专题01 数与式、方程与不等式的性质及运算（讲练）（解析版）

2/67专题01数与式、方程与不等式的性质及运算目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知识建构考点一数与式的相关运算题型01实数的混合运算题型02整式的混合运算及化简求值题型03因式分解的运算及应用题型04分式的混合运算及化简求值题型05科学记数法题型06二次根式的混合运算及应用题型07比较大小【核心提炼·查漏补缺】【好题必刷·强化落实】考点二方程与不等式的相关运算【真题研析·规律探寻】题型01解一元一次方程题型02解二元一次方程组及其应用题型03解分式方程题型04根据分式方程解的情况求值题型05解一元一次不等式题型06解一元一次不等式组题型07解一元二次方程题型08根据判别式判断一元二次方程根的情况题型09根据一元二次根的情况求参数题型10一元二次方程根与系数的关系【核心提炼·查漏补缺】【好题必刷·强化落实】

考点要求命题预测数与式的相关运算中考中，数与式的相关运算主要考察实数及其运算、数的开方与二次根式、整式与因式分解、分式及其运算;而这些考点中，对实数包含的各种概念的运用的考察又占了大多数，同时试题难度设置的并不大，属于中考中的基础“送分题”，题目多以选择题、填空题以及个别简单解答题的形式出现;但是，由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相同，所以在复习时，需要考生对这部分的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，拿下这部分基础分.方程与不等式的相关运算方程与不等式的相关运算，在中考数学中出题类型比较广泛，选择题、填空题、解答题都有可能出现，并且对应难度也多为中等难度，是属于占分较多的一类考点.但是同一张试卷，方程类问题只会出现一种，不会重复考察.涉及本考点的知识点重点有:由实际问题抽象出一次方程(组)或分式方程，解方程(包含一次方程、二次方程、分式方程)，一元二次方程的定义、解法及跟的判别式、根与系数的关系、实际应用等.不等式中常考不等式的基本性质，解一元一次不等式(组)及不等式(组)的应用题等.这就要求考生在复习该部分考点时，熟记各方程(组)和不等式(组)的相关概念、性质、解法及应用.考点一数与式的相关运算题型01实数的混合运算1）常见实数的运算：运算法则特殊计算乘方①（-a）n=ann为偶数②（-a）n=-ann为奇数①（-1）n=1n为偶数②（-1）n=-1n为奇数零次幂a0=1（a≠0）负整数的指数幂a-n=1aa-1=1a去括号①-（a-b）=-a+b或b-a②+（a-b）=a-b去绝对值符号①|a-b|=a-b，a>b②|a-b|=0，a=b③|a-b|=b-a，a<b2）特殊三角函数值：三角函数30°45°60°1233213133)实数运算的“两个关键”：①明确运算顺序：要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．②运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．1．（2023·云南·统考中考真题）计算：|−1|+(−2)【答案】6【分析】根据绝对值的性质、零指数幂的性质、负指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简计算即可得出答案．【详解】解：|−1|+=1+4−1+3−1=6．【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值的性质、零指数幂的性质、负指数幂的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键．2．（2023·四川眉山·统考中考真题）计算：2【答案】6【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂和特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可．【详解】解：原式=1−=1−=6．【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．3．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）计算：π−20230【答案】10【分析】根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，进行计算即可．【详解】解：π−2023=1+2+=3+9−2=10．【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，准确计算．题型02整式的混合运算及化简求值1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值.2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值.3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系.②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系.③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值．4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值．5.隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值．例如：①若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0②已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值.6.利用“无关”求值：①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0；②若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关．7.配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果．8.平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果的符号．9.特殊值法：有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单．10.设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可．11.利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值．12.利用消元法求值：若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母．13.利用倒数法求值：将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值．1．（2022·四川南充·中考真题）先化简，再求值：(x+2)(3x−2)−2x(x+2)，其中x=3【答案】x2−4【分析】利用多项式乘以多项式及单项式乘以多项式运算法则进行化简，然后代入求值即可．【详解】解：原式=3x=x2当x=3−1原式=(=3+1-2=-23【点睛】题目主要考查整式的乘法及加减化简求值及二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．2．（2022·广西·统考中考真题）先化简，再求值(x+y)(x−y)+(xy2−2xy)÷x【答案】x2-2y，0【分析】首先运用平方差公式计算，再运用单项式乘以多项式计算，最后合并同类项，即可化简，然后把x、y值代入计算即可．【详解】解：(x+y)(x−y)+(x=x2-y2+y2-2y=x2-2y当x=1，y=12时，原式=12-2×1【点睛】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．3．（2022·江苏苏州·统考中考真题）已知3x2−2x−3=0【答案】2x【分析】先将代数式化简，根据3x2−2x−3=0【详解】原式==2x∵3x∴x2∴原式=2=2×1+1=3．【点睛】本题考查了整式的乘法运算，代数式化简求值，整体代入是解题的关键．4．（2022·江苏盐城·统考中考真题）先化简，再求值：x+4x−4+x−3【答案】2x【分析】根据平方差公式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：原式==2x∵x∴x原式=2【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．5．（2022·广东广州·统考中考真题）已知T=(a+3b)(1)化简T；(2)若关于x的方程x2+2ax−ab+1=0有两个相等的实数根，求【答案】(1)6a(2)T=6【分析】(1)根据整式的四则运算法则化简即可；(2)由方程有两个相等的实数根得到判别式△=4a²-4(-ab+1)=0即可得到a2【详解】（1）解：T=(=6a（2）解：∵方程x2∴∆=(2a)2∴a2则T=6(a【点睛】本题考查了整式的四则运算法则、一元二次方程的实数根的判别、整体思想，属于基础题，熟练掌握运算法则及一元二次方程的根的判别式是解题的关键．6．（2023·河北·统考中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示(a>1)．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为S1(1)请用含a的式子分别表示S1,S2；当(2)比较S1与S【答案】(1)S1=a2+3a+2，(2)S1【分析】（1）根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到S1,S2，S1+S2（2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可．【详解】（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：S甲∴S1=S∴S1∴当a=2时，S1（2）S1∵S1=∴S∵a>1，∴S1∴S1【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握做差比较法是解题的关键．题型03因式分解的运算及应用概念把一个多项式化成几个整式的乘积的形式叫做因式分解.因式分解与整式乘法是互逆变形.基本

