-，检验后得到m=-符合要求，并求出所过定点；42-12n.+3-12m=0，若C(x,y)(x子-2)是MN上的点，则AC斜率为k=，得到【详解】（1）当点P为椭圆的上顶点或下顶点时，△AF1P的面积最大，又S‘APB:S‘FPF=2a:2c=2:1，22设M(x1,y1),N(x2,y2)，34k34kx234k34kkAMkAN，即6k2km2m22km3k2m0，解得m2k或m当m2k时，此时4k2m2330，直线MN:ykx23k.2过定点A，而M,N与A不重合，不合题意.当m时，此时4k2m23k230，此时直线MN:ykx过定点P,0，满足要求.方法二：由题意，直线MN不经过点A2,0，设直线MN的方程为mx2ny1①.3(x2)212x24y20②.由①②得3(x2)212x2mx2ny4y20，4y212ny312m0.x2x2若Cx,yx2是MN上的点，则AC斜率为k，4k212nk312m0，AM,AN的斜率kAMkAN，即，解得m.MN的方程为7x2ny1，即2x7ny30，故过定点P2,0.【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k（2）利用条件找到k与过定点的曲线F(x,y)=0的联系，得到有关k与x,y的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点(x0,y0)，使得无论k的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k与x,y的等式进行变形，直至找到(x0,y0)，①若等式的形式为整式，则考虑将含k的式子归为一组，变形为“k.()”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k变为常数.(1)求椭圆C的标准方程；(2)不经过点P的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若直线PA与PB的斜率之和为一1，证明：直线l必过定点，并求出这个定点坐标.(2)证明见解析，定点为(2,-1)直线方程得到定点.x22a2x22a2椭圆方程为：（2）直线与x轴平行时，根据对称性知斜率和为0，不成立；m22kAPBP2-12【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，直线过定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用设而不求的思想，根据根与系数的关系来计算定点，可以简化运算，是解题的关键.23．已知圆E:(x+1)2+y2=8，F(1,0)为圆E内一个定点，P是圆E上任意一点，线段FP的垂直平分线l交EP于点Q，当点P在圆E上运动时.(1)求点Q的轨迹C的方程；(2)已知圆O：x2+y2=在C的内部，A,B是C上不同的两点，且直线AB与圆O相切.求证：以AB为直径的圆过定点.(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆定义求解即可.（2）根据题意设出直线方程，利用直线与圆相切得到k与m的关系，当直线斜率不存在时，以AB为直径的圆过原点，先猜后证的方法，猜测恒过原点，再验证以AB为直径的圆过原点即可.因为点Q是线段FP的垂直平分线上的一点所以点Q的轨迹C是以E，F为焦点的椭圆22-c2=1x22所以点Q的轨迹Cx22（i）当直线AB垂直于x轴时，不妨设A,，B,-，此时.=0，所以OALOB，故以AB为直径的圆过点O.（ii）当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB方程为y=kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，因为直线AB与圆O相切，所以点O到直线AB的距离为d=mk2 3 32k2)x2-4kmxx=-4kmxx=2m2-2 2k2+1，x2y2x221+k2x1x22，223m22k222k2+故以AB为直径的圆过点O.综上所述，以AB为直径的圆过定点O.(1)点A1，A2为C的左右顶点，P为双曲线C上异于A1，A2的点，求kPA.kPA的值；(2)点M，N在C上，且kAM.kAN=，ADLMN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.【答案】(1;(2)证明见解析.