2023年云学新高考联盟学校高二年级10月联考数学试卷含答案

2023年云学新高考联盟学校高二年级10月联考数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,若z=2—i,则Rz+z|=（）

A.6B.737C.738D.7

2.一组数据按从小到大的顺序排列如下：9,10,12,15,16,17,22,25,26,则该组数据的中位数与75%分位

数之和等于（）

A.36B.37C.38D.39

3.已知单位向量不,当是平面内的一组基底，且值,&〉=/，若向量之=昌+3瓦与万=/14+。2垂直，则

A的值为（）

77

A.---B.—C.1D.—1

55

4.过点（-1,0）与圆V+、2-4%一加=0相切的两条直线垂直，则加=（）

A.--B.-1C.1D.!

22

5.已知直线/:（加+2）x+（加一l）y+m-l=0,若直线/与圆C:（x-l）2+y2=4交于两点，则

的最小值为（）

A.72B.2C.272D.4

6.如图，在平行六面体ASG。中,

AB=AD=AA}=\,ZBAD=ZAiAB=ZAiAD

到直线4G的距离为（）

A2百口百「6D出

3356

7.若点43在圆£:（%—2）2+y2=3上运动，|4同=2五,尸为46的中点.Q点在圆

。2：（*+2）2+、2=1上运动，贝1］归@的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

8.三棱锥P—A3C中，AB=2y/2,BC=l,AB±BC直线尸A与平面ABC所成的角为30。，直线尸5

与平面ABC所成的角为45°，则三棱锥尸-A5c体积的最大值是（）

V2+V6RV2+V6c1+732+273

a.----------D.-----------------------

6333

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（2,2）,B（4,0）,下列说法正确的是（）

A.口048为等腰三角形

B.口。48中，A3边上的中线所在的直线方程为x—3y=0

C.口。43的重心G的坐标为（2,|）

D.□0AB的重心G到直线AB的距离为—

3

10.如图，在正四棱柱A8CQ-中，A4=2AB=2,。为四边形OCG。对角线的交点，点E

在线段上运动（不含端点），下列结论正确的是（）

A.直线A0与直线CG所成角的余弦值为2:

4

B.点⑸到平面AODt的距离为］

C.线段上存在点E,使得平面AOR

D.正四棱柱外接球的表面积为几无

11.某市教育局为了解该市高中各年级学生的文学经典名著的年阅读量，采用样本比例分配的分层随机抽

样抽取了一个容量为100的样本.其中，从高三年级抽取容量为20的样本，平均数为4,方差为9；从高

二年级容量为40的样本，平均数为7,方差为15；从高一年级抽取容量为40的样本，平均数为9,方差

为21,据此估计，三所学校的学生文学经典名著的年阅读量的（）

A.均值为6.2B.均值为7.2

C.方差为19.56D.方差为20.56

12.在平面直角坐标系中，A（4,0）,B（l,4）,点M在圆C:（x+4）2+y2=i6上运动，下列说法正确的是

)

22

A.点M到直线AB的距离最大值是—

5

B.过直线AB上任意一点作圆C的两条切线，切点分别为P,Q,直线P。过定点12,|)

C.瓦丽的最小值为56

D.|MA|+21MBl的最小值为10

三、填空题：本题共4小题，每小题6分，共20分.

231

13.甲、乙、丙三人参加一次面次，他们通过面试的概率分别为一,一,一，所有面试是否通过互不影响.那么

345

三人中恰有两人通过面试的概率是.

14.已知点A(x,y)在曲线及=”―由上运动,则一匕的最大值为.

Ji十一

15.正方体ABCD-A^C^棱长为2,0为平面ABB^的中心，点P在侧面BCC4内运动且

D]O±OP,则忸P|最小值是.

16.若非零实数对(。力)满足关系式,+6+1卜|7a—7^+1|=5犷丁，则晟=.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知直线/过点P(2,—l).

(1)若直线/与直线2x+y+3=0垂直，求直线/的方程

(2)若直线/在两坐标轴的截距互为相反数，求直线/的方程.

18.已知ElABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=4,K(a-^)sirL4+(/?+c)sinB=(4+^)sinC.

(1)求口48。外接圆半径.

(2)求UABC周长的最大值.