方法提公因式法ma+mb+mc=m(a+b+c)公式法①运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．

②运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2进阶

方法十字相乘法a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)【口诀】首尾分解，交叉相乘，实验筛选，求和凑中.【特殊】因式分解：ax2+bx+c①若a+b+c=0，则必有因式x-1②若a-b+c=0，则必有因式x+1分组分解法ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)换元法如果多项式中某部分代数式重复出现，那么可将这部分代数式用另一个字母代替.

例：因式分解(x2+5x+2)(x2+5x+3)-12，设x2+5x+2=t则原式=t(t+1)-12=(t-3)(t+4)=(x+2)(x+3)(x2+5x-1)一般

步骤1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：①为两项时，考虑平方差公式；②为三项时，考虑完全平方公式；③为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止．以上步骤可以概括为“一提、二套、三检查”.1.因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；2.因式分解必须是恒等变形,且必须分解到每个因式都不能分解为止.3.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．1．（2023·河北·统考中考真题）若k为任意整数，则(2k+3)2−4kA．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除【答案】B【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式．【详解】解：(2k+3)=(2k+3+2k)(2k+3−2k)=3(4k+3)，3(4k+3)能被3整除，∴(2k+3)2故选：B．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为a22．（2023·山东·统考中考真题）已知实数m满足m2−m−1=0，则2【答案】8【分析】由题意易得m2【详解】解：∵m2∴m2∴2=2m=2m−=m−=−=−1+9=8；故答案为8．【点睛】本题主要考查因式分解及整体思想，熟练掌握利用整体思维及因式分解求解整式的值．3．（2021·广东·统考中考真题）若x+1x=136且【答案】−【分析】根据x+1x=136，利用完全平方公式可得(x−【详解】∵x+1∴(x−1∵0<x<1，∴x<1∴x−1x=∴x2−1x2=故答案为：−【点睛】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键．4．（2023·江苏苏州·统考中考真题）已知一次函数y=kx+b的图象经过点1,3和−1,2，则k2−【答案】−6【分析】把点1,3和−1,2代入y=kx+b，可得k+b=3k−b=−2【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过点1,3和−1,2，∴k+b=3−k+b=2，即k+b=3∴k2故答案为：−6【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平方差公式分解因式，熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键．5．（2022·四川内江·统考中考真题）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝．【答案】（a2+1）（a+2）（a﹣2）【分析】首先利用十字相乘法分解为a2【详解】解：a4﹣3a2﹣4＝（a2+1）（a2﹣4）＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．【点睛】本题考查利用因式分解，解决问题的关键是掌握解题步骤：一提二套三检查．6．（2021·四川内江·统考中考真题）若实数x满足x2−x−1=0，则x【答案】2020【分析】由等式性质可得x2=x+1，【详解】解：∵x∴x2=x+1x=x(x+1)−2==x−=−1+2021=2020．故答案为：2020．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，将等式转化为x2=x+1，题型04分式的混合运算及化简求值分式运算说明分式的加减法1）同分母：分母不变，分子相加减，即：ac2）异分母：先通分，化为同分母的分式，再加减.即：ab分式的乘除法1）乘法：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.即：a2）除法：把除式的分子、分母颠倒位置，再与被除式相乘.即：a分式的乘方把分子、分母分别乘方，即：a分式的混合运算运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减.有括号的，先算括号里的.灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．1．（2022·内蒙古·中考真题）先化简，再求值：3x−1−x−1÷【答案】2+x2−x，【分析】分式的混合运算，根据加减乘除的运算法则化简分式，代入求值即可求出答案．【详解】解：原式=====当x=3时，原式=−5，故答案是：−5．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则即可，包括完全平方公式，能约分的要约分等，理解和掌握乘法公式，分式的乘法，除法法则是解题的关键．2．（2023·江西·统考中考真题）化简xx+1

解：原式=……解：原式=……

(1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．【答案】(1)②，③(2)见解析【分析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案；（2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可．【详解】（1）解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，故答案为：②，③；（2）解：甲同学的解法：原式====2x；乙同学的解法：原式===x−1+x+1=2x．【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．3．（2023·甘肃武威·统考中考真题）化简：a+2ba+b【答案】4b【分析】先将除法转化为乘法进行计算，再根据分式的加减计算，即可求解．【详解】解：原式===4b【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．4．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）以下是某同学化简分式a−ba解：原式=a−b=a−b=a−b……(1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；(2)请你写出完整的解答过程．【答案】(1)一(2)见解析【分析】（1）根据解答过程逐步分析即可解答；（2）根据分式混合运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：a−b==故第一步错误．故答案为：一．（2）解：a−b=====1【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键．题型05科学记数法相关概念概念补充与拓展科学记数法科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.小技巧：1万=104，1亿=1万*1万=1081．（2023·山东日照·统考中考真题）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（

