习题课高等数学微积分

习题课高等数学微积分目录contents微分学基本概念与运算积分学基本概念与运算微分中值定理及其应用多元函数微分学与积分学无穷级数及其收敛性判别法微积分在解决实际问题中应用举例01微分学基本概念与运算VS设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处取得增量$Deltax$（点$x_0+Deltax$仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$；如果$Deltay$与$Deltax$之比当$Deltaxto0$时极限存在，则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，并称这个极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记作$f'(x_0)$。微分定义设函数$y=f(x)$在某区间内有定义，$x_0$及$x_0+Deltax$在这区间内，如果函数的增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$可表示为$Deltay=ADeltax+o(Deltax)$（其中A是不依赖于$Deltax$的常数），而$o(Deltax)$是比$Deltax$高阶的无穷小，那么称函数$f(x)$在点$x_0$是可微的，且ADeltax称作函数在点$x_0$相应于自变量增量$Deltax$的微分，记作$dy$，即$dy=ADeltax$。导数定义导数与微分定义导数计算法则及举例导数计算法则包括常数与函数的导数、幂函数的导数、乘积的导数、商的导数等计算法则。举例例如，对于函数$y=x^2$，其导数为$y'=2x$；对于函数$y=sinx$，其导数为$y'=cosx$。包括常数与函数的微分、幂函数的微分、乘积的微分、商的微分等计算法则。微分计算法则例如，对于函数$y=x^2$，其微分为$dy=2xDeltax$；对于函数$y=sinx$，其微分为$dy=cosxDeltax$。举例微分计算法则及举例复合函数求导法则如果函数$u=g(x)$在点$x$可导，并且函数$y=f(u)$在点$u=g(x)$可导，那么复合函数$y=f[g(x)]$在点$x$也可导，且其导数为$frac{dy}{dx}=frac{dy}{du}cdotfrac{du}{dx}$或$frac{d}{dx}f[g(x)]=f'(u)g'(x)$。隐函数求导法则如果方程$F(x,y)=0$能确定一个可导函数$y=f(x)$，那么对方程两边同时对$x$求导，可以得到一个包含导数$frac{dy}{dx}$的方程，通过解这个方程可以求出导数$frac{dy}{dx}$。复合函数、隐函数求导法则02积分学基本概念与运算不定积分的性质包括线性性质、积分区间可加性、常数倍性质等。积分表的使用掌握常见函数的积分公式，能够利用积分表进行不定积分的计算。不定积分的定义不定积分是求一个函数的原函数或反导数的过程，表示了函数图像与x轴围成的面积。不定积分定义及性质换元积分法通过变量代换将复杂的不定积分转化为简单的不定积分进行计算，包括三角代换、根式代换等。分部积分法将两个函数乘积的不定积分转化为两个函数分别求不定积分后再相乘的形式，适用于被积函数为两个函数乘积的情况。两种方法的比较与选择根据被积函数的特点选择合适的积分方法。换元积分法与分部积分法有理函数的积分通过部分分式分解将有理函数转化为简单分式的和，再分别求不定积分。三角函数的积分掌握三角函数的基本积分公式，能够处理包含三角函数的不定积分。举例分析通过具体例子展示有理函数和三角函数积分的求解过程。有理函数和三角函数积分举例定积分是求一个函数在闭区间上的积分值，表示了函数图像与x轴围成的面积。定积分的定义定积分的性质微积分基本定理包括线性性质、区间可加性、保号性、绝对值不等式等。建立了不定积分与定积分之间的联系，使得定积分的计算可以转化为求原函数在区间端点的函数值之差。定积分定义及性质03微分中值定理及其应用罗尔定理拉格朗日定理柯西定理罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，则至少存在一点$cin(a,b)$，使得$f'(c)=0$。如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，则至少存在一点$cin(a,b)$，使得$f'(c)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。如果函数$f(x)$和$g(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$g'(x)neq0$，则至少存在一点$cin(a,b)$，使得$frac{f'(c)}{g'(c)}=frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。