【分析】（1）代入点A(2,1)，得a2=2，从而得双曲线方程及A1，A2的坐标，设P点坐标为(x,y)，则=xy，结合P在双曲线C上，即可得答案；（2）设直线MN方程为y=kx+m，设M(x1,y1),N(x2,y2)，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理及直角三角形，ZD为直角，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证.2,0,0.2yyy x+2x2x22.因为点P在曲线C上，所以所以k x2—2 2（2）证明：依题意，直线MN的斜率存在，故设其方程为y=kx+m，设M(x1,y1),N(x2,y2)，)x24kmx2m22=0，显然12k212k22m22m2+12k2因为直线AM,AN的斜率之积为，所以所以x12x222)(x22(x12224易知l恒过定点A(2,1)，故舍去，所以m=0，此时满足Δ>0且直线MN过定点O(0,0)如图所示）又因为ADlMN,D为垂足，所以△ADO为直角三角形，人D为直角，(1)AO(1)AO综上所述，存在定点Q1,，使得DQ为定值.且双曲线焦距为4.(1)求双曲线C的方程；(2)如果Q为双曲线C右支上的动点，在x轴负半轴上是否存在定点M使得人QF2M=2人QMF2？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)x2-=1(2)存在，坐标为(-1,0)【分析】（1）利用双曲线的定义求解即可；（2）在x轴负半轴上假设存在点M满足题意，当QF2垂直于x轴时，易得M(-1,0)，当QF2不垂直于x轴时，由斜率公式和二倍角正切公式也可解得M(-1,0).所以由双曲线的定义可得PF1-PF2=2a=b①,所以双曲线C的方程为x2-=1.（2）假设存在点M(t,0)(t<0)满足题设条件，由题目可知F2(2,0)，设Q(x0,y0)(x0>1)为双曲线C右支上一点，当x0当x0QF20 y0x0一t2综上，满足条件的点M存在，其坐标为M(一1,0).【点睛】方法点睛：（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线方程联立，消去x（或y）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.26．在平面直角坐标系xOy中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线C经过点(2,4).(2)若C关于x轴对称，焦点为F，过点(4,2)且与x轴不垂直的直线l交C于M，N两点，直线MF交C于另一点A，直线NF交C于另一点B，求证：直线AB过定点.【答案】(1)y2=8x或x2=y(2)证明见解析【分析】（1）根据待定系数法，代入点的坐标即可求解p，（2）利用抛物线方程分别可设A,B,M,N的坐标，进而可根据两点坐标求解斜率，即可得直线的方程，结合直线经过的点，即可代入化简求解.【详解】（1）若C的焦点在x轴上，设抛物线C的方将点(2,4)代入，得42=4p，解得p=4，故C的方程为y2=8x；若C的焦点在y轴上，设抛物线C的方程为x2=2py，将点(2,4)代入，得22=8p，解得p=，故C的方程为x2=y；综上所述：C的方程为y2=8x或x2=y.（2）由（1）知抛物线C的方程为y2=8x，则其焦点F(2,0)，若直线l不过点F(2,0)，如图，(y2)(y2)(y2)(y2)设M,y1)|，N,y2)|，A,y3)|，B,y4)|，由题意可知：直线MN的斜率存在且不为0，则直线MN的斜率kMN==，所以直线MN的方程为y-y1=x-，即8x-(y1+y2)y+y1y同理直线AM，BN的方程分别为8x-(y1+y3)y+由直线MN过定点(4,2)，可得2(y1+y2)-y1y2=32，由直线AM，BN过焦点F(2,0)，可得y1y3=y2y4=-16，对于直线AB的方程为8x-(y3+y4)y+y3y4 y1y2 y1y2故直线AB恒过定点(1,-1)若直线l过点F(2,0)，直线AB即为直线MN，综上所述：直线AB过定点(1,-1).【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.若直线方程为y=kx+b(b为定值),则直线过定点(0,b).27．已知过点P(2,0)的直线l与抛物线E:y2=2px(p>0)交于A,B两点，过线段AB的中点M作直线MNLy轴，垂足为N，且PMLPN.