）A．1.4×10−8 B．14×10−7 C．【答案】A【分析】科学计数法的记数形式为：a×10n，其中1≤|a|<10，当数值绝对值大于1时，【详解】解：0.000000014=1.4×10故选A．【点睛】本题考查科学计数法，掌握科学计数法的记数形式是解题的关键．2．（2022·广西贵港·中考真题）据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到28nm．已知1nm=10−9A．28×10−9m B．2.8×10−9m【答案】C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：∵1nm∴28nm=2.8×10-8m．故选：C．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（2022·湖南邵阳·统考中考真题）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为a×1012，则a的值是（A．0.11 B．1.1 C．11 D．11000【答案】B【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：因为1亿=108，所以11000亿用科学记数法表示为1.1×104×108=1.1×1012．故选：B．【点睛】此题考查了科学记数法表示绝对值大于1的数．解题的关键是关键知道1亿=108，要正确确定a的值以及n的值．4．（2023·河北·统考中考真题）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于9.46×1012kmA．9.46×1012−10=9.46×C．9.46×1012是一个12位数 D．【答案】D【分析】根据科学记数法、同底数幂乘法和除法逐项分析即可解答．【详解】解：A.9.46×10B.9.46×10C.9.46×10D.9.46×10故选D．【点睛】本题主要考查了科学记数法、同底数幂乘法和除法等知识点，理解相关定义和运算法则是解答本题的关键．题型06二次根式的混合运算及应用1.在使用ab=a•b（a≥02.在使用ab=ab（a≥0，b＞3.合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变．4.二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并．5二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式．6.在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的形式.1．（2023·广东广州·统考中考真题）已知关于x的方程x2−2k−2x+kA．−1 B．1 C．−1−2k D．2k−3【答案】A【分析】首先根据关于x的方程x2−2k−2x+k2−1=0【详解】解：∵关于x的方程x2∴判别式△=−整理得：−8k+8≥0，∴k≤1，∴k−1≤0，2−k>0，∴(k−1)=−=−1．故选：A．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．2．（2021·广东·统考中考真题）设6−10的整数部分为a，小数部分为b，则2a+10bA．6 B．210 C．12 D．【答案】A【分析】首先根据10的整数部分可确定a的值，进而确定b的值，然后将a与b的值代入计算即可得到所求代数式的值．【详解】∵3<10∴2<6−10∴6−10的整数部分a=2∴小数部分b=6−10∴2a+10故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定6−10的整数部分a与小数部分b3．（2023·内蒙古·统考中考真题）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：(m−2)2=【答案】2−m/−m+2【分析】利用二次根式的性质和绝对值的性质，即可求解．【详解】由数轴位置可知1<m<2，∴(m−2)【点睛】本题考查二次根式化简运算，掌握二次根式的性质a24．（2023·四川·统考中考真题）先化简，再求值：3x+yx2−y2【答案】xy2；【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．【详解】解：3x+y===xy当x=3+1，原式=3【点睛】本题考查了分式化简求值，二次根式的混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．题型07比较大小实数比较大小的6种基础方法：1）数轴比较法:将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.2）类别比较法:正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．3）作差比较法:若a，b是任意两个实数，则①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b4）平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b5）倒数比较法：若1/a>1/b，ab>0，则a<b 6）作商比较法：1)任意实数a，b，ab=12)任意正实数a，b，ab>1a>b,ab<13)任意负实数a，b，ab>1a<b,ab<11．（2023·浙江台州·统考中考真题）下列无理数中，大小在3与4之间的是（

）．A．7 B．22 C．13 D．【答案】C【分析】根据无理数的估算可得答案，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键【详解】解：∵3=9，4=16，而22∴大小在3与4之间的是13，故选：C．2．（2022·山东临沂·统考中考真题）比较大小：2233（填“>”，“<”或“【答案】>【分析】根据实数大小比较解答即可．【详解】解：∵222=12∴22故答案为：>．【点睛】此题考查实数大小的比较，关键是根据实数大小比较解答．3．（2022·四川南充·中考真题）比较大小：2−23【答案】<【分析】先计算2−2=1【详解】解：2−2=1∵14∴2−2故答案为：<．【点睛】本题主要考查有理数的大小比较，负整数指数幂的运算，零次幂的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．4．（2023·江苏盐城·统考中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题：已知3a>b>0，M=ab，N=a+1b+3，试比较小华：整式的大小比较可采用“作差法”.老师：比较x2+1与小华：∵x2∴x2老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？…(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．(2)比较大小：2368__________2265．（填“>”“=”或“【答案】(1)M(2)<【分析】（1）根据作差法求M−N的值即可得出答案；（2）根据作差法求2368【详解】（1）解：M−N=a∵3a>b>0，∴3a−b∴M>（2）解：∵23∴23故答案为：<．【点睛】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运算的方法．一、实数1、实数的相关概念相关概念概念补充与拓展数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.数轴上的点与实数具有一一对应的关系.将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.在数轴上距原点n个单位长度的点有2个.数轴中点公式：数轴上有两点A、B分别表示的数为x，y，若C是A、B两点的中点，C所表示的数为c，则有：2c=x+y.数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数

（简称大数-小数）.相反数只有符号不同的两个数称为互为相反数.若a、b互为相反数，则a+b=0（反之亦成立）.互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧.正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.相反数是本身的数是0.（a+b）的相反数是-（a+b），（a-b）的相反数是-（a-b）或b-a.多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正.绝对值在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|．两个正数比较，绝对值大数越大；两个负数比较，绝对值大的反而小.正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），则a≤0.若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）.若|a|+|b|=0，则a=0且b=0（a、b可以是多项式）.几何意义补充：|x|=|x-0|，数轴上表示x的点到原点的距离

|x-1|，数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离

|x+2|，数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离倒数1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数．0没有倒数.若a、b互为倒数，则ab=1互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）.倒数是本身的只有1和-1.乘方n个相同的因数a相乘记作an，其中a为底数，n为指数，

