2022-2023年研究生入学《数学二》预测试题8(答案解析)

2022-2023年研究生入学《数学二》预测试题(答案解析)

正确答案：D

本题解析：

因为limz'♦­J=1且1,所以j―发散,因为lim(H—I)1•---------—=1且a=20l,所以

第壹卷Ix^x+TxVx+1I(«-1)!77

p_x,e--'dx=j二工％r'dx-

______X_____xdx

因为limx'1且a十】，所以发散;

r2

J工+1•A/X1+1+1--Jx4-1显然J：H%r'dx为正常积分，

因为3)34工”犷工，「业=5(」+1)=%(1+>4

收敛，应选(D).

一.综合考点题库(共50题)

1.下列广义积分收敛的为

2.已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质

「dx

AJ.

->的温差成正比，现将一初始温度为120℃的物体在20℃的恒温介质中冷却，30min后，该

尸./__

Jl(x—1)*Jx物体温度降至30℃,若要物体的温度继续降至21℃,还需要冷却多长时间？

C」»v7+T•"+1

正确答案：

DJ'

J-co本题解析：

设t时刻物体的温度为x(t)(t单位：小时)，比例常数为k(>0),介质温度为m,则dx/dt=k(x

—m),从而x(t)=Cekt+m,x(0)=120,m=20,所以C=100。贝！Jt时刻物体温度方程为x(t)=

100ekt+20o

取(1/2)=30,0k=-(InlO)/30o团当x=21时，t=60。故还需要冷却30min。

A.见图A

B.见图B

C.见图C

〃⑴=

D.见图D3.千(x)与g(x)的图像如图所示，设u(x)=f[g(x)],则

A(a2，q9(X3).

B（6，4一色，小一。】）.

C（30］a+03，。2一小）.

D（2%,3。3，a］）.

A.见图A

见图

正确答案:BB

见图

本题解析:C.C

D.见图D

g(l)=3,g<(i)=1^r!

由«，(x)=/[g(x)]•g'Gr),有/(l)=/[g(D]g'(D,其中故

〃'(1)=/(3)・/(正确答案：C

本题解析：

【分析】叫是从的属于船-1的特征向量，故3al仍是A的属于船-1的特征向*.a,a是4的属

租一】的线性无关特征向fit，故。?+%工0，5一《1射。仍是4的属于船-力--1的线性无

关的特征向•.根据P中的特征向■排列次序和对角矩阵中元素儿（。j1,2.3）的排列次序一致的要

求，应选C.

4.

4Z・1・

1■

已知P-】AP=-1

是的属于猫=1的特征向垃

,4A,Q2设娓3阶实对称矩陈，E是新单位矩陈。若A2+A=2E，且|A|=4,则二次型xT/\x的规范

—15.型为（）。

的属于入2=入3=_］的线性无关的特征向量，则矩阵口=

A.yi2+y22+Y32的特解。

B.2+y2-y32

yi2(I)求y(x)；

222

C.y1-y2-y3

(II)设平面区域D={(x,y)|1WXW2,OWyWy(x)},求D绕x轴旋转所得旋转体

D--yi2-y22-y32

的体积。

正确答案：

A.见图A

本题解析：

(团)用一阶线性微分方程通解公式，可得

B.见图B

2

C.见图Cy-e卜，T+C)

D.见图D

=”-(cJl#+C)

2

正确答案：cX

=ey(^x+C)

本题解析：由

要求二次型xTftx的规范型，只需计算矩阵A的特征值得到A的正负惯性指数即可。由1

A2+A=2E^SA2+A-2=0,所以府特征值只能为1或-2。又因为|A|=4且A是3阶X)=&

矩阵，所以A的特征值为1，-2,-2。由A的特征值符号可得正惯性指数为1,负惯

得c=o,所以

性指数为2,所以规范型为力2-丫22-丫32。故选C。

»2

y=y(x)=Vre2

(团)结合(团)中求出的函数y(x),且0={(x,y)|l<x<2,0<y<y(x)},可得旋转体体积为

、2

V=nJ；(Vxe2):dr=nj'.xerdv

6.设函数v(x)是微分方程

亨［；=永e，-e)

满足条件

碱1：)；=V©

T\+22+2勾一工4=1，即片2,且q=4时，方程组有无穷多解，此时

~112-11--112—11

x+pX3+g44=q-3,0123—10123—1

2(A：b)f—►

000-2—400012

7.设线性方程组.Xi+力2+2z3+(q-2)々=q+3.问方程组何时无解,

_00036.,00000.

有唯一解，有无穷多解，有无穷多解时，求出其全部解。

方程组的通解为^(0,—2,l,0)T+(10,—7,0,2)T,

正确答案:

本题解析：

将方程组的增广矩阵作初等行变换，有

1-

12-11-1128.甲，乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处，图1中实线表示甲的速

1—1

-2-730-2-4度曲线(单位：虚线表示乙的速度曲线三块阴影部分面积的

(AIb)=—>v=v1(t)m/s)ov=v2(t),

01

Pqq—301P数值依次为10、20、3,计时开始后乙追上甲的时刻记为to(单位：S),则()o

,112q~2q+3_,o00

1・

12一11■-112-1

0—1

—►-2-310123

—►

00p—2q—3q—200p—2-2

,0

00q—1g+2__000q-l

当9=1,力任意时,r(A)Vr(A|b),方程组无解.

当qHl少六2时,r(A)=r(A|b)=4,方程组有唯一解.