(1)求抛物线E的方程；(2)若C为E上异于点A,B的任意一点，且直线AC,BC与直线x=一2交于点D,R，证明：以DR为直径的圆过定点.【答案】(1)y2=4x(2)证明见解析【分析】（1）设出直线l的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出M，N坐标，结合PMLPN，可求得p的值，得解.（2）设出点C坐标，由点斜式方程求出直线AC的方程，令x=一2，求出点D坐标，同理求出点R坐标，由抛物线的对称性可知，定点必在x轴上，设该点坐标为T(a,0)，利用.=0，可求出定点坐标.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=2pm，y1y2=一4p，：M是线段AB的中点，2即M(pm2+2,pm)，又MNLy轴，：垂足N的坐标为(0,pm)，-------则PM=(pm2,pm)，PN=(一2,pm)，-------：PMLPN，-------：PM.PN=2pm2+p2m2=0对任意的mER-------22故抛物线E的方程为y2=4x.y144：D(2,)，同理R(2,)，由抛物线的对称性可知，若以线段DR为直径的圆过定点，则定点必在x轴上，设该点坐标为T(a,0)，2222题型五定值问题28．已知A，B为椭圆E:+x2=1的左、右顶点，过其焦点F(0,1)的直线与椭圆E交于C，D两点，并与x轴交于点P(异于A，B)，直线AC，BD交于点Q，求证：.为定值.【答案】证明见解析D(x2,y2)坐标之间的关系，由所证明得式子知，需表示出P，Q两点的坐标，其中P点坐标，由直线CD方程可直接表示出，即P-,0，Q点坐标需联立直线AC与直线BD的方程，求出xQ然后求出向量的数量积即可.【详解】由题知a2-1=1，即a2=2，则E:+x2=1，当直线CD斜率不存在时，直线AC与直线BD平行，无交点，不满足题意；所以直线CD斜率存在，设直线CD的斜率为k，因为直线CD过椭圆焦点，且与x轴有交点，所以k子0，设C(x1,y1)，D(x2,y22-4xx2-4xxx+x则P-,0，直线AC的方程为y=x+1)，直线BD的方程为y=x-1)，k2且D=(2k)2+4´(k2+2)=8k2+8>0，x+x2kxxk22kxx1k2所以x-x=-2-4-=，y1+y2=kx1+1+kx2+1=k(Qx1y2+x2y1+y2-y1Qx=x1y2-x2y1+y1+y2+k(x2-x1)=2kxx+x+x+k(x=x1-x2x1-x2+k2+22k×22k×=k2+2k2+2k2+222×k2+1+4k2+2k2+2==-k，(1)求椭圆的标准方程C；(2)若直线y=kx+m与轨迹C交于M，N两点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜率之积等于一，试探求‘OMN的面积是否为定值，并说明理由.(2)是定值，理由见解析【分析】（1）根据题意，由条件列出关于a（2）根据题意，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，由弦长公式可得MN，再表示出O点到直线MN的距离d，由三角形的面积公式，即可得到结果.22a222+4k24m24)即4k222PBBQ1+k264k2+16-16m2PBBQ1+k264k2+16-16m22MN又-x1x2」64k2+16-16m2m2S‘OMN=dMN12所以14k264k2+16-32k2-82=1，可得S△OMN是定值1.‘OMN2而O点到直线MN的距离而O点到直线MN的距离2 2xa2 2xa(1)求椭圆C的方程；PBBQ为定值.(2)过点B(-4,0)的直线l交C于点M，N，直线MA,NA分别交直线x=-4于点P，Q．PBBQ为定值.(2)证明见解析.（2）令l:y=k(x+4)，M(x1,y1),N(x2,y2)，联立椭圆，应用韦达定理得x1+x2=-,x1x2=且1<k<，点斜式写出直线MA,NA的方程求出P，Q的纵坐标，再由2证.=||及韦达公式代入化简即可22（2）由题设，直线l的斜率一定存在，令l:y=k(x+4)，M(x1,y1),N(x2,y2)，联立椭圆，整理得(1+4k2)x2+32k2x+64k2-8=0，且Δ=1024k4-32(1+4k2)(8k2-1)>0，由题意，直线MA,NA的斜率必存在，22PBBQPBBQPBBQPBBQ31．已知F为抛物线C的焦点，过F的直线l交C于A，B两点，点D在C上，使得ΔABD的重心G在x轴的正半轴上，直线AD，BD分别交x轴于Q，P两点.O为坐标原点，当ABLOF时，AB=4.