乘方的结果叫做幂.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数正数的任何次幂都是正数.规定：a0=1（a≠0）相关概念概念补充与拓展算术平方根如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.记为√a，a叫做被开方数.正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根平方根如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根.正数有两个平方根，且它们互为相反数.0的算术平方根为0；负数没有算术平方根.立方根如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根．互为相反数的两个数的立方根互为相反数2、实数的非负性及性质1.在实数范围内，正数和零统称为非负数.2.非负数有三种形式：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；②任何一个实数a的平方是非负数，即a2③任何非负数的算术平方根是非负数，即a≥03.非负数具有以下性质：①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数；③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.二、整式的运算1.整式的加减运算整式的加减同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.合并同类项把同类项中的系数相加减，字母与字母的指数不变.添（去）括号法则括号外是“+”，添(去)括号不变号，

括号外是“-”，添(去)括号都变号.整式的加减法则几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项.2.幂的运算幂的运算公式补充说明同底数幂相乘am·an＝am＋n

（m，n都是整数）1.逆用公式：am＋n=am·an

2.【扩展】am·an·ap＝am＋n+p（m，n，p都是正整数）幂的乘方(am)n＝amn

（m，n都是整数）1.负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负.

2.逆用公式：amn＝(am)n

3.【扩展】((am)n)p＝amnp（m，n，p都是正整数）

积的乘方(ab)n＝anbn

（n为整数）1.逆用公式：anbn＝(ab)n

2.【扩展】(abc)n＝anbncn同底数幂相除am÷an＝am-n

（a≠0，m，n都为整数）1.关键：看底数是否相同，指数相减是指被除式的指数减去除式的指数.

2.逆用公式：am-n＝am÷an（a≠0，m、n都是正整数）.3..【扩展】am÷an÷ap＝am-n-p（a≠0，m，n，p都是正整数）.零指数幂：a0=1（a≠0）负整数指数幂：a-n=1an3.整式的乘除运算整式的乘除运算步骤说明补充说明及注意事项单项式乘单项式①将单项式系数相乘作为积的系数;

②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为积的一个因式;

③单独出现的字母，连同它的指数，作为积的一个因式.1）实质:乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.

2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式.单项式乘多项式①先用单项式和多项式的每一项分别相乘；

②再把所得的积相加.1）单项式乘多项式实质上是转化为单项式乘以单项式

2）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同.多项式乘多项式①先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，

②再把所得的积相加．运用法则时应注意以下两点：

①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；

②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．单项式除单项式①将单项式系数相除作为商的系数；

②相同字母的因式，利用同底数幂的除法，作为商的一个因式；

③只在被除式里含有的字母连同指数不变.多项式除单项式①先把这个多项式的每一项除以这个单项式；

②再把所得的商相加整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的.4.乘法公式乘法公式基础变形平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b21.通过移项变形①a2+b2＝(a+b)2-2ab②2ab=(a+b)2-(a2+b2)用法：已知a+b、ab、a2+b2中的两项求另一项的值（知二求一）.2.a+b与a-b的转化①(a+b)2＝(a-b)2+4ab②(a-b)2＝(a+b)2-4ab③(a+b)2-(a-b)2＝4ab④(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)用法：已知a+b、ab、a-b中的两项求另一项的值（知二求一）.3.特殊结构①(x+1x)2＝x2+2＋1x2②x2＋1x2=(x＋1x)2-2

③(x-1x)2＝x2-2＋1x2④x2-14.扩展

①(a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3②(a+b+c)3＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2口诀：首平方，尾平方，

二倍乘积放中央.三、二次根式的运算乘法法则:两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：ab=a•b（a≥0，除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：ab=ab（a≥0加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.【口诀】一化、二找、三合并.分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.【分母有理化方法】1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：12）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.即：1a混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．一、单选题1．（2023·广东肇庆·统考一模）2021年2月《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》正式发布．《意见》确定的目标任务为，2021年，农业供给侧结构性改革深入推进，粮食播种面积保持稳定、产量达到1300000000000斤以上，农民收入增长继续快于城镇居民，脱贫攻坚成果持续巩固．其中数据1300000000000用科学记数法表示正确的是（

）A．13×1011 B．13×1012 C．【答案】C【分析】本题主要考查了科学记数法．熟练掌握科学记数法的定义是解决问题的关键．科学记数法的定义：把一个数表示而为a×10n的形式（其中1≤a<10，n为整数），这种记数方法叫做科学记数法．当表示的数的绝对值大于10时，1≤a<10，n为正整数，n的值等于原数的整数部分的位数减1；当表示的数的绝对值小于1时，根据科学记数法的定义解答，这里a=1.3，n=13−1=12．【详解】1300000000000=1.3×10故选：C．2．（2023·河南周口·统考二模）碳纳米纤维是指由多层石墨片卷曲而成的纤维状纳米碳材料，它的直径一般为10～500nm，长度分布在0.5～100um，具有质轻、导热性良好及很高的导电性和强度等特性，一碳纳米纤维的直径约为A．1.5×10−7m B．15×10−8m【答案】A【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤a【详解】解：150nm=0.00000015米故选：A．3．（2023·浙江·模拟预测）若x为实数，则|−x|−x的值一定（

）A．>0 B．<0 C．≤0 D．≥0【答案】D【分析】分当x≥0时，当x<0时两类讨论即可作答．【详解】当x≥0时，−x−x=x−x=0当x<0时，−x−x=−x−x=−2x>0综上：−x−x≥0故选：D．【点睛】本题主要考查了去绝对值的知识，注意分类讨论即可作答．4．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，嘉嘉和淇淇在做数学游戏，设淇淇想的数是x，嘉嘉猜中的结果是y，则y=（

