重庆市重点中学校2023-2024学年高一年级上册第一次月考数学题 含解析

重庆市重点中学校高2026届高一（上）第一次月考数学试题

（满分150分，考试时间120分钟）

本试卷为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.

注意事项：

1.作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上.

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.

3.考试结束后，答题卡、试卷、草稿纸一并收回.

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合4=卜=*1"无《10},集合人{引或珍8},则4B=（）

A.0B.{1,8,9,10}C.{%|8<x<10}D.{x|8KxK10或

x=l}

【答案】B

【解析】

【分析】化简集合A,利用交集的定义求解Ac8.

【详解】化简集合人气相四公工公。},得4={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},

又集合3={y|yKl或丁28},由交集的定义可得，

AB={1,8,9,10）.

故选：B

2.命题“3ceR,使得/+3》+2<0”的否定是（）

A.VXGR,均有/+3%+2<0

B.VxeR,均有必+3%+220

C.3xeR,有f+3*+2>0

D.3xeR,<%2+3x+2<0

【答案】B

【解析】

【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.

【详解】解：由题意可知，命题FxGR使得x2+3x+2<0”是存在量词命题，

所以其否定是WxGR,均有x2+3x+2>0,

故选：B.

3.使得不等式“/«1”成立的一个必要不充分条件是()

A.-1<X<1B.x<lC.xWlD.x>l

【答案】C

【解析】

【分析】首先解出一元二次不等式，再根据集合的包含关系判断即可.

【详解】由即(x+l)(x—l)WO,解得—IWXWI,

因为［—U］真包含于(f』，

所以使得不等式“Ywi”成立的一个必要不充分条件可以是XW1.

故选：C

4.若命题“存在xeR,x2-2x-相=0”是真命题，则实数机的取值范围是()

A.m<—iB.m>—lC.-l<77i<lD.m>-1

【答案】B

【解析】

【分析】由题可知方程有实数解，即求.

【详解】由题知方程V—2x-m=0有实数解，

/.A=(-2)2-4x(-/n)>0,

解得加2-1,

故选：B.

5.为丰富学生的课外活动，学校开展了丰富的选修课，参与“数学建模选修课”的有169人，参与“语文

素养选修课”的有158人，参与“国际视野选修课”的有145人，三项选修课都参与的有30人，三项选修

课都没有参与的有20人，全校共有400人，问只参与两项活动的同学有多少人？()

A.30B.31C.32D.33

【答案】C

【解析】

【分析】先画出韦恩图，根据荣斥原理求解.

【详解】画出维恩图如下：

设：只参加“数学建模课”和“语文素养课”的有X人，只参加“数学建模课”和“国际视野课”的有y人,

只参加“语文素养课’和“国际视野课’的有z人，

贝ij：139+128+115+30-(%+y+z)+20=400,x+y+z=32；

故答案为：32人.

6.已知集合M=%——,meZ>,N=<xx=---,neZ>,P=<xx=—+—,peZ>,则集合

6J[23J[26,

M,N,尸的关系为()

A.M=N=PB.M=N=P

C.M^N0PD.M=N,NCP=0

【答案】B

【解析】

【分析】对集合M,N,P中的元素通项进行通分，注意3〃-2与3p+l都是表示同一类数，67%—5表示的

数的集合是前者表示的数的集合的子集，即可得到结果.

.A[5156m-56(〃z—1)+1

【详解】对于集合—=m——=-----=--------,

〔6Jx666

n

g工隹八"1/13n-23(zz-l)+l

对于集合NNT=</xx=----,nwZ>,=----=-----=—-----,

〔23Jx2366

对于集合。=<xx=K+4,peZ>,x=-+-=3/7+1,

26266

由于集合”,N,尸中元素的分母一样，只需要比较其分子即可，且私心pwZ,

注意到3(〃-1)+1与3p+l表示数都是3的倍数加1,6(m—1)+1表示的数是6的倍数加1,

所以6（加-1）+1表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集,

所以=

故选：B.

7.对于集合定义M—N={x|xeM,xeN},M㊉N=（M-N）（N-M）,设

A=B={x|x<O,xeR},则（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据题中集合新定义的特性结合集合的基本运算可求解出结果.

