《三角形的高、中线与角平分线》名师教案

.1.2三角形的高、中线与角平分线（曾昭姣）一、教学目标（一）学习目标1．理解三角形的高的概念，会画不同三角形的高.2．掌握三角形中线、角平分线的概念.3．能正确运用三角的高、中线、角平分线的相关概念及性质解决实际问题.（二）学习重点三角形的高、中线、角平分线的概念.（三）学习难点运用三角形高、中线、角平分线的概念解决三角形有关实际问题.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做高；在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做中线；三角形的一个角平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做角平分线.2.预习自测（1）如图，在△ABC中，BC边上的高是________，在△AEC中，AE边上的高是_______，EC边上的高是_________.【知识点】三角形的高的概念【解题过程】BC边是顶点A得对边，过点A作BC边的垂线，交点B是垂足，所以AB为BC边上的高.同理AE边上的高为CD，EC边上的高为AB.【思路点拨】运用高的定义，过三角形一点向它的对边作垂线，这一点与垂足之间的连线叫做三角形的高.【答案】AB、CD、AB（2）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AB的中点，则△ABC的中线是________，△ABD的中线是_______.【知识点】三角形中线的概念【解题过程】△ABC的顶点A和它对边中点D的连线AD为△ABC的中线；而△ABD中，顶点D与它对边中点E的连线DE为△ABD的中线.【思路点拨】三角形的顶点和它对边中点的连线成为中线，故找准顶点和它的对边中点是关键.【答案】AD、DE（3）△ABC的角平分线BE是（）A.射线B.直线C.线段D.都有可能【知识点】三角形的角平分线的概念，它与角平分线的区别【解题过程】三角形的一个角平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.【思路点拨】三角形的角平分线是线段，而角平分线是射线.【答案】C(二)课堂设计1.知识回顾（1）三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形．（2）构成三角形的元素：①三个顶点；②三条边；③三个内角．（3）三角形三边的数量关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.2.问题探究探究一三角形的高.●活动①回顾旧知师：回顾构成三角形的元素并回忆小学时如何作出三角形的高.（1）三个顶点；三条边；三个内角．（2）过三角形一个顶点向它的对边画垂线段.教师总结：从△ABC的顶点A向它所对的边BC画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫.●活动②画出以下三角形的高AD、BE、CF.师问：一个三角形有几条高？三角形的高是什么线？三个图形的高有什么区别？它们在位置上有什么关系？学生抢答：看谁总结得最快最完整？学生回答：三角形有三条高，都是线段.锐角三角形的高在三角形内部，直角三角形有两条高在边上，钝角三角形有两条高在三角形外部，每个三角形的三条高（或高所在的直线）都相交于一点.教师总结：任意一个三角形都有三条高，三角形的高是线段；锐角三角形的高在三角形内部、直角三角形有两条高在边上、钝角三角形有两条高在外部；三角形的三条高（或高所在的直线）都相交于一点（如上图点O），锐角三角形的三条高相交于三角形内部一点、直角三角形的三条高相交于直角顶点、钝角三角形的三条高所在的直线相交于三角形外部一点.【设计意图】鼓励学生独立自主解决问题，让学生初步感受通过动手操作来掌握几何知识的相关概念，引导学生由观察得到的感性认识转化为理性认识.探究二三角形的中线与角平分线.▲●活动①大胆猜想，探究新知识师问：妈妈有一块三角形蛋糕，她想平均分给小明和小亮，并且两人所得蛋糕均为三角形，你能帮妈妈出主意吗？学生回答：找到一边的中点，然后和这边所对的顶点相连，沿着这条连线切割，所得的两个三角形面积相等.师问：谁能帮妈妈验证这个方法合理吗？学生回答：分割后的两个三角形底相同，高相同，所以面积相等.【设计意图】通过探究，促使学生找到三角形边上的中点，为得出中线的概念作铺垫.●活动②反思过程，发现新概念.教师展示新知：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.师问：三角形的中线是什么线？一个三角形有几条中线？三角形的中线所分成的两个三角形面积有什么关系？学生回答：三角形的中线是线段，并且每个三角形都有三条中线.三角形的中线所分成的两个三角形的面积相等，因为等底等高的三角形面积相等.【设计意图】让学生更加全面的掌握中线的概念以及它平分三角形面积的性质.●活动=3\*GB3③动手操作，大胆发现.如图，画出三角形的三条中线，并认真观察三条中线的位置关系.师问：你发现了什么？学生回答：三角形的三条中线都在三角形内部，并且相交于一点.教师展示新知：三角形的三条中线都在三角形内部，并且相交于一点，这个点就是三角形的重心.【设计意图】通过动手实践找到三角形的重心，深刻理解三角形的重心在三角形内部.●活动=4\*GB3④集思广益，探究新知.师问：请同学们画出三角形中∠A的平分线（量角器）教师总结：如图，画∠B的平分线BD，交∠B所对的边AC于点D，所得线段BD叫做△ABC的角平分线.师问：你能画出三角形另外的角平分线吗？学生展示：师问：三角形的角平分线是什么线？与角平分线有什么区别？一个三角形有几条角平分线？在位置上有什么关系？学生回答：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，任何三角形都有三条角平分线，并且三条角平分线交于三角形内部的一点.