物理学教程第二版095电势新

物理学教程第二版095电势新§9-5

静电场的环路定律电势

当带电体在静电场中移动时，静电场力对带电体要作功，这说明静电场具有能量。

一.静电场力的功WEFdq0.==dl.dlEq0=dlcosjqE0=dr=qrπ24εOqOdrdlrrjrd局部放大图W=rbòr2qπ4εOqOdrra=()ar1qπ4εOqObr1Edlaqrbra0qbjj··对于由n个点电荷所组成的电场有：

试验电荷qo在静电场中从一点沿任意路径运动到另一点时，静电场力对它所作的功仅与试验电荷qo以及路径的起始点和终了点的位置有关，而与该路径的形状无关。在静电场中，电场力对试验电荷作功与路径无关是静电场的一个重要性质,也说明了静电场力是保守力，静电场是保守场。(可以与重力相类比)结论Edlaqrbra0qbjj··()iar1qπ4εOqOW=Σi＝1nibr1E=.dl0lò

如果试验电荷从a点出发经过bcd再回到a点则有：二.场强环流定律：

静电场力的功和作功的路径无关，

静电力是一保守力，因此可以引入势能的概念。

其中q0不会=0E电场强度环流则:在静电场中，将单位正电荷沿任意闭合路径绕行一周，静电场力对它所作的功为零Eq0=.dl0lòE=.dl0lò·bcda·静电场力对电荷qo所作的功等于静电势能的改变量。三.电势能E

重要结论：静电场力作功电势能减少。外力克服静电场力作功，则电势能增加。问题：E＋－电势能增加还是减少？·－qa·b负电荷在a移动到b的过程中：增加W==Eaabq0EbE.dlaòbEdlaqrbra0qbjj··问题：非均匀电场E中有a、b

两个点，一个正试验电荷q

从a

移到b

的过程中，电势能是增加的，则:

（1）标出电场强度的方向，

（2）

a、b

两点哪一点的电势高？

（3）a、b

两点哪一点的电场强度来得强？左端为＋、右端为－。＋－（1）∴电场强度的方向向右（2）

a、b

两点中b点的电势高（看电场线的走向）（3）

b点的电场强度来得强（看电场线的疏密）E·b·qa分析：正试验电荷q从a移到b的过程中电势能增加，说明在该过程中是克服电场力作功的。一般在理论计算时，取无穷远处为电势能的零点在实际问题中有时选择地球表面为零势能点。a点的电势能为：其中设b为零势能点)(或定义：电荷qo

在电场中某点处的电势能在数值上等于将它从该点移动到零电势能处电场力所作的功。W==Eaaq0E.dlaò∞∞W==Eaabq0E.dlaòba

点的电势在数值上等于将单位正电荷从a

点移到无穷远处静电场力对它所作的功9-6.电势1.电势差VbVa=Edla.bò（描述静电场的另一个重要物理量）一.电势电势是一个标量电势的物理意义Wa==Vaq0E.dla8ò=VaE.dlaò∞VbE.dlbò∞=E.dlaòb2.

静电场力的功和电势差的关系在原子、核子物理中，电子、质子的能量常用电子伏特为单位：1eV＝1.602×10－19

(J)WabVbVa=q()VaVb=q()－关系式很重要是计算题目的依据.

定义：静电场中a、b两点的电势差Vab在数值上等于把单位正试验电荷从a点移到b点时静电场力所作的功。Ur+Ur1.

点电荷的电势二、电势的计算电势的高低看电场线的走向

越靠近正电荷电势越高、越靠近负电荷电势越低(也是计算大块连续带电体电势的基础工具)q·rp点电荷考察点=VpE.dl8pò=επ2r4q8p0drcos00òV=επr4q0对于点电荷系：2.

点电荷系的电势电势叠加原理物理量电势是标量,只要代数和.=VpE.dl8pò.dl8pò=E1E2(+)+8pò.dl=E1E2+.dl8pò+V1=Vi+=ΣV2+V3+V=επr4q011+επr4q022+V=επr4q0ΣiiPr2q2.r1q13.