19.如图，在四棱锥P—ABC。中，底面488是正方形，侧棱PO1底面ABCRE,尸分别是PC,A。

中I占八、、,

(1)求证：DE〃平面PFB；

(2)若PB与平面A8C。所成角为45°，求平面尸尸8与平面EOB夹角的余弦值.

p

20.已知定点41,-3),点8为圆(x+l)2+(y+l)2=4上的动点.

(1)求A3的中点C的轨迹方程：

(2)若过定点的直线/与C的轨迹交于M,N两点，且|MN|=JL求直线/的方程.

21.为了模拟“田忌赛马”故事中，双方的对阵情况.甲、乙分别拥有3张写有数字的卡片，甲的3张卡片

上的数字分别为x,y,z.乙的3张卡片上的数字分别为x,y,z,已知x>x>y>>>z>z.他们按

“田忌赛马”故事中规则做一个“出示卡片，比数字大小”的游戏：甲、乙各出示1张卡片，比较卡片上

的数字的大小，然后丢弃已使用过的卡片.他们共进行了三次，直至各自用完3张卡片，且在出示卡片时

双方都不知道对方所出示的卡片上的数字，三次“出示卡片，比数字大小”之后，认定至少有两次数字较

大的一方获得胜利.

(1)若甲，乙二人按照“田忌赛马”故事中双方第一次对阵出牌，即第一次甲出示的卡片上写有数字X,

乙出示的卡片上写有数字z,后两次则任意出牌，求甲最终获得胜利的概率：

(2)记事件A="第一次甲出示的卡片上的数字大"，事件8="乙获得胜利”，计算事件A和B的概

率，并说明事件A与事件B是否相互独立.

22.在平面直角坐标系中，圆M为过点4(1,一百),8(2,2),。(4,0)的圆.

(1)求圆M的标准方程：

(2)过点。(1,0)作直线小交圆M于P、。两点，八。不在x轴上.

①过点。作与直线4垂直的直线4,交圆用于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S,求S的取值范围：

②设直线OP,。。相交于点G,试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程：若不是，说明理

由.

2023年云学新高考联盟学校高二年级10月联考数学答案

1.B【解析】2z+2=2（2-i）+2+i=6-i,故|2z+^=J36+1=历.故选:B

2.C【解析】该组数据的中位数为16,

因为75%x9=6.75

所以该组数据75%分位数22,

所以该组数据的中位数与75%分位数之和等于38,故选：C

3.A【解析】号,当为单位向量且〈号,马〉=三，

2

所以42=],e2=1,4=团|。21cos工=g，

向量5+3瓦与很=丸4+&垂直，所以,3=0，

2

即（R+3&）•（竭+&）=时+3e2+（32+l）e,-e2=0,

即/l+3+（3/l+l）xL=0,

2

7

解得力=一己.故选:A

4.D【解析】x2+y2-4x-m=0=>（x-2）2+y2=m+4,

设该圆的圆心为A（2,0）,半径为J〃2+4（〃Z〉—4）,设点（一1,0）为点B,

如图所示：过8（—1,0）与圆A相切的直线为BC,8。，切点为C,。，

连接AC,AD,显然

由题意可知相切的两条直线垂直，

所以四边形ACBO是矩形，又因为|AC|=|Aq,

所以四边形AC8。是正方形，

因此有[AB]==>3=>/2xy/4+m=>m=^,

故选：D

【解析】直线]:(，％+2)x+(加一l)y+，〃一1=0,即(x+y+l)〃?+2x-y-l=0,

fx+y+1=0x=0

，解得《

'2x-y-\=0y=T

所以直线/过定点P(O,—I),

圆C:(x-1)2+/=4的圆心。(1,0),半径r=2,

因为|PC|=jm=0<2,

所以点尸(0,—1)在圆。内,

则圆心C到直线/的距离dw|PC|=0(PC_U时取等号)，

所以MM=2,产-/22/4-2=2/(PC_L/时取等号),

所以|A却的最小值为2J5.故选：C.