教师总结：任何三角形都有三条角平分线，并且都在三角形内部交于一点，我们把这个点称为三角形的内心（内切圆的圆心）三角形的角平分线是一条线段，而角平分线是一条射线.【设计意图】通过学生动手实践，掌握三角形的角平分线的概念，区别三角形的角平分线与角平分线的不同，并找到三角形的内心.为初三学习三角形的内切圆奠定基础.探究三利用三角形的高、中线及角平分线的概念解决问题.★▲●活动①三角形的高、中线、角平分线的概念及性质例1如图（1）所示，AD、BE、CF是△ABC的三条中线，则AB=2_____，BD=_____，AE=1如图（2）所示，AD、BE、CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=________，∠3=12______，∠ACB=【知识点】三角形的中线和角平分线的概念【解题过程】（1）因为AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则AB=2AF=2BF，BD=CD,AE=CE=12AC；（2）因为AD、BE、CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=∠2，∠3=12∠ABC，∠ACB=2【思路点拨】已知三角形的中线，找准中点可得线段的数量关系；三角形的角平分线平分三角形的一个内角，所得的两个小角相等.【答案】（1）AF或BF,CD,AC（2）∠2，∠ABC,∠4练习：如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高.则BE=_____=12________；∠BAD=________=12_______；【知识点】三角形的高、中线及角平分线的概念【解题过程】因为AE是中线，则点E为BC的中点，所以BE=CE=12BC；因为AD是角平分线，所以∠BAD=∠CAD=12∠BAC；又因为AF是高，即AF⊥BC，所以∠AFB=∠AFC=【思路点拨】运用高、中线、角平分线的概念进行求解.【答案】BE=CE=12BC；∠BAD=∠CAD=12∠BAC_；∠AFB=【设计意图】让学生熟练掌握三角形高、中线、角平分线的概念.能准确判定三角形的高、中线及角平分线.●活动②三角形的中线运用例2在△ABC中，AD是△ABC的中线，E为AB的中点，则△AED的面积与△ACD的面积的数量关系为____________________.【知识点】三角形的中线平分三角形的面积.【解题过程】在△ABC中，AD是△ABC的中线，所以S△ABD=S△ACD；又因为E为AB的中点，所以S△AED=【思路点拨】AD是△ABC的中线，所以AD平分△ABC的面积，同理DE也平分△ABD的面积.【答案】S△AED=练习：如图，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，且S△ABF=1,求S【知识点】三角形的中线.【解题过程】∵D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，AF是△ABE的中线，又∵S△ABF=1，∴S△ABE=2S△ABF=2，S△ABD=2S△ABE=4，∴S【思路点拨】利用三角形的中线平分三角形的面积进行求解．【答案】83.课堂总结知识梳理（1）三角形的高、中线、角平分线的概念.（2）三角形的高所在直线相交于一点；三角形的中线交于三角形内部一点，这个点叫做三角形的重心；三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这个点叫做三角形的内心.（3）三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形.重难点归纳（1）三角形的高、中线、角平分线都是线段．（2）注意重心和内心分别是三角形的中线和角平分线的交点.（3）灵活运用三角形的高、中线、角平分线的概念解决有关问题.（三）课后作业基础型自主突破1.至少有两条高在三角形内部的三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.都有可能【知识点】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高在位置上的区别.【解题过程】锐角三角形的高都在三角形内部，直角三角形的高有两条在三角形的边上，钝角三角形的高有两条在三角形的外部，而三角形有三条高，那么至少有两条高在三角形的内部的三角形为锐角三角形，故答案选B.【思路点拨】分别画出锐角三角形、直角三角形及钝角三角形的三条高即可.【答案】B2.如图所示，在△ABC中，D、E分别是AC，BC的中点，以下说法正确的是（）A.BD是∠ABC的角平分线B.BD是AC边上的中线C.BD是AC边上的高D.DE是△ABC的中线【知识点】三角形的中线的概念【解题过程】因为D、E分别是AC，BC的中点，所以BD是△ABC中AC边上的中线，DE是△BCD中BC边上的中线，故选B【思路点拨】三角形边上的中点与它所对的顶点之间的连线为中线.【答案】B3.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，以下说法错误的是（）A.BD是∠ABC的角平分线B.∠1=12∠C.AE是∠BAC的角平分线D.AE是∠ABC的角平分线【知识点】三角形的角平分线的概念【解题过程】∵∠1=∠2，∴BD是∠ABC的角平分线，∠1=12∠ABC；又∵∠3=∠4，∴AE平分角BAC，它与边BD交于点E，∴AE是∠BAC的角平分线，而不是∠【思路点拨】三角形的一个角平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.【答案】D4.已知：AD是△ABC的中线，且AB=10cm，AC=8cm，则△ABD与△ACD的周长之差=____________cm.