几类边值问题解的存在性与多重性

几类边值问题解的存在性与多重性非线性泛函分析是现代数学中一个既有深刻理论意义又有广泛应用价值的研究方向.它的研究成果和方法在计算数学、控制理论、最优化理论、动力系统等诸多领域有着广泛的应用,尤其是它所建立的各类不动点定理可以广泛应用于各种非线性微分方程、积分方程和其他类型的方程研究.其中,非线性微分方程边值问题作为有广泛应用背景的数学研究领域,一直是微分方程理论和非线性泛函分析应用研究的重要课题.在过去的几十年,各种阶数的各类非线性整数阶微分方程、差分方程以及时标轴上的动力方程满足两点边值、多点边值、积分边值甚至非线性边值等边值条件的问题得到广泛的研究.尤其是整数阶微分方程的边值问题由于其重要的理论价值和明确的物理背景,一直备受许多研究者的关注,取得了非常丰富的研究成果.分数阶微分方程在控制论、扩散和传输、粘弹性力学、信号处理和非牛顿流体力学等诸多领域得到逐步的应用,已经引起国内外数学及自然科学界的高度重视.对非线性分数阶微分方程的研究受到很大的关注,尤其是数值计算和数值解,成为国际热点研究方向之一本文主要利用非线性泛函分析的锥理论、不动点理论、Krasnosel’skii-Zabreiko不动点定理等首先研究了四类非线性微分方程的边值问题解的存在性和多解性.最后,利用单调迭代结合上下解方法研究了一类非线性分数阶微分方程的非线性边值问题极限解的存在性和唯一性,并引入了解的迭代算法和数值计算方法.全文共分六章.第一章简要介绍了非线性泛函分析的历史背景、非线性微分方程边值问题的研究现状,给出本文相关的一些基本概念以及文中多次用到的相关定理等背景知识.第二章研究了如下整数阶高阶脉冲微分方程的积分边值问题正解的存在性、多解性其中(?)u(t)dα(t)和(?)u(t)dβ(t)分别是α和β关于u的Riemann-Stieltjes积分.通过转化为等价积分方程获得该问题的Green函数,利用Green函数的性质构造一个锥.然后,考虑没有脉冲项条件下相关线性积分算子的第一特征值,在与该特征值有关的最优非线性项增长条件下,运用锥上的Krasnosel’skii-Zabreiko不动点定理获得该问题正解的存在性.第三章研究了如下带有脉冲效应的二阶p-Laplacian微分方程的Robin边值问题正解的存在性和多解性通过考虑没有脉冲项条件下相关线性积分算子的第一特征值获得最优非线性项控制条件,在此条件下,借助Krasnosel’skii-Zabreiko不动点定理和Jensen不等式获得该问题正解和多正解的存在性结果.第四章讨论了如下二阶差分方程边值问题系统正解的存在性和多解性其中重点研究非线性项f和9的耦合行为以及在该行为下的解的存在性问题.在两个非线性项通过凹凸函数来刻画的较强耦合条件下,利用Jensen不等式、相关线性算子的第一特征值和锥上的Krasnosel’skii-Zabreiko不动点定理获得至少存在一个和两个正解的结果.第五章研究了如下时标轴上四阶p-Laplacian动力方程边值问题的正解的存在性、多解性在非线性项f次线性增长和超线性增长的条件下,利用经典的利用Guo-Krasnosel’skii不动点定理和Leggett-Williams不动点定理,获得了两个和三个正解的存在性结果.第六章研究了如下带p-Laplacian算子的分数阶微分方程的非线性边值问题极限解以及解的迭代数值算法这里在不要求非线性项单调的条件下,通过构造一致收敛到真解的上下解迭代序列,论证了该问题的极限解的存在性和唯一性,然后给出了解的迭代算法和数值计算方法,并通过一个例子说明了算法的可行性,同时也给出了相关的误差以及逼近解的图形.综上所述,在以上问题的解的存在性研究中,通过构造一个相关的线性边值问题的积分算子,获得它的第一特征值,把这个特征值结合Jensen不等式和p-Laplacian算子的性质来获得最优的不等式估计,从而得到非线性项的最优控制条件,在此条件下利用Krasnosel’skii-Zabreiko不动点定理获得正解和多正解的存在性结果.在对分数阶微分方程的非线性边值问题的研究中,在没有通常的非线性项单调的假定下证明了极限解的存在和唯一性,并引入一致收敛于真解的迭代算法和数值算法,也通过实例验证了该方法的有效性和可行性,这是本部分的创新之处.同时也说明了通过单调迭代结合上下解方法求解该类边值问题的可行性,相关的误差估计也表明该方法是行之有效的.因此,这是一个新的计算带p-Laplacian算子