如果函数$f(x)$在点$x_0$处具有$n$阶导数，则存在$x_0$的一个邻域，对于该邻域内的任意一点$x$，有$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$，其中$R_n(x)$是泰勒公式的余项。如果函数$f(x)$在点$x_0$处具有无穷阶导数，且其泰勒公式的余项$R_n(x)$在$ntoinfty$时趋于零，则称$f(x)$在点$x_0$处可展成泰勒级数，即$f(x)=sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$。泰勒公式泰勒级数泰勒公式与泰勒级数利用罗尔定理证明等式通过构造辅助函数，将待证等式转化为罗尔定理的形式，从而证明等式成立。利用拉格朗日定理证明不等式通过拉格朗日定理得到函数在某点的导数值，结合函数的单调性或其他性质证明不等式。利用柯西定理证明不等式通过柯西定理得到两个函数在某点的导数之比，结合函数的性质证明不等式。利用中值定理证明等式或不等式030201判断函数的单调性通过中值定理可以判断函数在某个区间内的单调性。判断函数的凹凸性通过中值定理可以判断函数在某个区间内的凹凸性。求函数的极值和最值通过中值定理可以求出函数在某个区间内的极值和最值。研究函数的图像和性质通过中值定理可以研究函数的图像和性质，如拐点、渐近线等。中值定理在函数性质研究中的应用04多元函数微分学与积分学多元函数定义设D为一个非空的n元有序数组的集合，f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组(x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。多元函数的极限包括重极限和累次极限，其定义方式与一元函数的极限类似，但需要考虑多个自变量的变化。多元函数在某点的连续性可以通过该点的极限值与该点的函数值是否相等来判断。多元函数的极限多元函数的连续性多元函数基本概念与性质全微分全微分反映的是多元函数在某一点附近的全增量与自变量增量之间的线性关系。计算法则偏导数和全微分的计算可以分别通过求导法则和微分法则进行，需要注意多元函数的复杂性和自变量之间的相关性。偏导数偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率，其他自变量固定，只对一个自变量求导。偏导数、全微分及其计算法则多元复合函数和隐函数求导法则多元复合函数的求导需要遵循链式法则，将复合函数分解成多个简单函数，然后分别求导并相乘。多元复合函数求导法则隐函数的求导需要先将隐函数转化为显函数形式，然后通过求导法则进行计算。如果无法直接转化，可以通过对方程两边同时求导的方式求解。隐函数求导法则重积分概念、性质及计算方法重积分的计算方法包括化重积分为累次积分、换元法、极坐标法等。其中，化重积分为累次积分是常用方法之一，可以将重积分转化为多个一元函数的定积分进行计算。计算方法重积分是多元函数积分的重要组成部分，包括二重积分和三重积分等。其概念是将一元函数的定积分推广到多元函数的情况。重积分概念重积分具有线性性、可加性、保号性、绝对可积性等性质，这些性质在计算和应用中具有重要意义。重积分的性质05无穷级数及其收敛性判别法比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法等，用于判断正项级数的收敛性。正项级数审敛法莱布尼茨定理及其推论，用于判断交错级数的收敛性。交错级数审敛法通过判断级数绝对值的收敛性来确定原级数的收敛性。绝对收敛与条件收敛常数项级数收敛性判别法幂级数展开式泰勒级数、麦克劳林级数等，用于将函数展开为幂级数形式。要点一要点二收敛域确定通过求解不等式或利用已知函数的收敛域来确定幂级数的收敛域。幂级数展开式及其收敛域确定一致收敛性的定义给出函数项级数一致收敛的定义及性质。判别法魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法等，用于判断函数项级数的一致收敛性。函数项级数一致收敛性判别法无穷乘积的定义及性质给出无穷乘积的定义及基本性质。无穷乘积与无穷级数的关系探讨无穷乘积与无穷级数之间的联系与转化方法，如利用对数函数将无穷乘积转化为无穷级数进行求解。无穷乘积与无穷级数关系探讨06微积分在解决实际问题中应用举例最优化问题求解方法探讨通过计算函数的梯度，沿着负梯度方向逐步迭代，寻找函数的最小值点。牛顿法利用函数的二阶导数信息，构造二次逼近函数，通过求解逼近函数的零点得到原函数的最优解。拉格朗日乘数法在约束条件下求多元函数的最值，通过构造拉格朗日函数，将约束条件融入目标函数中，求解拉格朗日函数的驻点得到最优解。梯度下降法曲线长度计算利用弧长公式，对曲线的参数方程进行积分，得到曲线的长度。空间立体体积计算利用三重积分，将空间立体的体积转化为三重积分的计算问题。平面图形面积计算通过格林公式或二重积分，将平