~2一4

当户=2,且

9~1q+2

A.t0=10

B.15<t0<20即a+y<2>y=y",于是有

f/=a+y2)y

C.tO=25b<o)=o,y(o)=i

令y，=P,则y”=dP/dx,于是有dP/dx=P(l+p2),变里分离得

D.t0>25

两边积分得

x=-ln-^-r+C

正确答案：c21+广

由P(0)=1得

本题解析：

从。到to时刻，甲乙的位移分别为£与["⑺"。根据图像,to=o时，甲在乙前方“m,

由定积分的几何意义知，乙追上甲满足方程：

，卜(。-匕(矶山=1。

而在t0=25时，乙比甲多跑10m,满足题意，故t0=25。

9.设函数y(x)具有二阶导数，且曲线I:y=y(x)与直线y=x相切于原点，记a为曲

线I在点(x,y)处切线的倾角，若

10.曲线

da_4V

drdrx=e'udz/

求y(x)的表达式。[y=/ln(2")

在(0,0)处的切线方程为1

正确答案:

本题解析：

dy/dx=tana,两边对x求导得

da“正确答案：y=2x

sec-a----y

dr.本题解析：

暂无解析

设D层图域D={(x,y)iR+fSD在第嗑限的部分，记

4={[(y-.v)dr<hU=l,2,3,4)

12贝”()。

riarcsin

M(I)

A.n2/4

B.n2/8

A.11>0

C.n/4

〔〔D.n/8B.12>0

C.13>0

D.14>0

A.见图A

正确答案：B

B.见图B

本题解析:

C.见图C

方法一：区域Di，D3均关于直线x=y对称，H=0,13=0,且

D.见图Dh=JJ[>'+(-v)]da>0

6

(•.,y+(-x)>0)，且

A=jJ[y+(-x)]da<0

正确答案：A

5

(vy+(-x)<0)。

本题解析:方法二：由极坐标系下二重积分的计算可知

仁]

||G-x)&0V=J(j「dt?j(sin6-cos6)r?dr

=ip.,(sinJ-cos6)de

=2|arcsin/darcsinr=(arcsin=(arcsin1)^

=-；(sin6+co沏

所以11=13=0,l2=2n/3,l4=-2n/30

已知困数

f2(x-l)x<l14.设A是4阶矩阵,A*为A的伴随矩阵,若线性方程组Ax=O的基础解系中只有2个向量,

/(*)=f

ilux,X>1

则f(X)的一个原函数是(则r(A*)=()o

x<l

A.尸(x)=

x(tox-l).x2il

(x-l)：x<\

[x(lnx+l)-1,xNl

RM；a-MX<1A.0

[x(lnx+l)+l,

B.1

皈:::C.2

13.

D.3

正确答案：A

A.见图A

本题解析：

B.见图B

伴随矩阵的秩

C.见图C

%「(1)=〃

D.见图DLr{A}-n-\

(0,r(A)<n-l

正确答案：D由于r(A)=n—2<n—1,所以r(A*)=0o故选A。

本题解析:

J2(x-l)dr=(.t-l)2+q,X<1

F(x)=J/(x)=

Jinxdx=x(lnx-l)+c2.XN1

因为f(X)在X=1处连续，则其原函数F(x)在X=1处也连续,

即C]=-1+C25令15.设

ci=O>可得C2=l。则

x<la00

F(x)=、

x(lnx-l)-i-LXNlOla0

为f(x)的一个原函数。001a

I。00L

1

-1

p=

0

O

(I)求|A|;

(II)已知线性方程组Ax=B有无穷多解，求a,并求Ax=B的通解。

正确答案:

A.x

本题解析:

B.y

D.0

(H)若要线性方程组Ax=陪无穷多解，则需r(A)=r(A,g)<n。因为

正确答案：c

本题解析：

可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有l-a4=0及-a-a2=0,可知a=-［分析］方程F()•，?")=0两边同时对/求偏导数，得

此时，原线性方程组簿广矩薛为dz

r1-1001'

01-10-1Fl•(一为+H*~~=°，

001-10

-10010,

进一步化为行最简形得

rl00-10

01011解得

001-10

、00000,将方程两边同时对y求偏导数,得

(0)俏

可知导出组的基础解系为：，非齐次方程的特解为:，故其通解为T+:。

解得

于是

16.

设函数z=z(工，”由方程FR,})=0确定，其中F为可微函数，且」

则z虫+匹=(17.设A=(a1,a2,a3,a4)是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵。若(1,0,1,0)T

火Jarydy

是方程组Ax=O的一个基础解系，则A*x=O的基础解系可为()oA.见图A

B.见图B

C.见图C

A.a1,a3D.见图D

B.a1,a2

正确答案：B

C.a1,a2,a3

本题解析：

D.a2,a3,a4

取函数f(X)=2x2-3计算得］：/«方＜0,且此时不茜是A、C、D选项，故选

B。

正确答案：D

本题解析：

因为Ax=O基础解系含一个线性无关的解向量，所以r(A)=3,于是r(A*)=1,故A*x=O基础解系

含3个线性无关的解向量。又A*A=|A|E=O且r(A)=3,所以A的列向量组中含A*x=O的基础解系。

19.设曲线L的方程为y=x2/4-lnx/2(1WxWe)。

因为(1,0,1,0)T是方程组Ax=0的基础解系，所以al+a3=0,故al,a2,a4或a2,a3,a4线

性无关，显然a2,a3,a4为A*x=0的一个基础解系，故选D项。

(I)求L的弧长；

(II)设D是由曲线L,直线x=1,x=e及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐标。

正确答案：

18.设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(-1)=1,f(0)=-1,且f"(x)>0,

本题解析:

则()。

A.J']/(.r)dr>0

B-£j(x)dt