6.D【解析】设而=工而=&丽|="，

因为AB=AD=AAi=\,ZBAD=ZA.AB=ZA.AD=60°,

所以a%=Q・c="c=lxlx—=一,

22

AC]=AB+BC+CC]=〃+B+c，CC]—c，

因为AC[CC[=(Q+〃+C)・C=Q・C+Z?・C+C=—+—+1=2,

J/+片+/+2〃•B+2〃•c+2石•c=Jl+1+1+1+1+1+1=y/6

所以cos（福，西”氤裔二高二日,

因此sinNAGC

所以点E到直线AG的距离为|西卜inNACC=gx等=巧，故选：D

7.B【解析】•.•点AB在圆G：（x—2）2+:/=3上运动，|45|=2后,

AB中点P到圆心G（2,0）的距离为1，

由圆的定义可知，点尸的运动轨迹为以G（2,0），半径1的圆（x-2）2+y2=i,

又：。点在圆G：（x+2）2+y2=i

...|PQ|的最小值为：|GG|TT=2.故选：B.

8.D【解析】过点尸作P。，平面ABC于点。，连接BD,AD,

则ZPBD=45°,ZPAD=30°,

因为AB=2V2,BC=1,AB1BC.所以S=gA"BC=&，

设PD=h,则8。=h,AD=也h,PB=垃h,PA=2h,

在平面ABC上，AO—BOVAB且AD+BO2AB,

即6。一。42a46/2+。，解得卡-血4。4痛+血，

在△尸BA中，PA-PB<AB,PA+PB>AB,

BP2/?-V2/i<2V2,2h+V2/2>2V2.解得2夜-2<〃<2a+2，

综上，-^6—V24。4V6+V2，

2+2

故三棱锥P-ABC体积LABC=-SABC-h=-h<—(y[6+y/2}=^.

3./ioC33\3

故选：D

9.ABC【解析】A：因为|0A|=V22+22=2JI,|。川=4,\AB\=y/(2-4)2+22=272，

所以|0A|=|A3],因此该三角形是等腰三角形，因此本选项正确；

B：A8中点的坐标为(3,1),

所以AB边上的中线所在的直线方程为y=nx-3y=0,故本选项正确；

C：因为4(2,2),8(4,0),0(0,0),

(2+4+02+0+0、(2、

所以口0AB的重心G的坐标为一--,---,BI12,-,所以本选项正确；

\33J\3J

D：直线A3的方程为2三=二心=%+丁一4=0,

2-02-4

2H---4r—

所以口。48的重心G到直线AB的距离为3—2V2,所以本选项不正确，

-2+F-亍

故选：ABC

10.AB

【解析】构建如下图示的空间直角坐标系。一孙Z,则A(l,0,0),0(0,g,l),C(0,l,0)，G(0,l,2),

所以布=(—1；1),出=(0,0,2),则|cos(A“G〉H禺悬上jj=|,

2

所以直线A。与直线CG所成角的余弦值为§，A对；

由D}(0,0,2),B}(1,1,2),则AD,=(-1,0,2),若m=(x,y,z)是面A。。一个法向量,

m-AO=-x+—y+z=0____

故＜_2",令z=l,则加=(2,2,1),而A4=(0,1,2),

in-AD1=一尤+2z=0

所以点4到平面AODt的距离也学J=?,B对;

Im\3

由A(l,0,2),E(0,0")且0</<2,则硒=(1,0,2—/),显然不可能与质=(2,2,1)平行，C错;

由正四棱柱的外接球半径为体对角线的一半，即为45,故外接球的表面积为47tx

=6兀，D错.

2

故选：AB

11.BC

【解析】AB选项，三所学校的学生文学经典名著的均值为

20x4+40x7+40x9

=7.2,A错误，B正确;

100

CD选项，三所学校的学生文学经典名著的方差为

意[9+(4-7.2月+喘口5+(7-7.2)[+器[21+(9-7.2)[=以56,

C正确，D错误.故选：BC

12.BCD

【解析】由圆的方程C:(x+4)2+V=16可得，圆心C(—4,0),半径/•=%

由A(4,0),8(l,4)得，所以直线A8的方程为y=-g(x—4),

即4x+3y-16=0,

|-4x4-16|32

对选项A,圆心C到直线AB的距离为:=“2+3了=5

所以点M到直线AB的距离最大值是行+4=y，故选项A错误；

对选项B,设N为直线A8上任意一点，过点N作圆。的两条切线，切点分别为P,。,连接

CP,CQ,CN,如图所示：

由直线与圆相切的性质可知：CPLPN,CQLQN,

所以C,P,N,Q在以CN为直径的圆上，其圆心为CN的中点，设为G，

设N（a,b）,

所以\CN\=^a+4f+h2,

半径为也=J（"+4），〃,

2T~

所以C,P,N,Q所在圆C,的方程为：（x+（y-2J="+?