【详解】集合A=（x|x2-B={x|x<O,xeR）,

9

则8^A=<x%<-—,xeR>,=1%|x>O,xeR|,

由定义可得：A-B=4且1e5}=Ac={x|x20,%£R}=[0,+a）,

_B—A={x|xe5且xeA}=5c3A=<xx<—jxeR>=^-oo,-^,

所以A㊉5=（4_3）」（3_4）=[_吗—[0,+叫，选项ABD错误，选项C正确.

故选：C.

8.已知正数a/满足a+b=2,则13+18+W的最小值为（）

A.36B.42C.46D.49

【答案】D

【解析】

（2V2、9b4a

【分析】由题设可得3+—8+：=37+—+丁，利用基本不等式求最小值，注意取值条件.

I。八"ab

【详解】由题设[3+2][8+2]=(4+2)(9+0)=37+艺+加之37+2^^^=49,

Va)\b)abab\ab

9b4-ci64

当且仅当j=—n2〃=3b,即〃=—8=—时等号成立，

ab55

所以0+，8+的最小值为49.

故选：D

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.下列关于符号使用正确的有()

A.OeN*B.

c.{0}c{0,l}D.{0}C{{0},1}

【答案】BC

【解析】

【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系判断即可.

【详解】对于A：OeN*，故A错误；

对于B：、后@Q,^3eR,所以故B正确；

对于C{0}1{0,1},故C正确;

对于D：{0}6{{0},1}或{0}</{{0},1},故D错误；

故选：BC

10.下列命题为真命题的是()

A.若a>b,c>d,则a+c>〃+dB.若c>d,则ac>bd

11cc

C.若一<;<0,则aZ?v/D.若〃</?<(),c<0f则一〈不

abab

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据不等式的性质、作差比较法等知识确定正确答案.

【详解】A选项，当。>〃，c>d时，根据不等式的性质可知a+c>>+d,A选项是真命题.

B选项，当c>d时，如1>一1,2>-2,lx2=(-l)x(-2),B选项是假命题.

C选项，当工<!<0时，b<a<0,两边乘以b得C选项是真命题.

ab

D选项，当〃vZ?<0,cvO时，b—a>0,-----=c--------<0,—<—，D选项是真命题.

ababab

故选：ACD

11.以下说法正确的有()

11

A.实数x>y>。是一<一成立的充要条件

%y

B.ab<对a,beR恒成立

Y1

C.若对任意%>0,二-------〈〃恒成立，则实数。的取值范围为二

x+3%+15

D.若xeR则3=6+3+的最小值是2

V%+3

【答案】BC

【解析】

【分析】A将x=-l,y=l代入判断；B展开不等式右侧，结合基本不等式判断不等关系；C问题化为

—rT)max,利用基本不等式求最大值即可得参数范围；D基本不等式求最小值，注意等号是否能

x+—+3

x

够成立即可.

【详解】A：当x=-l,y=l时工<工成立，但x>y>。不成立，错;

%y

B：2"有=\与‘子=而’当且仅当"。时等号成立，对;

C：由题意一厂在xe(0,+oo)上恒成立，只需一1’1mx即可，

x+-+3X+-+3

XX

1rr_o<i—<-

而x+—+322jx-一+3=5,当且仅当x=l时等号成乂，故1々5,

XVX%+—+3

X

所以Q21，对；

D：y=J%、+3H—/22y/x2+3•/:=2,

而入3人即内故等号不成立，错.

故选：BC

12.下列命题正确的是()

,,,八i〃a+m

A.右Q>Z7>0,m>0,则一<----；

bb+m

114

B若正数〃、b满足a+Z?=l,贝|----1----->—；

a+1/7+13

c.若尤>0,则2—3x—d的最大值是2—46；

X

D.若x=(x—2)y,x>0,y>0,则x+2y的最小值是9；

【答案】BC

【解析】

【分析】A选项用作差法即可，B,C,D选项都是利用基本不等式判断.

aa+m_(a-b)m

【详解】对于选项A,

bb+mb(b+m)

