高考数学一轮复习精练必备 第22练 空间中的平行关系（教师版）

第22练空间中的平行关系

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一、单选题

1.已知直线a、6和平面a,下面说法正确的是（）

A.若6,b//a,则a〃aB.若a〃人bua,则a〃a

C.若a〃b,bua*awa,则a〃aD.若.aHa,b//a,则。〃b

【答案】C

【详解】

对于A,若。〃b,b//a,则a〃a或aua,故A错误;

对于B,若a〃b,bua,则a〃。或auc,故B错误;

对于C,若。〃b,bca,aaa,则。〃a,故C正确;

对于D,若a〃a,b〃a,则a〃从a与6相交，或a与6异面，故D错误.

故选：C.

2.设a,尸为两个不同的平面，则a〃4的充要条件是（）

A.a内有无数条直线与广平行

B.4£垂直于同一平面

C.5夕平行于同一条直线

D.a内的任何直线都与夕平行

【答案】D

【详解】

A选项，a内有无数条直线与夕平行，a%/可能相交，A选项错误.

B选项，%乃垂直于同一平面,a与尸可能相交,B选项错误.

C选项，6夕平行于同一条直线，a与夕可能相交，C选项错误.

D选项，a内的任何直线都与夕平行，则a〃6，D选项正确.

故选:D

DEDF

3.在空间四边形”8中，E,尸分别在仞。上,且满足百=三,则直线科与平面

ABC的位置关系是（

A.EF丨平面A8CB.EFu平面A8C

C.E尸与平面ABC相交D.以上都有可能

【答案】A

【详解】

..DEDF

'~EA~~FC

：.EFAC

又；ACu平面ABC,EF<z平面ABC.

EF平面ABC.

故选：A

4.如图，已知尸为四边形ABC。外一点，E,F分别为BD,尸。上的点，若防//平面

PBC,则（）

P

A.EF//PAB.EFUPBC.EF//PCD.以上均有可能

【答案】B

【详解】

如下图分别在边C£>,AD上取点G,H,使DG=DF,DH=DF,

所以FG//PC,FH//PA,又EFcFG=F,EFcFH=F,

所以选项A,C,D不正确.

因为〃平面P8C,且平面尸8。平面户8C=P8,EFu平面PBD,所以EFUPB,故B

正确.

5.如图是正方体的平面展开图.关于这个正方体，以下判断不正确的是（)

A.BM//DEB.CN//平面AFB

C.EO与N尸所成的角为60°D.EN//BC

【答案】A

【详解】

如图：由正方体的平面展开图还原正方体ABCD-E矶W

根据图形显然不平行，EN//BC,A不正确，D正确；

EN//BC且EN=BC,则ENBC为平行四边形

CN//BE

CNU平面AFB,8Eu平面厶尸3

则CN//平面"B,B正确；

连接C尸

•:EFCD且EF=CD,则EFCD为平行四边形

DE//FC

又,：NF=CF=CN,即△CFN为等边三角形

/.ED与NF所成的角为60。，C正确：

故选：A.

6.如图，。为平行四边形力质所在平面外一点，过比'的平面与平面必〃交于即后在线

段如上且异于只D,则四边形跖外是（）

p

E

-413

A.空间四边形B.矩形C.梯形D.平行四边形

【答案】C

【详解】

因为BC//AD,ADu平面A4£>,8C<Z平面PAD,

所以BC〃平面PAD,

因为BCu平面“BC,平面EF8C)平面Rl£)=所，

所以BC〃EF,

因为8c=AD,EF<AD,

所以EF<BC,

所以四边形EEBC为梯形，

故选：C

7.已知长方体中，AB=AD=4,蝴=2,E,尸分别为棱A5和AR

的中点，M为长方体表面上任意一点.若8W〃平面AEF,则9的最大值为

()