连续带电体的电势带电体上的电荷是连续分布的，可以无限细分为无限多个电荷元，视为点电荷，每个点电荷在电场中某一处的电势为：然后将无限多个点电荷在电场中某一处的电势贡献加以求积分，进行电势的叠加（标量叠加）V=επr4q0dd·dqPrqV=επr4q0dò10×=2.463(v)3××=9109×0.101(4.04.0)108C=18=4.0×0

例题:

已知q2q1r=0.10

m=试求：将电荷q0从a点移到b点静电场力所作的功。

，q0C184.0×0abq12q0qrrr·=Va+=0Vq1Vq2V=επr4q0b31επr4q02+=επr40q11q23)(+由前面得到：=×2.46105(J)由静电场力的功和电势差的关系式=Va+=0Vq1Vq210×=2.463(v)VbWabVbVa=q()WabVbVa=q()0VbVa()=1.0×10

－8×2.46103=1.0×10

－8×abq12q0qrrr·

例题：四个+q

的点电荷，分别在边长为a

的正方形的四个顶点，对角线相交于0点，P点在0点的正上方，它们相距为a

，求：（1）0点的电场强度

（2）0点的电势（5）P

点的电势是多少？（4）在这个过程中，电势能是增加还是减少？（3）将试验电荷qo从无穷远处移到0点，则电场力作功是多少？（设无穷远处的电势为零)opqaqqqa····0Eo=（1）0点的电场强度在0点各个电荷的电场强度叠加，相互抵消（2）0点的电势电势是标量。在0点各个电荷的电势叠加为它们量值的代数和a22Vo＝4×q4πεo（3）将试验电荷qo从无穷远处移到0点，则电场力作功是多少？（设无穷远处的电势为零)opqaqqqa····＝2πεoaq∵电场力作负功，∴电势能是增加的。其量值为：

（4）在这个过程中，电势能是增加还是减少？（3）将试验电荷qo从无穷远处移到0点，则电场力作功是多少？（设无穷远处的电势为零)opqaqqqa····WV0V∞=q()0-=qo2πεoaq-=qo2πεoaq△E＋=qo2πεoaq（5）P点的电势是多少？aa2222+=r()qUP44×=ε0πaa2222+()aq6=3ε0π先计算出连接q

到P

点的距离rr0pqaqqqa·····V=επr4q0由：πε4o=R2x2+()12q

例题：求一均匀带电圆环轴线上一点的电势。已知：q

、

R

、

x

。RdqxPr0··xV=επr4q0dd分析：无限细分为无限多个电荷元，视为点电荷，每个点电荷在电场中P点处的电势为：然后将无限多个点电荷在电场中P点处的电势贡献加以求积分，进行电势的叠加（标量叠加）。V=επr4q0dòP

1.rR≤注意：积分要一段一段进行例题：求一均匀带电球面内外的电势。已知：q、

R

。=VpE.dl8rò0R+qP.r+++++++=E.dlRrò内+E.dR∞ò外l（均匀带电球面内部）=επ2r4q8Rdr0ò0+=επR4q02.rR≥（均匀带电球面外部任一点）=VE.dr∞ò外rP=επ2r4q8rdr0ò=επr4q0场强分布曲线ERr02r1∝

结论：均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势，球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。电势分布曲线VRr0r1∝选择题：（1）电场强度为零的点，电势也一定为零。（2）电场强度不为零的点，电势也一定不为零。