因为a>b>0,m>0,所以。一>>0,

aa+maa+m

、>0,即,1—>0,故丁—,所以A错误;

b\b+mjbb+mbb+m

对于选项B,因为a+Z?=l,所以Q+1+/?+1=3,

1111b+\a+14

----1----+2>—

a+1Z7+13k62+1Z?+13

当且仅当生=生虫，即。=。=!时，等号成立，故B正确；

«+1b+12

对于选项C,因为尤>0,3x+->2A^xx?=4s/3,当且仅当3x=3即x=±叵时，等号成立，所

x\xx3

以2—3%—42—故C正确；

x

/-I21

对于选项D,因为x=(x—2)y,所以一+—=1,

y

所以x+2y=(x+2y)(^+2]=2+曳22,区至+4=8,当且仅当土=曳即x=4,y=2时，等

号成立，所以x+2y的最小值是8,故D错误.

故选：BC.

第n卷(非选择题)

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.已知实数羽V满足—l<x<2,0<y4l,则x—2y的取值范围是.

【答案】［-3,2)

【解析】

【分析】利用不等式的性质即可求得答案

【详解】解：因为。<y<l,所以一2<—2y<0,

因为—1Kx<2,所以—3Vx-2y<2,

所以x—2y的取值范围是［―3,2),

故答案为：［—3,2)

14.不等式o%2+匕％+2>0的解集是1,则“+/?=

【答案】-14

【解析】

a<0

-2=-;求心方，即可确定目标式的结果.

【分析】由一元二次不等式的解集可得<

a6

2__£

a6

r

a<Q

b1a——12

【详解】由题设，<——=可得

a6b--2

2__j_

、Q6

•・a+b=—14.

故答案为：—14

15.已知A={(x,y)孙=12},3={(x,y)x,yeN,y<x},则AB=,

【答案】{(12,1),(6,2),(4,3))

【解析】

【分析】根据交集定义可联立构造方程组求得九,y的值，从而得到结果.

xy=12

【详解】由卜,yeN得:x=12x=6x=4

或V。或《B=｛（12,1）,（6,2）,（4,3）｝.

b=l[y=2【k3'

y<x

故答案为：{（12,1）,（6,2）,（4,3））.

16.已知正实数尤。满足4/—9孙+2y2=—4,且彳<x<2y,贝|3x+y的最小值为.

【答案】4

【解析】

【分析】将4/一9孙+2/=_4,变形为（4x-y）（2y-x）=4,再由3x+y=（4x-y）+（2y—力，利

用基本不等式求解.

【详解】解：因为4f—9町+2/=（4x—y）（x—2y）=-4,

所以（4x-y）（2y-x）=4,

所以3x+y=（4x_y）+（2y_x）22j4x_y）（2y—x）=4,

（当且仅当4x-y=2y—x时，联立4/—9盯+2/=—4,

解得x=£,y=W）,

7-7

所以3x+y的最小值为4,

故答案为：4

四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余各题每题12分，共70分，解答应写出文字

说明、证明过程或演算步骤.

17.已知全集。={x|—6<x<5},M={x\-3<\-2x<\],N={x\-3<x<2].

（1）求MuN；

（2）求,（MN）.

【答案】（1）{x|-3<x<2}

（2）{x|-6WxW0或2WxW5}

【解析】

【分析】(1)根据并集知识求得正确答案.

(2)根据交集和补集的知识求得正确答案.

【小问1详解】

由于"={x|-3<l-2x<l}={x[0<x<2},N={x|-3<x<2},

所以MDN={X[—3<x<2}

【小问2详解】

MN={x|0<%<2},

所以七(M9)={*|一64X40或24145}.

18.在①AD5=5；②A1(AIB)；③AcB=0这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的

横线处，求解下列问题.

问题：已知集合4={尤|=一2%—34。}.

(1)当a=—万时，求A(4_8)；

(2)若,求实数。的取值范围.

【答案】(1){x\-2<x<-l]；

(2)答案见解析.

【解析】

【分析】(1)解一元二次不等式求集合8,再由集合的交补运算求结果；

(2)根据所选条件判断集合间的关系，注意讨论4=0、A/0分别求参数范围，即可得参数范围.

【小问1详解】

由题设A={x|-2<={x|-1<3},则条3={x[x<-1或x>3},

所以A(^B)={x|-2<x<-l}.