A.2瓜B.2仮C.4&D.6

【答案】C

【详解】

如图所示，取G,"分别为棱80和的中点，连接

由题意易知8尸〃〃4。，

所以8尸〃GH；

又易知AF//BG,

故可以证明平面〃平面AEF：

乂BM〃平面AEF，由面面平行的性质可知MG平面BGHD,

所以由题意可知M在等腰梯形8GHO四条边上运动，

过点H作HQ丄BD,交BD于点

由题意可知B£>=4忘,GH=2^2,DH=BG=2后,DQ=41,

所以HQ^Df/Z-DQ2=n,BQ=BD-DQ=3拒,

所以+BQ2=46+18=必=2底,

又BD=A丘>2y^=BH,

所以故当“与。点重合时，8M的值为最大值，此时BM=BO=4及;

故选：C

8.如图，在棱长为1的正方体A88-A8GQ中，P为棱B片的中点，。为正方形

内一动点(含边界)，若。。//平面4尸力，则线段长度的取值范围是

()

【答案】D

【详解】

如图，取CG中点E,4G中点尸，连接

所以瓦V/BC，正方体中，易得4C/M,。，所以EF//A。，

因为所（z平面AP。，ACu平面AP。，所以所//平面AP。，

因为P,E为3q,C<中点,所以RE//AP,

因为。E<X平面4尸。，4fu平面APO,所以RE//平面Af£）,

因为EFcRE=E,所以平面乌EF//平面APO,

因为AQ〃平面AP。，所以。Qu平面REF,

又。为正方形BBCC内一动点（含边界），所以。在线段E尸上，

可得厶£=且，。尸=選,£/=也，

'2'22

当Q在E尸两端时，DQ取得最大值为由,

2

所以。卫长度的取值范围是乎，乎.

故选：D.

二、多选题

9.如图，在下列四个正方体中，A,占为正方体的两个顶点，M,M。为所在棱的中点，则

在这四个正方体中，直线A3与平面"NQ平行的是（）

iB

【答案】BCD

【详解】

对于选项A,OQ//AB,偌与平面版VQ是相交的位置关系，故46和平面也也不平行，故A错

对于选项B,由于AB"CD//MQ,结合线面平行判定定理可知4?〃平面加Q故B正确:

对于选项3由于仍〃切〃,阕，结合线面平行判定定理可知仍〃平面拗◎故C正确;

对于选项D,由于AB//CDHNQ,结合线面平行判定定理可知46〃平面桃V&故D正确;

10.下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中正确的关系有（）

A.AG//CDB.应1〃平面4%

C.平面应花〃平面加方D.BE，/沃面DGC

【答案】BC

【详解】

还原为原正方体如图所示,

由图可知，AG与C。异面，故A错误；

因为。E〃AF,AFu平面A8FG,

所以OE//平面ABFG,故B正确；

因为。E〃AF,AFu平面AF"，所以〃平面AF”，

因为DB"FH,FHu平面AFH,所以QB//平面AF",

而£>EcD3=L>,DE、O8u平面B£>E,

所以平面8DE〃平面A尸〃，故C正确；

因为BE//AH,A”与平面DGC相交，

所以BE与平面DGC相交，故D错误.

故选：BC.

11.设a,广，/为三个平面，1,m,〃为三条直线，则下列说法不正确的是

()

A.若"?ua,l//m,则/〃a

B.若/上有两点到a的距离相等，则/〃。

C.a,p,y两两相交于三条直线1,m,n,若/〃〃?，则“〃加

D.若，"ua,〃ua,m//(3,〃〃力，则a〃/7

【答案】ABD

【详解】

解：对A：若mua,I//m,贝lj/〃&或/ua,故选项A错误；

对B：若/上有两点到a的距离相等，则/〃a或/ua或/与a相交，故选项B错误；

对C：口,尸，/两两相交于三条直线厶m,n,若/〃加，由线面平行的判断定理及性质

定理可得”〃加，故选项C正确；

对D：若mua,”ua,机〃尸，“〃尸，则a〃4或a与4相交，故选项D错误.

故选:ABD.