（3）电势为零的点，电场强度也一定为零。

（4）电势在某一区域内为常数，则电场强度在该区域内必定为零。（1）均匀带电为Q的空心球面：球面内的电场强度E处处为零球面内的电势V等于球表面的电势而不是等于零的。0RQE＝0×V=επR4Q0（2）电场强度不为零的点，电势也一定不为零。而在两个异性点电荷中间P点的电势（3）电势为零的点，电场强度也一定为零。××（理由同上）√（4）电势在某一区域内为常数则电场强度在该区域内必定为零。·PLq+q－Eq－Eq+P点在两个异性点电荷的中间EP则：＝＋E+E-≠0＋＝0V=επL4q0επL4q0－例题：如图所示，有一个点电荷q＝10-9C，A、B、C三点分别距该点电荷10cm、20cm、30cm若选B点的电势为零，则分别求出A点和C点的电势。解：V=επr4q0由：可以求出：A点电势V＝90VB点电势V＝45VC点电势V＝30V＋···qABC∵选B点的电势为零所以：A点电势V＝90V－45V＝45VC点电势V＝30V－45V＝－15V（练习册P2填充题3）例题：电量Q

均匀地分布在长为L

的细棒上如图示，求：距离细棒一端a

处P点的电场强度和电势。分析：在细棒上无限细分带电长度且电荷元在P点的场强方向均相同。解：P点的电场强度沿x轴负向·PdEdqdxxxaQπEε=x241q0dd=πεx24Qx0dLπεx24Qx0dL=òaaL＋EdòE=P=πε4Q01L（aa＋L1)－=πε4Q0（aa＋L)ddxλQdxLldq

==以上求出了P点的电场强度，现再求离距离细棒一端a

处P点的电势：解：·PdEdqdxxxaQddxλQdxLldq

==V=επx4q0ddV=επx4q0dòPπεx4Qx0dL=πεx4Qx0dL=òaaL＋=πε4Q0Llnaa＋L例题：电场强度为E

的均匀电场中，有一个半径为R

的半球封闭面S，如图所示。求：通过半球面的电场强度通量。如果沿着半球面的底面将电荷q从A移到B，则电场力作的功是多少？分析：由高斯定理=E－πR2cos600=－21－EπR2=半球面+E.dSsòòE.dSòò圆面E.dSòò=0j半球面=j－圆面=E－·S通过半球面的电场强度通量ES600AB如果沿着半球面的底面将电荷q

从A

移到B，则电场力作的功是多少？因为静电场力作功与路径无关，所以有：Sdl600AB=－√3qERqW==ABEq.dlABòWAB弧=EqABòcos（900＋600）dl=Eqsin600AB－QR0·例题：电荷Q

均匀分布在半径为R

的球体内，试求：球体内外的电场强度和电势的分布。分析：因为电荷分布具有球对称性，所以求电场强度分布用高斯定理；电势分布则用电势的定义来求。求：场强分布由高斯定理：（在球体内作高斯面）r＜R=E.dSsòòqε0r高斯面Er24π＝ε01Q43πR343πr3＝Qr3R3ε0高斯定理等式的左边高斯定理等式的右边QRor高斯面Er24π＝ε01Q43πR343πr3＝Qr3R3ε0E=等式左右两边相等得：Qε0rπ24E=等式左右两边相等得：Qε0Rπ34r（在球体外作高斯面）＜RrEr24π＝Qε01再由电势的定义求：球体内外的电势分布E=Qε0Rπ34rE=Qε0rπ24由：＜＜RRrr=VpE.dl8Pò电势定义：（其中V∞＝0）r＜R:=E.drRrò1+E.dR∞ò2r=VpE.dl8ròRQP·r·0=drRrò+dR∞òrQε0Rπ34rQε0rπ24=Qε0Rπ8Rr22（)3-r＞R：例题：如图所示，BCD

是以R

为半径的半圆弧。已知：AB=R。在A处放置点电荷＋q，在0

处放置点电荷－3q

求（1）若把电荷Q从点B经C（沿半圆）移至D，电场力对它作的功（2）将电荷－Q从D点沿直线DE移到无限远处，外力所作的功。RQP·r·0=VpE.dr8ròE.dr8rò=2=rd∞òrQε0rπ24Qε0rπ4=（此题和练习册P2计算题2类似，在数据上有所改变，解题的思路完全相同）求：（1）若把电荷Q从点B经C（沿半圆）移至D电场力对它作的功（2）将电荷－Q从D点沿直线DE移到无限远处，外力所作的功。解：（1）根据电场力的功和电势差的关系式W＝Q（VB－VD）根据点电荷电势的结论公式和电势的叠加原理···A0BDERC＋q－3q600επR4q0由：V=B－επR4q03=－επR2q0（2）将电荷－Q从D点沿直线DE