【小问2详解】

选①：A<JB=B=>A^,B,

选②：Ao(AIB)=>AcB,

若A=0,则27-12〃+1=〃22,满足；

2a-l>-l

若AN0,则｛a+l<3nOWa<2；

2〃—1<a+1

综上，a>Q.

选③：Ac5=0,

若A=0,则加一12a+l=a22,满足；

a+1<—1、2tz-l>3

若A/0,则《na<—2或vNQ=0；

2。一1<a+12tz—1<〃+1

综上，<2G（-00,-2）,[2,+oo）.

19.解答下列各题.

（1）已知a<6<0,试比较与空■与”2大小;

a2-b2a-b

(2)设a,b,c均为正数，且a+Z?+c=l,证明：-Jab+y/bc+yfac<1-

a+ba2+/?2

【答案】（1）----〉—^----T

a—bcT-b-

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）应用作差法比较大小即可;

(2)由2a+2/?+2c=(a+Z?)+(a+c)+3+c)=2,应用基本不等式证明结论.

【小问1详解】

a+b/+/(a+b)2—(/+/?2)2ab月7c

--5~7=-----\-----=丁~7，又。</?<0,

a-ba-b-a9--ba-b-

-.,27c,八,,a+ba+b~八Ha+6

所C[以矿一厅〉0,a》>0,故-------；——->0,即n----->

a-ba"-b"a-b

【小问2详解】

由题设2a+2b+2c=(a+V)+(a+c)+(b+c)=2,

又(a+6)+(a+c)+(6+c)=222y[ab+2Vac+2^/^,

当且仅当a=b=c=!时等号成立，

3

所以J茄+J立+J五<1，得证.

20.为了提高某商品的销售额，某厂商采取了“量大价优”“广告促销”的方法，市场调查发现，某件产品的

1Q

月销售量加（万件）与广告促销费用x（万元）（x>0）满足：加=12---------,该产品的单价”与销售量相

2%+1

9

之间的关系定为：〃=9+—万元，已知生产一万件该产品的成本为8万元，设该产品的利润为y万元.

m

（1）请用x表示y并表示出x的范围；（利润=销售额-成本-广告促销费用）

（2）当广告促销费用定为多少万元的时候，该产品的利润最大？最大利润为多少万元？

1Q1

【答案】（1）y=21-----------尤且xe（-,+e）；

2%+14

531

（2）广告促销费用定为一万元的时候，该产品的利润最大为二万元.

22

【解析】

【分析】（1）根据题设有丁=加"-8加-了,结合已有函数模型即得〉的表达式，并确定自变量范围;

（2）利用基本不等式求函数最大值，并写出利润最大时对应广告促销费用即可.

【小问1详解】

[8

由题意，y=加一8根一x=21-----------x,

2x+l

D18八1

又加=12--------->0m>一,

2x+l4

1Q1

所以y=21-----------x且xe（—

2x+l4

【小问2详解】

由⑴知：y=&-（上+2）W竺-2182x+l_31

22x+l222x+l

,„,,182x+l52.

当且仅当------=------0x=—时等号成立,

2%+122

所以,广告促销费用定为一5万元的时候，该产品的利润最大为3二1万元.

22

21.已知正数久人满足一+'=1.

ab

（1）求必的最小值；

(2)求二4。a+产9b；的最小值.

a-1b-1

【答案】(1)4(2)25

【解析】

【分析】(1)(2)根据基本不等式即可求解，

【小问1详解】

由a>03>0,故工+工=1224,

ab\abab4

当且仅当〃=b=2时等号成立，故出?最小值为4,

【小问2详解】

由工+1=1可得〃/?=〃+/?n(a—1)(6=故〃一1>0,/?—1>0

ab

4a9b4949l~49^

因此——+——=4+——+9+——=13+——+——?132J——?——=1312=25,

a-1b-1a-1b-1a-A.b-1\a-1b-1

当且仅当；4==Q，即，=］5乃=15等号成立，故4多a+=9b最小值为25,

a-1b-132a-1b-\

22.若实数满足卜―时，则称X比y远离加.

(1)若X比I■远离1,求实数X取值范围；

⑵若加