）淇淇，你在心里想一个数，不说出来．

把想好的这个数减去4，把所得的差乘2，然后再加7，最后再减去所想数的2倍，得到一个结果．

无论你心里想的是几，我都能猜中刚才的结果．

A．1 B．−1 C．3 D．4x+3【答案】B【分析】根据列代数式计算判断即可．【详解】设淇淇想的数是x，则根据题意，得2x−4故y=−1，故选B．【点睛】本题考查了列代数式，正确列出代数式，并正确化简计算是解题的关键．5．（2023·河北·统考模拟预测）下列与1012−201的结果相等的是（A．1022 B．102 C．3012【答案】D【分析】利用完全平方公式即可简便运算．【详解】解：1012故选：D．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（2023·河北廊坊·校考三模）若分式m−4m2A．m=4 B．m=−4C．m=±4 D．不存在m，使得m【答案】D【分析】根据题意可得m−4=0【详解】解：根据题意可得：m−4=0解得：m=±4m≠±4故无解，故选：D．【点睛】本题考查了分式值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件为：分子为0，分母不为0，是解题的关键．7．（2023·河北沧州·统考模拟预测）小敏在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即a2−2aa2−1A．2a+1a+1 B．a+12a−1 C．2a−1a+1【答案】C【分析】根据“被除数除以除数等于商，则除数等于被除数除以商”即可求解．【详解】根据题意可得，∗=a2−2a故选C．【点睛】本题考查了分式的减法与除法混合运算，涉及通分、因式分解、合并同类项、约分等知识点，解题的关键是熟练正确运用分式的运算法则．二、填空题8．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）5−3−【答案】−6−5/【分析】先求绝对值，进行负整数指数幂的计算，再进行减法运算．【详解】解：5−3故答案为：−6−5【点睛】本题考查实数的混合运算，负整数指数幂的计算．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．9．（2023·河北唐山·统考二模）已知：A=(−1)（1）若a=2，b=0，则A=；（2）若a=−1，b=−2，则A=；【答案】20【分析】（1）将a=2，b=0代入原式，化简求值即可；（2）将a=−1，b=−2代入原式，化简求值即可．【详解】（1）将a=2，b=0代入原式得：A=(−1)故答案为：2．（2）将a=−1，b=−2代入原式得：A=(−1)故答案为：0．【点睛】本题考查了代数式求值，有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂等，掌握负整数指数幂的运算法则是解题的关键．10．（2023·河北沧州·模拟预测）观察分式变形过程：a+1a−1（1）“○”“□”“

”表示的整数；（填“相同”或“不相同”）（2）当a≥0时，2a−8a+2的最小值为【答案】相同−4【分析】（1）根据分式变形步骤分别求出各个符号盖住的值即可得出结果；（2）将分式按照题干方法变形求解即可．【详解】解：（1）a+1a−1∴○=2,□=2,

=2，故答案为：相同；（2）2a−8a+2∵a≥0，∴当a=0时，12a+2∴2a−8a+2的最小值为2−6=−4故答案为：−4．【点睛】题目主要考查分式的化简变形，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．11．（2023·河北沧州·校考二模）现有甲、乙两种不同的正方形纸片（边长如图1）．

（1）若一张甲纸片和一张乙纸片按如图2摆放，则阴影部分的面积可表示为．（2）若一张甲纸片和两张乙纸片按如图3摆放，则阴影部分的面积和可表示为．【答案】a2−【分析】（1）根据图中摆放和正方形的面积公式求解即可；（2）分别求得三个阴影的边长，再根据正方形的面积公式求解即可．【详解】解：（1）由图可知，甲的面积为a2，乙的面积为b∴阴影部分的面积为a2故答案为：a2（2）由题意，两个角上的阴影是边长都是a−b的正方形，中间阴影是边长为a−2a−b∴阴影部分的面积为2=2=3a故答案为：3a【点睛】本题考查了列代数式、整式的混合运算，熟记完全平方公式，根据图形正确列出代数式是解答的关键．12．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考一模）[输入x]→[平方]→[减去22x]→[输出（1）把多项式A分解因式为=；（2）当x=6+2时，多项式A【答案】xx−2【分析】（1）先根据运算程序写出多项式A，再利用提公因式法分解因式即可得到答案；（2）把x=6+2【详解】解：（1）根据题意得A=x故答案为：xx−2（2）当x=6A=6故答案为：4．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，因式分解，注意二次根式要先化简再代入求值．13．（2022·河北邢台·校考三模）已知30（1）m的值为；（2）计算m−mm【答案】2−100【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则进行运算即可；（2）把m=2代入进行计算即可．【详解】解：（1）∵3∴0+−1∴m=2，故答案为：2；（2）将m=2代入得：∴m故答案为：−1002【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、二次根式的加减，熟练掌握同底数幂的乘法、二次根式的加减的运算法则是解题的关键．14．（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）若x表示不超过x的最大整数，A=11−4【答案】−2【分析】先根据零指数幂和分母有理化得到A=−3≈−1.732，然后根据x表示不超过x的最大整数得到【详解】解：A=11−4∴−2<A<−1，A＝故答案为：−2．【点睛】本题考查了取整计算：x表示不超过x的最大整数．也考查了分母有理化和零指数幂．三、解答题15．（2023·河南信阳·校考三模）（1）计算：12+（2）按要求填空．小宇计算：2a解：原式=2aa+1=2aa−1=−2a