移到无限远处，外力所作的功。επR4q0V=B－επR4q03=－επR2q0qεπR40V=D－επR4q03=3q－επR203W＝Q（VB－VD）将VB和VD的量值代入W中：=επR6q0Q电荷Q从点B经C（沿半圆）移至D电场力对它作的功。···A0BDERC＋q－3q600RW＝Q（VD－V∞）Q（－0）q－επR203==q－επR203Q例题：有一半径为R的均匀带电球面，带电量是Q，沿半径方向上有一条均匀带电的细棒，电荷线密度为λ、长度为L，细棒的近端离球心的距离是L，如图所示。设球和细棒上的电荷分布固定，求：细棒在电场中的电势能。解：建坐标、取长度元（电荷元dq＝λdx）带电量Q

的球面，在x处产生的电势为：所以dq在Q的电场中具有的电势能为：RQLx·0LλxdxV=επx4Q0d=dqV=λdxWεπx4Q0所以，整条带电细棒在Q产生的电场中的电势能为：如果细棒的电量为q＝λL

，则上述的结果为：d=dqV=λdxWεπx4Q0W=ò=LλdxdWò2Lεπx4Q0ln2LL=επ4Q0λRQLx·0Lλxdxln2=επ4Q0λWln2=επ4Q0qL····q－q－q2aarP例题：

如图所示，电荷分布为一种电四极子，(1)证明在电四极子轴线的延长线上，离中心为r的P点处的电场强度的大小为：Eε43=π0rQ4式中的Q＝2qa2称为电四极子（练习册P2计算题1）(2)P的电势为：Vε4－=π0rQ3分析：本题的第一个证明已在《电场强度》的章节中证毕，在此证明（2）可以有二种解题方法。第一种解题方法：按电势的物理定义来求解=VpE.dl8rò····q－q－q2aarPEε43=π0rQ4其中已证毕=Vpdròε43π0rQ4=ε43π0Qr4－dròε43π0Q=3－1r3－ε4－=π0rQ3证毕第二种解题方法：按电势的叠加原理来求解V1=Vi+=ΣV2+V3+V=επr4q011+επr4q022+VΣV1=i+V2+V3+V1=V2=V3=2επr410q－επr410＋aq－επr410－aqViΣV=V1=+V2+V3+····q－q－q2aarP=－επr420－q（）1a2r2－r=－επr420q（）a2r2－a2∵r＜＜a∴=2επr40q3a2=επr40Q3－式中的Q＝2qa2称为电四极子证毕例题：已知有一均匀带电＋Q的四分之一圆环，其半径为R，另有一个点电荷＋Q置于A点，如图所示，求（1）0处的电场强度矢量（2）0处的电势。（练习册P4计算题1）分析：（1）0处的电场强度矢量，已经在前一章计算了，其结果如下：ε42=π01RQE总iε22π0RQ2－）（ε22π0RQ2－j··RRRA＋Q＋Q0yxdq＝λdlθdθ·（2）0处的电势VA=+V0V41圆弧VA其中=επR4Q0VA其中=επR4Q0··RRRA＋Q＋Q0yxdq＝λdlθdθ·V41圆弧=επR4q0dò02πR4d