整理得f-（a-4）x+y2_b）,_4a=o,

一,口—（x+4）~+y2=16

将圆C与圆G的方程联立I2/l、）2，

九*■一（〃-4）九+y—刀-4Q=0

作差得直线PQ的方程（。+4）工+办+4〃=0,

因为点N（a,b）在直线AB上，

416

所以4。+3〃-16=0,b=—。+—,

33

416

代入直线PQ的方程得（。+4）x+（-］。+7），+4〃=0,

整理得n(x-gy+4)+(4x+q)=0,

x——y+4=0x——2

所以13解得，3

4x+4=0y=-

I3

所以直线PQ恒过定点12,1｝故选项B正确;

对选项C,由M(X,y)在C:(X+4)2+V=16上,

所以可设x=-4+4cos。,y=4sin6,。£[0,2兀)，

所以加=(8-4cose,-4sin。)，砺=(5-4cose,4-4sin。)，

所以=(8—4cos6)(5—4cos6)+(-4sin6)(4-4sin。),

化简可得，AMMB=40-52cos^-16sin^+16sin2^+16cos2^，

即而•碗=56—52cos。—16sin。，

所以MA,MB=56—4J185sin(。+夕)，其中sin。=/,coscp—/,

v185vl85

故当sin(6+e)=l时，拓i.诙j的最小值为56—4J=，故选项C正确；

对选项D,|MA|+2|M8|=2(g|M4|+|MM),

设存在定点0),使得点M在圆C:(x+4+丁=16上运动时均有|M£>|=,

设M(x,y),则有J(x—)2+y2=1J(x—4)2+y2,

化简可得3炉+3产+(8-8f)x=16-4”,①

又因为C:(x+4>+y2=16,即％2+y2+8x=o,②

②代入①化简可得-8(f+2)x=16-4f2,

即1+2乂2》—+2)=0,

所以f=—2,所以|MA|+21MBi=2(g|M4|+=2(|MD|+\MB\),

因为+忸D|=5,当M,B,D三点共线,且M在线段BO上时，|皿|+四却=忸。|=5,

所以|M4|+2|MB|=2（|M£）|+MM"10,

所以|K4|+2|MB|的最小值为10,故选项D正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题6分，共20分.

29

13.—【解析】三人中恰有两人通过面试，可能情况为甲和乙通过、丙未通过；甲和丙通过、乙未通过;

60

1129

---1-------

302060

【解析】y=j4—/变形为》2+/=4（卜20）,它是以原点为圆心，2为半径的上半圆,

如图,

A（x,y）在上半圆上，一J表示点A（x,y）与M（-4,0）连线的斜率,

x+4

由题意得，当直线与半圆相切时斜率最大，

设直线与半圆相切时直线斜率为左,直线方程丁=攵（尤+4）,即日-y+4女=0,

因此=2,解得女=迫（由图上=一且舍去）,

42+133

所以上的最大值为也.

x+43

故答案为：也

3

15.—

5

【解析】

建立如图所示的空间直角坐标系，

DI（0,0,2）,B（2,2,0），A（2,0,2）,P（X,2,Z）（0<X,Z<2）.

因为。为平面的中心，所以。（2,1,1）,

^O=(2,l,-l),OP=(x-2,l,z-l),

因为2。_LOP,

所以2OOP=2(x-2)+l—(z—l)=0nz=2x—2,

24

忸P|=y](x-2)2+z2=^(X-2)2+(2X-2)2=悟叶-12x+8=+一，

5

,61时，忸P|有最小值2

当X=g,Z=

5

故答案为：巫

43

【解析】由卜+b+l卜17a-7〃+1|=5，+2+/,

|a+b+l|17a-7。+1|

可得5,

>]a2+h2yja2+h~

|Q+Z?+1|

可以看成点A（1,1）到直线or+by+1=0的距离4,

yla2+b2

17a-76+1|

可以看成点3（7,-7）到直线内+勿+1=0的距离d,

77772

\a+b+l\_[7a-lb+\\

因为京7二不盲"，

所以4=4=5.