第三步①若每一步只对自己的上一步负责，小宇在计算过程中第_______________步出现了错误；②请你进行正确的计算．【答案】（1）23+1【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）①先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，逐一判断即可解答；②先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．【详解】解：（1）12=2=2=23（2）①若每一步只对自己的上一步负责，小宇在计算过程中第一步出现了错误，故答案为：一；②2===2a【点睛】本题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．16．（2023·河北沧州·统考模拟预测）如图，数轴上有三点A、B、C，点A表示的数a=1，点A向左平移两个单位长度到达点B，向右平移3个单位到达点C．

(1)直接写出点B、C对应的数b、c的值；(2)计算：−2a−b+−c(3)已知m是关于x的一元二次方程cx2−2ax+b=0【答案】(1)b=−1，c=4(2)−5(3)3【分析】（1）根据数轴直接写出b、c的值即可；（2）将a、b、c的值代入求出结果即可；（3）把a=1，b=−1，c=4代入方程得：4x2−2x−1=0，把x=m代入方程4x2−2x−1=0，得【详解】（1）解：∵点A表示的数a=1，点A向左平移两个单位长度到达点B，向右平移3个单位到达点C，∴b=a−2=1−2=−1，c=a+3=1+3=4．（2）解：−2a−b+=−2−=−2+1−4=−5；（3）解：把a=1，b=−1，c=4代入方程得：4x把x=m代入方程4x2−2x−1=0即4m∴2m∴m−1=2==3【点睛】本题主要考查了代数式求值，方程解的定义，数轴上点的特点，解题的关键是根据数轴求出a=1，b=−1，c=4．考点二方程与不等式的相关运算题型01解一元一次方程1．（2023·湖南永州·统考中考真题）关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的值为（

）A．3 B．−3 C．7 D．−7【答案】A【分析】把x=1代入2x+m=5再进行求解即可．【详解】解：把x=1代入2x+m=5得：2+m=5，解得：m=3．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤．2．（2022·贵州黔西·统考中考真题）小明解方程x+12解：方程两边同乘6，得3x+1去括号，得3x+3−1=2x−2②移项，得3x−2x=−2−3+1③合并同类项，得x=−4④以上解题步骤中，开始出错的一步是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】A【分析】按照解一元一次方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．【详解】解：方程两边同乘6，得3x+1∴开始出错的一步是①，故选：A．【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解决问题的关键．3．（2020·四川凉山·统考中考真题）解方程：x−【答案】x=【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．【详解】解：x−6x−36x−3x+6=6−4x+26x−3x+4x=6−6+27x=2x=【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．题型02解二元一次方程组及其应用解二元一次方程组的方法选择：1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法；4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法．1．（2023·四川眉山·统考中考真题）已知关于x,y的二元一次方程组3x−y=4m+1x+y=2m−5的解满足x−y=4，则m的值为（

A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】将方程组的两个方程相减，可得到x−y=m+3，代入x−y=4，即可解答．【详解】解：3x−y=4m+1①①−②得∴x−y=m+3，代入x−y=4，可得m+3=4，解得m=1，故选：B．【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．2．（2022·广西贺州·统考中考真题）若实数m，n满足∣m−n−5∣+2m+n−4【答案】7【分析】根据非负数的性质可求出m、n的值，进而代入数值可求解．【详解】解：由题意知，m，n满足∣m−n−5∴m-n-5=0，2m+n−4=0，∴m=3，n=-2，∴3m+n=9−2=7，故答案为：7．【点睛】此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．3．（2022·山东淄博·统考中考真题）解方程组：x−2y=3【答案】x=5【分析】整理方程组得x−2y=3①【详解】解：整理方程组得x−2y=3①2x+3y=13①×2−②得y=1，

把y=1代入①得x−2=3，解得x=5，

∴方程组的解为x=5y=1【点睛】本题考查了解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键．4．（2023·江苏南通·统考中考真题）若实数x，y，m满足x+y+m=6，3x−y+m=4，则代数式−2xy+1的值可以是（

）A．3 B．52 C．2 D．【答案】D【分析】联立方程组，解得x=5−m2y=【详解】解：依题意，x+y+m=63x−y+m=4解得：x=设w=−2xy+1∴w=−2×5−m2∵−∴w有最大值，最大值为4×故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．（2020·广东·统考中考真题）已知关于x，y的方程组ax+23y=−103（1）求a，b的值；（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x的方程x【答案】（1）−43；12【分析】（1）关于x，y的方程组ax+23y=−103x+y=4x−y=2（2）将a、b的值代入关于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与26【详解】解：由题意列方程组：x+y=4x−y=2解得将x=3，y=1分别代入ax+23y=−10解得a=−43，∴a=−43，（2）x解得x=这个三角形是等腰直角三角形理由如下：∵(2∴该三角形是等腰直角三角形．【点睛】本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正确答案的关键题型03解分式方程1.分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.2.去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.3.分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．4.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．5.解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.6.分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.1．（2023·山西·统考中考真题）解方程：1x−1【答案】x=【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．【详解】解：原方程可化为1x−1方程两边同乘2x−1，得2+2解得x=3检验：当x=32时，∴原方程的解是x=3【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．2．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）小丁和小迪分别解方程xx−2小丁：解：去分母，得x−(x−3)=x−2去括号，得x−x+3=x−2合并同类项，得3=x−2解得x=5∴原方程的解是x=5小迪：解：去分母，得x+(x−3)=1去括号得x+x−3=1合并同类项得2x−3=1解得x=2经检验，x=2是方程的增根，原方程无解你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．【答案】都错误，见解析【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可．【详解】小丁和小迪的解法都错误；解：去分母，得x+(x−3)=x−2，去括号，得2x−3=x−2，解得，x=1，经检验：x=1是方程的解．【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．题型04根据分式方程解的情况求值由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：