＝λdlq=ò0πR2επR40λdl=ò02πR4επR40λdlλ＝πR2Q2πR4Q＝=επR4Q0VA=+V0V41圆弧=επR4Q0+επR4Q0=επR2Q00处的电势例题：已知电荷均匀分布在半径为R的圆弧上，如图所示，电荷线密度为λ，圆弧对圆心所张的圆心角是α，求（1）圆心0处的电场强度矢量（2）圆心0处的电势。（练习册P35计算题1）yxdExdEyR0α2α2·dq＝λdldθθθdE分析：（1）0处的电场强度矢量，已经在前一章计算了，其结果如下：ε=π0Rsinλ2α2Ei（2）圆心0处的电势。V=επR4q0ddV=επR40θdòRλα2α2d

＝λdlq＝λRθd=επ40αλ圆心0处的电势ⅠⅡⅢ例题：如图所示，一均匀带电Q

的球形膜,在它的半径从R1扩大到R2的过程中,距球为R

的一点的场强将由____________变为_______电势由_________变为_________,通过以为半径R的球面的电通量由________变为______。RR2R1（练习册P3：填充题1）QRπ24εOQRπ24εO0QRπ4εOOεQ0分析：根据高斯定理，在距球为R处建立高斯面，其内含有Q。所以场强是：半径扩大到R2则高斯面内无电荷，所以场强变为零高斯面球内的电势＝球面的电势（等势体）Q例题:一个半径为R的无限长均匀带电圆柱面，电荷面密度为σ，求：圆柱面内、外电场强度的分布和电势的分布。（设中心轴为电势零点）解：电荷分布轴对称，取柱面为高斯面后来求：电场强度。由高斯定理可知：E1=0（理由：电荷分布在圆柱面上）2πrh=ε01σ2πRhE2R0·=E.dSsòòqε0高斯面rr＜R（高斯面作在圆柱面内）r＞R（高斯面作在圆柱面外）rhh等式左边等式右边E20ε=rσR得：求电势的分布：R0·高斯面rrhE1=0（r＜R）E20ε=rσR（r＞R）电场强度的分布：（r＜R）=V1E.drR0ò1=0因为题设中心轴为电势零点所以积分从R积到0=·òrREdr2＋·òR0E1drV=2·òrREdr（r＞R）20ε=òrRdrrσRln=rσR0εR例题：真空中有一段带电的导线，如图所示,已知电荷线密度为λ，求该带电导线对圆心0

的电场强度的贡献和电势的大小。已知：AB的长度＝DE的长度解：建立坐标和作图分析∵AB、DE带电直线对0点对称又∵BCD带电部分相对于y轴对称RABCDE0·RABCDE0·yx＝E0＋EABEBCDEDE＋∴EABEDE＋＝0EABEDE∴Ex＝0x轴方向抵消∴E0＝Eydòy轴方向叠加dlθdEdEydExdθ再求带电导线对圆心0的电势：πEε=R241q0ddπεR24θ0dRλ=∵E0＝Eydòy轴方向叠加sinθ＝Eydò＝òdE-πεR24θ0dRλsinθ＝ò-π0πεR20λ=－RABCDE0·yxdlθdEdEydExdθEABEDEπεR20λ=－E0j带电导线对圆心0的电场强度的贡献电荷元对圆心0的电场强度的贡献：d

λdlq＝λRθd＝BCD带电部分的电势=4ε0λddxλldq

=V=επx4q0ddVVAB=òdVDE=l2ε04λn=òR2R=επx4x0dλπddlλldq

=V=επR4q0dd=επR4l0dλVòdVBCD=επR4l0dλ=ò0πRRABCDE0·xxdxVBCD2VDE=V0＋根据电势的叠加原理=＋ε2l20λnπ4ε0λ例题：如图所示，一个带有－q的点电荷，位于半径是R的带有＋Q电量的球面中心0处，试求（1）电场强度的分布（2）电势的分布情况。（练习册P4计算题3）＋＋＋＋＋Q·－qR0＋＋＋分析：此类题目要用高斯定理和电势的定义来做。设：带电球面内部为1区，带电球面外部为2区求：（1）场强分布由高斯定理：=E.dSsòòqε0（在球面内1区作高斯面）r＜Rr高斯面Er24π＝ε0－q1r24πE1=ε0－q再由