【知识点】三角形中线的概念【解题过程】∵AD是△ABC的中线，所以BD=CD,而AD=AD,∴△ABD与△ACD的周长之差为AB-AC=2cm.【思路点拨】AD是三角形的中线，则点D为BC的中点.【答案】2cm5.如图所示，在△ABC中∠ACB=90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使点B落在点D的位置，则线段AC具有的性质是（）A.是边BD上的中线B.是边BD上的高C.是△BAD的角平分线D.以上三种性质都具有【知识点】翻折前后三角形的大小、形状不变，三角形的高、中线、角平分线的概念【解题过程】把△ABC沿直线AC翻折180°∵翻折前后三角形的大小、形状不变，∴BC=DC，AC为△ABD的中线；∵翻折前后三角形的大小、形状不变，∴∠ACD=∠ACB=90°，AC⊥BD，AC为△ABD的高；∵翻折前后三角形的大小、形状不变，∴∠DAC=∠BAC，AC为△ABD的角平分线.【思路点拨】翻折前后三角形的大小、形状不变，结合三角形高、中线、角平分线的概念即可判断.【答案】D6.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的中线，相等的角有____对，分别是____________、____________.相等的线段是___________.【知识点】三角形的高、中线、角平分线的概念【解题过程】∵AD是△ABC的高，∴∠BDA=∠ADC=90°，∵AE是△ABC的角平分线，∠BAE=∠CAE，则相等的角有两对；又∵AF是△ABC的中线，∴BF=CF.【思路点拨】利用三角形的高、中线、角平分线的概念找相等的角与相等的线段.【答案】两，∠BDA=∠ADC、∠BAE=∠CAE、BF=CF.能力型师生共研7.如图，BE是△ABC的角平分线，AD是△ABC的高，∠ABC=50°，则∠AOB=______.【知识点】三角形的角平分线与高【解题过程】在△ABC中，∵BE是三角形ABC的角平分线，又∵∠ABC=50°所以∠ABE=25°；∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=50°，在△ABD中，∵三角形三个内角之和为180°，∴∠BAD=180°-90°-50°=40°，同理在△ABO中，∠BOA=180°-∠ABO-∠BAO=180°-25°-40°=115°.【思路点拨】根据AD是△ABC的高，得出∠ADB=90°，再由∠ABC=50°，利用三角形内角之和为180°，得出∠BAD=40°，BE是△ABC的角平分线，得出∠ABE=25°，再利用三角形内角之和为180°，从而计算出∠AOB的度数.【答案】115°8.如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且S△ABC=16cm2,则【知识点】中线平分三角形的面积.【解题过程】∵D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，∴AD是△ABC的中线、BE是△ABD的中线、BF是△EBC的中线，又因为S△ABC=16cm2，∴S△ABD=S△ACD=12S△ABC=8cm2,S△BDE=12S△ABD=4，S△DEC=12S△ACD【思路点拨】利用三角形的中线平分三角形面积进行求解．【设计意图】让学生灵活运用三角形的中线将三角形的面积平分这一知识点.【答案】4cm探究型多维突破9.在△ABC中，AB=AC，AD是中线，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为28cm，求AD的长.【知识点】三角形的中线的概念【解题过程】在△ABC中，AB=AC，AD是中线，即BD=CD∵△ABC的周长为34cm，∴AB+BD=34÷2=17，又∵△ABD的周长为28cm，∴AD=28-17=11cm.【思路点拨】根据三角形的中线的概念，得到BD=CD，再由AB=AC，可求出△ABC周长的一半，即AB+BD，再由△ABD的周长，求出第三边的长.【答案】11cm10.如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°，试求（1）AD的长，（2）△ABE的面积.【知识点】三角形的面积公式，三角形的高、中线【解题过程】（1）已知∠CAB=90°，∴S△ABC=12∙AB∙AC=24，S△ABC=12∙AD∙BC=5AD,∴5AD=24，∴AD=4.8cm；（2）已知AE是△ABC的中线，∴AE平分△ABC的面积，【思路点拨】根据同一个三角形的面积不变，建立等式，求出BC边上的高AD，再根据三角形的中线平分三角形的面积求出△ABE的面积.【答案】(1)4.8cm(2)12cm自助餐1.如果一个三角形的三条高的交点恰是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.都不可能【知识点】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高在位置上的区别【解题过程】锐角三角形的三条高的交点在三角形内部；直角三角形的三条高的交点是直角顶点；钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部,故选B.【思路点拨】三角形的三条高所在的直线相交于一点，这个点的位置要根据三角形的形状而定.【答案】B2.如图所示，在△ABC中，∠1=∠2，M为AD中点，延长BM交AC于E，F为AB上一点，CF⊥AD于N，以下正确的是（）A.AD是∠ABE的角平分线B.BE是△ABD边AD上的中线C.BE是△ABC边AC上的中线D.CN是△ACD边AD上的高【知识点】三角形的高、中线及角平分线的概念【解题过程】在△ABC中，∠1=∠2，∴AD是∠BAC的角平分线，A选项错误；∵M为AD中点，∴BM为△ABD的中线，B选项错误；∵点E不是A