①根据未知数的范围求出字母的范围；

②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；

③综合①②，求出字母系数的范围.已知分式方程的解确定字母参数，一般解法是：首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x，再根据解的情况确定字母参数的取值.同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零.依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：

1)先将分式方程转化为整式方程;

2)由题意求出增根;

3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值.1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如果关于x的分式方程2x−mx+1=1的解是负数，那么实数m的取值范围是（A．m<−1 B．m>−1且m≠0 C．m>−1 D．m<−1且m≠−2【答案】D【分析】分式方程两边乘以x+1，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据分式方程的解是负数，得出不等式，解不等式即可求解．【详解】解：2x−m2x−m=x+1解得：x=m+1且x≠−1∵关于x的分式方程2x−mx+1∴m+1<0，且m≠−2∴m<−1且m≠−2，故选：D．【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握解分式方程步骤是解题的关键．2．（2022·四川遂宁·统考中考真题）若关于x的方程2x=m2x+1无解，则A．0 B．4或6 C．6 D．0或4【答案】D【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当m−4=0时，当m−4≠0时，x=0或2x+1=0，进行计算即可．【详解】方程两边同乘x(2x+1)，得2(2x+1)=mx，整理得(m−4)x=2，∵原方程无解，∴当m−4=0时，m=4；当m−4≠0时，x=0或2x+1=0，此时，x=2解得x=0或x=−1当x=0时，x=2当x=−12时，x=2综上，m的值为0或4；故选：D．【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．3．（2023·四川巴中·统考中考真题）关于x的分式方程x+mx−2+12−x【答案】−1【分析】等式两边同时乘以公因式x−2，化简分式方程，然后根据方程有增根，求出x的值，即可求出m．【详解】x+mx−2解：方程两边同时乘以x−2，得x+m+−1∴m=2x−5，∵原方程有增根，∴x−2=0，∴x=2，∴m=2x−5=−1，故答案为：−1．【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根．4．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x的方程x+mx−2−1=x−12−x的解为非负数，则【答案】m≤−1且m≠−3【分析】解分式方程，可用m表示x，再根据题意得到关于m的一元一次不等式即可解答．【详解】解：解x+mx−2−1=x−1∵x的方程x+mx−2∴−m−1≥0，解得m≤−1，∵x−2≠0，∴−m−1−2≠0，即m≠−3，∴m的取值范围是m≤−1且m≠−3，故答案为：m≤−1且m≠−3．【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求值，注意分式方程无解的情况是解题的关键．5．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）若关于x的分式方程1x−2+2x+2=【答案】m>0且m≠1【分析】先解分式方程得到解为x=m+1，根据解大于1得到关于m的不等式再求出m的取值范围，然后再验算分母不为0即可．【详解】解：方程两边同时乘以x+2x−2得到：x+2+2(x−2)=x+2m整理得到：x=m+1，∵分式方程的解大于1，∴m+1>1，解得：m>0，又分式方程的分母不为0，∴m+1≠2且m+1≠−2，解得：m≠1且m≠−3，∴m的取值范围是m>0且m≠1．故答案为：m>0且m≠1．【点睛】本题考查分式方程的解法，属于基础题，要注意分式方程的分母不为0这个隐藏条件．题型05解一元一次不等式1．（2022·河北·统考中考真题）整式313−m(1)当m＝2时，求P的值；(2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．【答案】(1)−5(2)−2,−1【分析】（1）将m＝2代入代数式求解即可，（2）根据题意P≤7，根据不等式，然后求不等式的负整数解．【详解】（1）解：∵P=3当m=2时，P=3×=3×=−5；（2）∵P=313−m即31∴1解得m≥−2，∴m的负整数值为−2,−1．【点睛】本题考查了代数式求值，解不等式，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键．2．（2022·湖北宜昌·统考中考真题）解不等式x−13【答案】x≤1，在数轴上表示解集见解析【分析】通过去分母，去括号，移项，系数化为1求得x≤1，在数轴上表示解集即可．【详解】解：x−1去分母，得2x−1去括号，得2x−2≥3x−9+6，移项，合并同类项得−x≥−1，系数化为1，得x≤1，在数轴上表示解集如图：【点睛】本题考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是正确的解一元一次不等式，解集为“≤”时要用实心点表示．题型06解一元一次不等式组不等式组解集的确定有两种方法：1）数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.2）口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了．解一元一次不等式组的一般步骤：求出不等式组中各不等式的解集.将各不等式的解决在数轴上表示出来.在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.1．（2022·北京·统考中考真题）解不等式组：2+x>7−4x,【答案】1<x<4【分析】分别解两个一元一次不等式，再求交集即可．【详解】解：2+x>7−4x解不等式①得x>1，解不等式②得x<4，故所给不等式组的解集为：1<x<4．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，属于基础题，正确计算是解题的关键．2．（2022·江苏扬州·统考中考真题）解不等式组x−2≤2xx−1<【答案】3【分析】先解每个不等式，求得不等式组的解集，然后找出所有整数解求和即可．【详解】解：x−2≤2x解不等式①，得x≥−2，解不等式②，得x<4，∴不等式组的解集为−2≤x<4，∴不等式组的所有整数解为：−2，−1，0，1，2，3∴所有整数解的和为：−2+−1【点睛】本题考查了求不等式组的解集，正确地解每一个不等式是解题的关键．3．（2021·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知关于x的不等式组−2x−3≥1x4−1≥A．a≥−52 B．a≥−2 C．a>−5【答案】D【分析】首先解出两个不等式，根据题目该不等式组无实数解，那么两个解集没有公共部分，列出关于a的不等式，即可求解．【详解】解：解不等式−2x−3≥1得，x≤−2，解不等式x4x≥2a+2，∵该不等式组无实数解，∴2a+2>−2，解得：a>−2，故选：D．【点睛】本题考查了不等式的解法和不等式组解集的确定，解题关键是熟练掌握不等式解集的确定，即“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”．4．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）不等式组{3x−6>0x>m的解集为x>2，则m的取值范围为【答案】m≤2【分析】先求出不等式①的解集，再根据已知条件判断m范围即可．【详解】解：{3x−6>0解①得：x>2，又因为不等式组的解集为x>2∵x>m，∴m≤2，故答案为：m≤2．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知得出m的范围是解此题的关键．题型07解一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择：1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法；2）当b=0时，首选直接开平方法；3）当c=0时，可选因式分解法或配方法；4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法；5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法.1．