(1)求C的标准方程.(2)记P，G，Q的横坐标分别为xP，xG，xQ，判断2xP+2xQ-3xG是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)y2=4x(2)-1【分析】（1）先判断焦点在x轴，再根据抛物线的定义，结合AB=4即可.（2）设直线AB：x=ky+，设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),G(xG,0),P(xP,0),Q(xQ,0)，与抛物线联立，结合韦达定理，根据题意xP，xG，xQ用y1,y2表示，计算即可.【详解】（1）依题ΔABD的重心G在x轴的正半轴上，因为三角形的重心一定在三角形内，则抛物线的焦点在x轴上，设抛物线方程为：y2=2px(p>0)，p+2p+2,+xBp+2p+2,+xB则抛物线方程为：y2=4x.（2）依题知直线AB的倾斜角不为0，则设直线AB：x=ky+设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),G(xG,0),P(xP,0),Q(xQ,0)， 1 1ly|2ly3=0,:y3=-4k,x3=4k2，.y2则D(4k2,-4k)，则//，y1-(y3-y1)(-xQ)=0，当y13时，重心G不会落在x轴上，所以y1则2xP+2xQ-3xG=---3.=-则该定值为-132．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心为C的动圆过点(2,0)，且在y轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)已知A(1,2)及曲线E上的两点B和D，直线BD经过定点(-3,2)，直线AB、AD的斜率分别为k1、k2，求2为定值.【答案】(1)y2=4x(2)证明见详解【分析】（1）设圆心C(x,y)，由两点距离公式和几何法求弦长公式化简计算，可得(x-2)2+y2=x2+4，化简即可求解；（2）设直线BD的方程x=ty-2t-3、B(x1,y1),D(x2,y2)，联立抛物线方程，消元并利用韦达定理可得y1=4t,y1y2=8t+12，结合两点求斜率公式可得k1+k2=+=1，即可证明.【详解】（1）设圆心C(x,y)，半径为r，由圆心为C的动圆过点(2,0)，所以(x-2)2+y2=r2，又圆心为C的动圆在y轴上截得的弦长为4，所以x2+22=r2，此时(x-2)2+y2=x2+4，解得y2=4x，所以曲线E是抛物线，其方程为y2=4x；（2）易知直线BD的斜率不为0，设直线BD的方程为x+3=t(y-2)，即x=ty-2t-3，(x=ty-2t-3ly=4x2，消去(x=ty-2t-3ly=4x设B(x1,y1),D(x2,y2)，则y1+y2=41y2即k12为定值1.,0552(2)若直线l过点P(4,0)且与C的右支交于M，N两点，记C的左、右顶点分别为A1，A2，直线MA1，NA2的斜率分别为kMA，kNA，证明：【答案】(1)-y2=1(2)证明见解析；为定值.（2）根据直线过定点设出直线，联立，分别求出斜率，最后得到斜率的比值即可.故C的方程为-y2=1.设M(x1,y1)，N(x2,y2)，易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=ty+4，(2t2-4t2-4又因为直线l与C的右支交于M，N两点，所以-2<t<2ty1y22)-2y2ty1y2222即kNA为定值-.(1)求双曲线的离心率；(2)过M(0,1)的直线与双曲线交于P，Q两点，过双曲线的右焦点F且与PQ平行的直线交双曲线于A，B两点，试问是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由.【答案】(1)(2)是，定值为6.2.2【分析】（1）代入点的坐标联立方程可得双曲线方程，进而由离心率公式即可求解.（2）联立直线与双曲线方程，根据弦长公式分别求解AB,MP,MQ，即可代入化简求解.（2）依题意可得直线PQ的斜率存在，设PQ：y=kx+1.5-4k2)x2-8kx-24=0，x-0241+k22x-0241+k222所以MPMQxx5-4k2F(3,0)，直线AB：y=k(x-3)．设A(x3,y3)，B(x4,y4).