几类微分方程解的存在性与多解性

几类微分方程解的存在性与多解性微分方程解的存在性与多解性是非线性分析的一个重要研究内容,有着广泛的背景,它来源于物理、生物工程、化学和医学等领域.近年来,许多学者对非线性微分方程,尤其是非线性偏微分方程进行了研究，例如利用变分法和临界点理论研究了二阶和四阶椭圆方程、Schrodinger方程、Schrodinger-Poisson系统、Kirchhoff型方程、拟线性Schrodinger方程等各类方程解的存在性与多解性.这些研究都进一步促进了非线性分析的发展.本文主要利用变分法、临界点理论、Morse理论、拓扑度理论等方法研究Schrodinger-Poisson系统、Kirchhoff型方程、二阶Sturm-Liouville边值问题这三类微分方程解的存在性与多解性.本文分为四章.在第一章中,我们介绍一些研究背景,国内外研究现状及本文的一些主要结果.在第二章的第一节中,我们对以下带有参数的一般的Schrodinger-Poisson系统进行了研究其中q≥0是参数,η=士l,f是次临界的满足(f)/f∈C(R+)R+),存在c>0,使得|f(t)|≤c(|t|+|t|α),t∈R+[0,∞),其中α∈(2,4).非线性项9是次临界的,在零点和无穷远点是超线性的满足以下条件(g1)g∈C(R+,R+),存在c1>0,使得|g(t)|≤c1(1+|t|p-1),t∈R+=[0,∞),其中p∈(2,6)；(g2)limt→0+g(t)/t=0;(g3)limt→∞g(t)/t=∞通过用变分法讨论以上问题正径向解的存在性.首先f是一般的次临界的满足(f).当f(t)=t时,许多文献都进行了讨论.在假设(f)下,由Lax-Milgram定理,对每个u∈H1(R3),系统的第二个方程存在唯一的解φu∈D1,2(R3).将φu代入第一个方程中,则问题转化为只含有一个变量的方程,进而得到问题的变分结构,使得问题转化为只含有一个变量的泛函的临界点存在性问题.系统的非线性项g满足比较一般的条件(g1)-(g3),在零点和无穷远点都是超线性的不满足以下全局Ambrosetti-Rabinowitz增长条件(AR)存在μ>4,使得对所有的当η=1时,相应泛函的山路结构不是很明显,我们将利用截断函数的技巧和文献[30]中的方法,得到了当q≥0比较小时系统的正径向解的存在性.这部分内容已发表,见[41](J.Math.Anal.Appl.401(2013)：754-762).当η=-1时,虽然可以得到相应泛函的山路结构,但是用通常的方法得不到(PS)序列的有界性,我们仍将[30]中的方法和Pohozaev恒等式结合起来,得到了对任意的q≥0系统都存在一个正径向解.这一部分的主要结果如下.定理2.1.1.设f满足条件(f),9满足(g1),(g2)和(g3).则当η=1时,存在q0>0,使得对任意的q∈[0,q0),系统(2-1-1)至少存在一个正的径向解(u,φ)∈H1(R3)×D1,2(R3),而当η=-1时,对任意的q≥0,系统(2-1-1)至少存在一个正的径向解(u,Φ)∈H1(R3)×D1,2(R3).在第二章的第二节中,我们讨论了以下非齐次的一般Schrodinger-Poisson系统多个正径向解的存在性其中q≥0是参数,f是次临界的满足以上条件(f),g是次临界,在零点是超线性的满足(g1),(g2),并且9在无穷远点是渐近线性或超线性的满足(g3’)limt→∞g(t)/t=l,其中1<l≤∞.h满足以下条件(h1)h∈C1(R3)L2(R3)是一个非负径向函数；(h2)|h|2≤m,其中其中|·|。