因为|AB|=IO,4+d,=10,

所以当点A,8在直线ox+by+l=0同侧时，直线A5与直线"+外+1=0平行,

当点A,B在直线ar+by+l=O异侧时，A,B关于直线ar+by+l=O对称,

因为直线A5的斜率％=——=一一,

1-73

直线or+8y+l=0的斜率为一旦，

b

所以一A一：或｛一（I=T

一4一。3

所以丁=7或;=—.

b3b4

34

故答案为：一-7或

43

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.

【解析】

（1）因为直线/与直线2x+y+3=0垂直，

所以可设直线/的方程为x—2y+根=0,

因为直线/过点。（2,-1）,所以2-2x（—1）+机=0,解得加=-4,

所以直线/的方程为x—2y—4=0

X

（2）当直线/过原点时，直线/的方程是y=—/,即x+2y=0.

当直线/不过原点时，设直线/的方程为=。，

把点P（2,—l）代入方程得。=3,所以直线/的方程是x—y-3=0.

综上，所求直线/的方程为x+2y=0或x—y—3=0

18.

【解析】

（1）设口ABC外接圆半径为R,

因为（。一。）51114+（。+（:）5皿8=（4+/?）5吊。，—^―=—^―=-C--2R,c=4,

'''''）sinAsinBsinC

所以sirtA=-^-,sinB=2,sinC=£,则（。一。）-^-+（6+（?）2=（0+/?）工，

2R27?2R2R2R2R

即(a-0)a+(b+c)/?=(c+b)c,整理得/+〃一。2，

所以由余弦定理可得，cosC==^~二=工=上，

2ab2ab2

A

因为0<C<TT,所以sinC=Y^，

2

八1c14473

故口ABC外接圆半径八一2sinC~2百3.

2

(2)^c2=a2+b2-2abcosC>

所以16=/=(a+))2-3ab,即(。+6产—16=3ab,

又因为,(a+b)2—16=3"W3(^1^),

所以5+份2«]6,即a+/,w8,当且仅当a=b=4等号成立.

4

又因为c=4,«+Z?+c<8+4=12,

故口ABC的周长的最大值为12.

19.【解析】(1)设G为PB中点，连接GE,FG,

又E,F分别是PCA。中点，

所以FO=，AO,GE=」8C,GE//BC,

22

又底面A8CD是正方形，

所以ED=GE,GE//FD,故四边形EDEG为平行四边形，则//FG,

由<Z平面PFB,FGu平面PFB,则DE//平面PFB.

(2)由题意知NP8D=45°，以。为原点，构建空间直角坐标系，

令AB=1,则PO=DB=0，

所以8(1,1,0),0(0,0,0),E0，；，4,F^,0,0V(0,0,V2),

所以丽=(1,1,0),诙=0,3，也1而\

,PB=

2J2

m-DB=x-^-y=0

则《

令加=(x,y,z)为平面EDB的一个法向量,一-ZT7；1

m-DE=—y+—z=0

22

令y=6.,即机=卜4^,—。，

n-PB=a+b-V2c=0

令方=(a,0,c)为平面PfB的一个法向量,则《

n•FB=—a+〃=0

2

令a=2,即〃2,-1,--,

2)

7

/----\m-n正_7病

所以35〃)=丽小一下

即平面PF8与平面ED3夹角的余弦值二一.

55

20.

【解析】

(1)设C点的坐标为(x,y),则点B的坐标为(2x—l,2y+3),

；点8为圆O+l>+(y+l)2=4上的动点，

.-.(2x-l+l)2+(2y+3+l)2=4化简得尤2+(y+2>=1,

故C的轨迹方程为炉+(y+2尸=1.

(2)由圆/+(y+2)2=i可得，圆心坐标为(0,-2),半径r=l,

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为》=,，

2

此时圆心到直线x=-的距离是J,

22

所以|MN|=2.手，满足条件;

(1>1

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y+l=4%一万，化简得履—y-一々—1=0,

因为|MN|=G,故圆心到直线，的距离d=，*=1,

0-(-2)-。11-^1

由圆心到直线I的距离公式得d='1z=I，

Jl+公Jl+公

11--IkI--------(k2\

所以|2|_1,即21——=，1+公，平方得41+——k=1+公，

卬=52