联立联立(-24k2则425-4k2)k2(-24k2则3x4 2-4xxx+x2x3-x 2-4xxx+x.5-4k2【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围或者定值问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等或者等量关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.题型六定直线问题为椭圆E的右焦点，三点,，-,，2,中恰有两点在椭圆E上.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点A,B为椭圆E的左右端点，过点M(2,0)作直线交椭圆E于P，Q两点（不同于A,B求证：直线AP与直线BQ的交点N在定直线上运动，并求出该直线的方程.(2)证明见解析，x=(31)(31)b2=1，求出椭圆方程；（2）设直线PQ的方程为x=my+2，联立椭圆方程，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，N(x0,y0)，得到两根之和， 0 0两根之积，由A,两根之积，由A,P,N和B,Q,N共线得到方程组，联立后得到上，并求出该直线的方程.00=，得到交点N在定直线为椭圆E的右焦点，所以a2-b2=8①,(31)(31)27122所以椭圆E的标准方程为：+y2=1.（2）由条件知直线PQ与直线AB不重合，故直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为x=my+2，m2设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，N(x0,y0)，则y1-4my1y2=y1y2=2-5m=m=4y1y2,00由A,P,N共线得：y0 0x- 0由B,Q,N共线得：y0 y1my1y1③, 2 2y2my2-1y2由③÷④消去y0并整理得，my1y22my1y2-y12222)-y1综上所述，直线AP与直线BQ的交点N在定直线x=上运动.【点睛】定值问题常见方法1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.22 (1)求椭圆C的方程；(2)过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交于不同的A,B两点，在线段AB上取点Q，满足AP.QB=AQ.PB，证明：点Q总在某定直线上.(2)证明见解析222可求出a,b，从而可求得椭圆方程，用根与系数的关系，由AP.QB=AQ.PB可得2x1x2出关于x,y的方程，从而可证得结论.22所以所求椭圆的方程为+=1(4x222)，PB=(4x2242(14k)24(2k2+1)(32k216k2)>0，得12k28k1xx=242k2+1x7,代入上式，得yx4所以点Q总在一条定直线2x+y一2=0上.【点睛】关键点睛：本题解题的关键是设出直线AB的方程，利用弦长公式表示出AP,QB,AQ,PB，代入AP.QB=AQ.PB化简，再将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，几个式子相结合可证得结论.与直线AC交于点D.(1)求点D的轨迹E的方程；(2)设轨迹E与x轴分别交于A1,A2两点（A1在A2的左侧过R(3,0)的直线l与轨迹E交于M,N两点，直线A1M与直线A2N的交于P，证明：P在定直线上.(2)证明见解析【分析】（1）根据题意推出||DC|一|DB（2）设出直线l的方程，联立双曲线方程，得到根与系数的关系，表示出直线A1M和A2N的方程，推得22，结合根与系数的关系化简，即可证明结论.2=0得C:(x)2+y2=16，其半径为4，因为线段AB的垂直平分线与直线AC交于点D，而|BC|=8>4，故点D的轨迹E为以B,C为焦点的双曲线，故点D的轨迹E的方程为-=1.（2）证明：由题意知A1(-2,0),A2(2,0)，若直线l斜率为0，则其与双曲线的交点为双曲线的两顶点，不合题意；故直线l的斜率不能为0，故设其方程为x=ty+3，(-18t设M(x1,y1),N(x2,y2)，则直线A1M的方程为y直线A2N的方程为y=(x-2)=(x-2)，x2x2255tt22y故直线A1M与直线A2N的交点P在定直线上.【点睛】难点点睛：本题考查了利用双曲线定义求解双曲线方程以及直线和双曲线的位置关系中的点在定直线上的问题，难点在于证明直线A1M与直线A2N的交点P在定直线