表示通常的Ls(R3)范数,%表示H1(R3)→L3(R3),s∈[2,6]的嵌入系数,C是一个依赖于g的常数；(h3)(▽h(x),x)∈L2(R3),(▽h(x),x)≥0,其中(·,·)表示R3中通常的内积.通过应用变分法得到了系统至少两个正径向解的存在性.首先,在(h1)和(h2)的假设下,可以得到对任意的q≥0,相应泛函在零点附近存在一个负的局部极小值,通过应用Ekeland变分原理得到这个极小值可以达到,因而得到问题对任意q≥0一个具有负能量的解的存在性.其次,由于非线性项9在无穷远点是渐近线性或超线性的不满足全局(AR)条件,相应泛函的山路几何结构也不是很明显.通过引入一个检验函数并结合截断函数的技巧,我们可以得到问题满足山路结构,但是用通常的方法得不到(PS)序列的有界性.我们将文献[30]中的方法和Pohozaev等式结合起来得到了系统当q>0比较小时,(PS)序列的有界性,进而得到了系统第二个具有正能量的解的存在性.这部分的主要结果如下.定理2.2.1若f满足条件(f),9满足(g1),(g2)和(g’3),h满足(h1)-(h3).则存在q0>0,使得对任意的q∈[0,q0),系统(2-2-1)至少存在两个正的径向解(u,φ)∈H1(R3)×D1,2(R3).在第二章的第三节中,我们讨论了以下带有位势V的Schrodinger-Poisson系统解的存在性与多解性其中λ≥1是一个参数,f∈C(R3×R,R),位势V满足以下条件(V1)V∈C(R3,R+);(V2)存在b>0,使得0<meas{x∈R3:M3:V(x)<b}<∞,其中meas表示集合在R3中的Lebesgue测度.条件(V1)和(V2)比以下条件更一般(V1’)V∈C(R3,R),存在M>0,使得infR3V≥M;(V’2)对每个b>0,meas{x∈R3:V(x)≤b}<∞.在(Vi)和(V’2)的假设下,由文献[10],空间{u∈H1(R3):fR3Vu22<∞}可以紧嵌入Ls(R3)中,s∈[2,6).在许多文献中,如[16,17,42,57]等,为了得到相应问题的紧性,均假设V满足(V’1)和(V’2).而当V满足条件(V1)和(V2)时,空间E=[u∈H1(R3)fR3Vu2<∞}不能紧嵌入Ls(R3)中,s∈[2,6).为了得到问题的紧性,我们需要在空间Eλ(λ≥1)中考虑,其中并且需要对非线性项f加上适当的条件.这里我们假设非线性项f是次临界的,在零点是超线性的,无穷远点是超-4次的满足以下条件(f1)f∈C(R3×R,R),存在c>0使得其中p∈(2,6)；关于x∈R3一致成立；关于x∈R3一致成立；(f4)对任意的(x,t)∈R3×R,F(x,t)=tf(x,t)-4F(x,t)≥-dot2,其中0≤d0<v2-2,v2表示连续嵌入Eλ→L2(R3)的嵌入系数.在§2.3的引理2.3.4中,我们可以证明嵌入Eλ→Ls(R3),s∈[2,6]是连续的.其中条件(f3),(f4)比文献[16]中的以下全局(AR)条件更一般(f’3)存在μ>4,使得对任意的x∈R3,|t|>1,(f4’)infx∈R3,|t|=1F(x,t)>0.我们将用山路定理讨论系统解的存在性与多解性,主要结果如下.定理2.3.1假设V满足条件(V1),(V2),f满足条件(f1)-(f4).则存在A>1,使得当λ>A时,系统(2-3-1)至少存在一个非平凡解.而且,若f关于t是奇函数,即f满足(f5)f(x,t)=-f(x,t),(x,t)∈R3×R+,则当λ>A时,系统(2-3-1)存在无穷多解{(uk,φk)},且满足在这一节中,我们还讨论了当非线性项f满足比文献[57]中的条件更一般的次线性假设时,无穷多负能量解的存在性.