新教材高中数学人教A版学案8-5-1直线与直线平行

8．5空间直线、平面的平行8．5.1直线与直线平行[目标]1.能用基本事实4解决一些数学问题；2.理解等角定理，能用等角定理解决一些数学问题．[重点]基本事实4的应用．[难点]等角定理．要点整合夯基础知识点一基本事实4[填一填][答一答]1．如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，DC∥AB，A′B′∥AB，DC与A′B′平行吗？提示：平行．知识点二等角定理[填一填][答一答]2．已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝(C)A．30°B．150°C．30°或150°D．大小无法确定解析：两个角的两边分别对应平行，那么这两个角是相等或互补关系，所以∠B′A′C′＝30°或150°.3．若两个角的两边分别对应平行，且两个角的开口方向相同，那么这两个角的关系是什么？提示：相等．典例讲练破题型类型一基本事实4的应用[例1]如图，E、F分别是长方体A1B1C1D1­ABCD的棱A1A、C1C的中点，求证：四边形B[分析]平行四边形是平面图形，若能证得四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形就是平行四边形．[证明]取DD1的中点点Q，连接EQ、QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ綉A1D1.又在矩形A1B1C1D1中A1D1綉B1C∴EQ綉B1C1∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E綉C1Q，又∵Q、F是矩形DD1C∴QD綉C1F∴四边形DQC1F∴C1Q綉DF.又∵B1E綉C1Q，∴B1E綉DF，∴四边形B1EDF为平行四边形．基本事实4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法.[变式训练1]如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′中，M、N分别为CD、AD的中点，求证：四边形MNA′C′是梯形．证明：连接AC.∵M、N为CD、AD的中点，∴MN綉eq\f(1,2)AC.由正方体性质可知AC綉A′C′.∴MN綉eq\f(1,2)A′C′.∴四边形MNA′C′是梯形．类型二等角定理的应用[例2]如右图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点．求证：△EFG∽△C1DA1[证明]连接B1C.因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF綉eq\f(1,2)B1C.又ABCD­A1B1C1D1所以CD綉AB，A1B1綉AB，由基本事实4知CD綉A1B1，所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D綉B1C又B1C∥FG，由基本事实4知A1D∥FG同理可证：A1C1∥EG，DC1∥EF又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两边分别对应平行且均为锐角，所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1所以△EFG∽△C1DA1.等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本事实4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补.[变式训练2]如图，已知线段AA1、BB1、CC1交于O点，且eq\f(OA,OA1)＝eq\f(OB,OB1)＝eq\f(OC,OC1)，求证：△ABC∽△A1B1C1.证明：∵AA1与BB1交于点O.且eq\f(OA,OA1)＝eq\f(OB,OB1)，∴A1B1∥AB.同理A1C1∥AC，B1C1∥又∵A1B1和AB，A1C1和AC∴∠BAC＝∠B1A1C1，同理∠ABC＝∠A1B∴△ABC∽△A1B1C1课堂达标练经典1．和直线l都平行的直线a，b的位置关系是(C)A．相交B．异面C．平行D．平行、相交或异面解析：由基本事实4可知，和直线l都平行的直线a，b的位置关系是平行．2．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为(D)A．60° B．120°C．30° D．60°或120°解析：如图所示，因为空间两个角α，β的两边分别对应平行，所以这两个角相等或互补，故由α＝60°，得β＝60°或120°.3．已知∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，则AC与A1解析：如图所示，∠BAC＝∠B1A1C1，AB∥A1B1，由图可知AC与A4．如图，已知E，F，G，H分别是三棱锥A­BCD棱AB，BC，CD，DA的中点，AC与BD所成角为60°，且AC＝BD＝2，则EG＝1或eq\r(3).解析：因为E，F，G，H分别是三棱锥A­BCD棱AB，BC，CD，DA的中点，所以EF为△ABC的中位线，故EF∥AC且EF＝eq\f(1,2)AC，同理GH为△ACD的中位线，故GH∥AC且GH＝eq\f(1,2)AC，所以EF綉GH，所以四边形EFGH是平行四边形且EF＝eq\f(1,2)AC＝1.同理FG∥BD且FG＝eq\f(1,2)BD＝1.因为AC与BD所成角为60°，所以∠EFG＝60°或120°，当∠EFG＝60°时，EG＝1.当∠EFG＝120°时，EG＝eq\r(3).5．如图所示，P是△ABC所在平面外一点，点D，E分别是△PAB，△PBC的重心．求证：DE∥AC，DE＝eq\f(1,3)AC.证明：如图，连接PD，PE并延长，分别交AB于点G，交BC于点H，则G，H分别是AB与BC的中点，连接GH，则GH∥AC，且GH＝eq\f(1,2)AC.在△PHG中，eq\f(PE,PH)＝eq\f(PD,PG)＝eq\f(2,3).所以DE∥GH，且DE＝eq\f(2,3)GH.所以DE∥AC，DE＝eq\f(1,3)AC.——本课须掌握的三大问题1．求证两直线平行，目前有两种途径：一是应用基本事实4，即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位