12.如图所示，平面a〃平面小ABuaCDu/3,PA=2,AB=\,CD=3,则

()

A.CD//aB.AC-4C.PB=\D.一=一

PBCD

【答案】AB

【详解】

对于A,因为平面a〃平面广，CDu平面广，所以CD〃平面a,故A正确

对于B,设由PC与PD所确定的平面为7

因为平面a〃平面齐，平面aQ平面夕=AB,平面夕「平面/=8

pAAR71

所以AB〃CQ,所以黒=黑即7彳=：，解之得AC=4

PCCD2+AC3

对于C,若尸6=1,则=这与三角形三边关系定理相矛盾，故C错误

亠Tn尸4A8PAPB

对于D,—=—u>——=——,

PBCDABCD

PAPC

而由AB〃CD=—=—,

ABCD

但也与PC长度关系不确定，故D错误

故选：AB

三、解答题

13.如图，在圆锥PO中，A,B,C为底面圆上的三个点，OC//AB,且

PO=3OC=2AB=6,PE=2BE.

p

(1)证明：CE//平面PAO.

(2)求四棱锥E-ABC。的体积.

【解析】⑴

如图，设线段4P上靠近A的三等分点为尸，连接EF,OF.

PFPF22

因为能=正=§,所以厶PEFS.FBA,所以£F〃AK,且EF=§A8,

2

因为OC7/A8,且OC=§A8,所以EF〃OC,且所=OC,

所以四边形OCEF为平行四边形，所以CE//OF

因为CEfZ平面PAO,OFu平面R4O,所以CE〃平面PAO.

(2)

作OG丄A8于点G,则G为的中点，所以OG=/2?-1,j=^，

所以梯形ABCO的面积为生父x且=也，

224

因为尸E=23E,所以E到平面ABC。的距离为:尸。=2,

所以四棱锥E-ABCO的体积为lx侦、2=处.

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14.如图，在四棱柱/a®-中，典丄平面4?微AD//BC,ZBAD=W°.

⑴求证：BC〃平面狼儿；

⑵若AD=2AB=2m,8"与平面ABCD所成角为夕，满足#mtan0=4-m2H\<m<\/3，求

匕3四“最大值.

【解析】(1)

'：AD//BC,BCU平面ADD小,4t平面

〃平面ADDA.

(2)

,/BB,L平面ABCD,则瓦。与平面ABCD所成角为N8QB,即tan£=煞，

BD

〈N从〃=90°S,AD=2AB=2m,则=石机，

#mtan。=4-ivr,则BB=4-ni2Fl.1<w<V3,

=x

VB_ABN=V*_ABD=]SABDxBB["-2m)x(4一/叫

当=2，卬m=\/2G(1,JG)时取等号

4

•*•VB-ABQ最大值为

15.如图，在四棱柱A88-A&GR中，四边形46(力是正方形，E,F,G分别是棱8与，

B,C,,CG的中点.

(1)证明：平面AEF〃平面4RG;

(2)若点A在底面48缪的投影是四边形的中心，AA=2AB=4,求三棱锥A-4RG

的体积.

【解析】(1)

证明：连接用，BCt.

因为反。分别是棱BB,,CC,的中点，所以EG〃B£,EG=B©.

因为AA〃瓦G，g=B£,所以EG〃AA，EG=A3，

所以四边形EG。圈是平行四边形，则QQ〃AE.

因为。Gu平面AQG,AE<Z平面ARG,所以AE〃平面A"G.

因为公尸分别是棱BC的中点，所以EF〃BG.

因为AA〃BG，所以EF〃AZV

因为A£)1U平面A"G,所a平面A"G,所以圧〃平面ACQ.

因为EFu平面AEF,AEU平面AEF,且AECEF=E,

所以平面AEF//平面A。。.

⑵

连接4GBD,记ACBD=O,连接A。，则A。丄平面力颇.

因为2A6=4,所以Afi=AD=2,所以A。=5AC=J^.

因为A4=4,所以4。=旧，

则四棱柱ABCD-ABCQ的体积7=2x2x714=4714.

故三棱锥G-A4Q的体积乂=丄卜=丄、4旧=厶叵，

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