即f满足以下的条件(f6)存在σi∈(1,2)及函数使得(f7)存在x0∈R3,两个序列[εn},{Mn}及常数c,ε,δ>0,使得εn>0,Mn>0以及当Ix-x0|≤δ,|t|=εn时,εn-2F(x,t)≥Mn,当|x-x0|≤δ,|t|≤ε时,t-2F(x,t)≥-c.假设(f6)和(f7)是由文献[66]在讨论四阶椭圆方程无穷多解的存在性时引入的条件.由于Schrodinger-Poisson系统含有非局部项φuu,当f满足较弱的假设(f6)和(f7)时,为了得到问题的紧性,对位势函数V,我们仍假设满足紧性条件(V’1)和(V’2).我们将利用对称山路临界点定理讨论,当f关于t是奇函数时无穷多解的存在性.主要结果如下.定理2.3.2设V满足(V’1)和(V’2),f满足条件(f5)-(f7).则系统(2-3-1)当λ=1时存在无穷多非平凡解{(uk,φk)}.且当k→∞时,uk→0,φk>0,以及在这三章中,我们讨论以下R3上的非齐次Kirchhoff型方程其中a,b>0是常数,p∈(1,5),h∈C1(R3)∩L2(R3)满足以下条件(h1)0≤h(x)=h(|x|)∈L2(R3),|h|2≤mp,其中γs是H1(R3)→Ls(R3),s∈[2,6]的嵌入系数；(h2)(▽h(x),x)∈L2(R3),其中(.,.)表示R3中的内积.受文献[32]讨论非齐次Schrodinger-Poisson系统多个解的方法的启发,在这一章中我们应用变分法讨论以上非齐次Kirchhoff型方程多个径向解的存在性,其中p∈(1,5).在函数h的假设条件(h1)下,通过应用Ekeland变分原理获得问题在零点附近具有负能量的局部极小值的存在性.注意到当p∈(1,3]时,|t|p-1t既不是超4次的也不满足全局(AR)条件.为了得到问题有界的(PS)序列,我们仍然采用文献[30]中的非直接方法.同时,任取ω∈H＼{0},我们作形变wt(·)=tw(t-2·),t>0来构造山路几何结构,其中H是H1(R3)中由所有径向函数构成的子空间.最后,将Pohozaev恒等式与文献[30]中的结论结合起来得到了有界的(PS)序列.这一章的内容已发表,见[69](AbstractandAppliedAnalysis(2013)ArticleID806865).这一章的主要结论如下.定理3.1.1设p∈(1,5),h满足条件(h1),(h2).则问题(3-1-1)至少存在两个非平凡的径向解u0,v0,满足J(u0)<0<J(v0).在第四章中,我们讨论以下具有共振的二阶Sturm-Liouville边值问题其中α,β,γ,δ≥0满足及f∈C1([0,1]×R,R)而且我们还假设α+γ>0或q≠0.当非线性项f在0点和无穷远点共振或跨特征值时,我们讨论以上二阶Sturm-Liouville边值问题多个解尤其多个变号解的存在性.其中,非线性项f满足以下条件(H1)f∈C1([0,1]×R,R),tf(x,t)≥0,(x,t})∈[0,1]×R;(H2)对某个n0≥1,ft’(x,0)=λ2no+1,x∈[0,1].而且存在τ>0,使得对所有的(x,t)∈[0,1]×[-τ,b],f(x,t)t≤λ2n0+1t2;(H3)存在n1≥1,C1>0及a∈(0,1),使得关于x∈[0,1]一致成立,和以及关于一致成立,其中(H4)存在n1≥1,使得关于一致存在,并且λ2n1<α(x)<λ2n1+1,x∈[0,1]；(H5)存在b>0,使得对所有的(x,t)∈[0,1]×[-bc,bc],|f(x,t)|<b,其中c=maxx∈[0,1]e(x),且e是以下边值问题的解其中,非线性项f在零点关于奇特征值共振(H2),在无穷远点共振(H3)或跨偶特征值(H4).非线性项的假设是受到文献[39]的启发.我们通过将Morse理论,拓扑度以及不动点指数理