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）解方程：(2x+3)【答案】x1=−1【分析】直接开方可得2x+3=−3x−2或2x+3=3x+2，然后计算求解即可．【详解】解：∵(2x+3)∴2x+3=−3x−2或2x+3=3x+2解得x1=−1，【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．2．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）小敏与小霞两位同学解方程3x−3小敏：两边同除以x−3，得3=x−3，则x=6．小霞：移项，得3x−3提取公因式，得x−33−x−3则x−3=0或3−x−3=0，解得x1=3，你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．【答案】两位同学的解法都错误，正确过程见解析【分析】根据因式分解法解一元二次方程【详解】解：小敏：两边同除以x−3，得3=x−3，则x=6．（×）小霞：移项，得3x−3提取公因式，得x−33−x−3则x−3=0或3−x−3=0，解得x1=3，（×）正确解答：3移项，得3x−3提取公因式，得x−33−去括号，得x−33−x+3则x−3=0或6−x=0，解得x1=3，【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键．3．（2023·江苏无锡·统考中考真题）解方程：2x【详解】解：2解：∵a=2,b=1,c=−2，∴Δ=b2∴x=解得：x1=−1+题型08根据判别式判断一元二次方程根的情况1.求根公式的使用条件：a≠0且b2-4ac≥0.2.使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c的值.3.利用判别式可以判断方程的根的情况,反之,当方程：1）有两个不相等的实数根时,Δ>0;2）有两个相等的实数根时,Δ=0;3）没有实数根时,Δ<0.4.【选择题小技巧】若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中ac<0(或a、c异号)，则可直接判断该方程有两个不相等的实数根.1．（2022·湖北十堰·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β=5，求m的值．【答案】(1)见解析(2)m=±1【分析】（1）根据根的判别式Δ=（2）利用根与系数关系求出α+β=2，由α+2β=5即可解出α，β，再根据α⋅β=−3m2，即可得到【详解】（1）Δ=∵12m∴4+12m∴该方程总有两个不相等的实数根；（2）∵方程的两个实数根α，β，由根与系数关系可知，α+β=2，α⋅β=−3m∵α+2β=5，∴α=5−2β，∴5−2β+β=2，解得：β=3，α=−1，∴−3m2=−1×3=−3【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．2．（2023·四川南充·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程x(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；(2)若x1，x2是方程的两个实数根，且x2【答案】(1)见解析(2)25或1【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定Δ≥0（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=2m−1【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2∴a=1，b=−2m−1，c=−3∴Δ=∵4m−12≥0，即∴不论m为何值，方程总有实数根；（2）解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程∴x1+x∵x2∴x1∴(2m−1)2−3m2+m=−1∴m的值为25或1【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．3．（2021·北京·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程x2（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m>0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．【答案】（1）见详解；（2）m=1【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；（2）设关于x的一元二次方程x2−4mx+3m2=0的两实数根为x【详解】（1）证明：由题意得：a=1,b=−4m,c=3m∴Δ=b∵m2∴Δ=4m∴该方程总有两个实数根；（2）解：设关于x的一元二次方程x2−4mx+3m2=0∵x1∴x1解得：m=±1，∵m>0，∴m=1．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．题型09根据一元二次根的情况求参数1．（2021·湖北黄石·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程x2（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x1【答案】（1）m≤0；（2）m=−2【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即Δ≥0求解即可；（2）由韦达定理把x1+x2和x1x2【详解】（1）由题意可得：Δ=解得：m≤0即实数m的取值范围是m≤0．（2）由x12∵x1+∴(−2m)2解得：m=3或m=−2∵m≤0∴m=−2即m的值为-2．【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当Δ≥0时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键．2．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程kx(1)求k的取值范围；(2)当k=1时，用配方法解方程．【答案】(1)k>−25(2)x1=3+【分析】（1）根据题意，可得2k+42（2）将k=1代入kx【详解】（1）解：依题意得：k≠0Δ=解得k>−25且（2）解：当k=1时，原方程变为：x2则有：x2∴x−3∴x−3=±14∴方程的根为x1=3+14【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键．3．（2022·四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2(1)求实数k的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2，若【答案】(1)k≤17(2)k=3【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）≥0，解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x【详解】（1）解：∵一元二次方程x2∴∆≥0，即32-4（k-2）≥0，解得k≤（2）∵方程的两个实数根分别为x1∴x1∵x1∴x1∴k−2−3+1=−1，解得k=3．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．题型10一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0QUOTE≠0，Δ≥0）的两个根是x1和x2，则x1，x2与方程的系数a，b，c之间有如下关系：x1+x2＝−一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0.用根与系数的关系求值时的常见转化：已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x21）平方和x12+2）倒数和1x1+1x2

3）差的绝对值|x1-x2|=(4)x1x51．（2022·湖北黄石·统考中考真题）阅读材料，解答问题：材料1为了解方程x22−13x2+36=0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y