2019版高中全程练习方略配套资料：集合

第一节集合完全与教材同步，主干知识精心提炼。素质和能力源于基础，基础知识是耕作“半亩方塘”的工具。视角从【考纲点击】中切入，思维从【考点梳理】中拓展，智慧从【即时应用】中升华。科学的训练式梳理峰回路转，别有洞天。去尽情畅游吧，它会带你走进不一样的精彩！三年34考高考指数:★★★★★1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.4.在具体情境中,了解全集与空集的含义.5.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.7.能使用Venn图表达集合的关系及运算.1.集合的运算是高考考查的重点.2.常与函数、方程、不等式交汇，考查学生借助Venn图、数轴等工具解决集合的运算问题的能力，要求学生具备数形结合的思想意识.3.以选择题、填空题的形式考查，属容易题.1.集合的基本概念(1)元素的特性①_______②_______③_______ ①属于记为_____ ②不属于记为_____确定性互异性无序性(2)集合与元素的关系∈(3)常见集合的符号(4)集合的表示方法①_________②_________③_________列举法描述法Venn图法自然数集____N*或N+ZQ正整数集整数集有理数集实数集R____________________N【即时应用】(1)判断下列结论是否正确.(在后面的括号内填√或×)①Z={全体整数}()②R={实数集}={R}()③{(1，2)}={1，2}()④{1，2}={2，1}()(2)若集合A={1，a2}，则实数a不能取的值为_____.【解析】(1)①不正确，正确写法为Z={整数};②不正确，正确写法为R={实数}；而{R}表示以实数集为元素的集合；③不正确，集合{(1，2)}表示元素为点(1，2)的点的集合，而{1，2}则表示元素为数1，2的数的集合，它们是不相等的；④正确，根据集合中元素的无序性可知{1，2}={2，1}.(2)由a2≠1,得a≠±1.答案：(1)①×②×③×④√(2)±12.集合间的基本关系(1)基本关系AB或BA

文字语言符号语言相等子集真子集A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素A中任意一个元素均为B中的元素集合A与集合B中的所有元素相同

关系

表示A=BAB或BA(2)空集规定：空集是__________的子集,是任何___________的真子集，即Ø⊆A，____________.任何集合非空集合ØB(B≠Ø)【即时应用】(1)满足{1，2，3}M{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是______.(2)若A={x|x>2或x<1},B={x|a<x<a+1},若B⊆A，则实数a的取值范围为______.【解析】(1)由已知可得M中一定有1,2,3且含有4,5,6中的一个或两个,则共有6种情况.(2)由题意知a+1≤1或a≥2,即a≤0或a≥2.答案：(1)6(2)a≤0或a≥23.集合的基本运算基本运算并集交集补集符号表示图形表示数学语言表示【即时应用】(1)满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是_______.(2)设集合A={x|x2+x-6>0},B={x|y=},则A∩B=_______.(3)已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x＜-1或x＞4},那么集合A∩(B)等于_______.【解析】(1)由题意知M={2,3}或M={1，2，3},共2个.(2)∵A={x|x<-3或x>2},B={x|x≤3},∴A∩B={x|x<-3或2<x≤3}.(3)∵B={x|-1≤x≤4},∴A∩(B)={x|-1≤x≤3}.答案：(1)2(2){x|x<-3或2<x≤3}(3){x|-1≤x≤3}例题归类全面精准，核心知识深入解读。本栏目科学归纳考向，紧扣高考重点。【方法点睛】推门只见窗前月：突出解题方法、要领、答题技巧的指导与归纳；“经典例题”投石冲破水中天：例题按层级分梯度进行设计，层层推进，流畅自然，配以形异神似的变式题，帮你举一反三、触类旁通。题型与方法贯通，才能高考无忧！集合的基本概念【方法点睛】1.注意集合中元素的互异性对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性.2.常见集合代表元素的意义集合{x|f(x)=0}{x|f(x)>0}{x|y=f(x)}{y|y=f(x)}{(x,y)|y=f(x)}集合的意义方程f(x)=0的解集不等式f(x)>0的解集函数y=f(x)的定义域函数y=f(x)的值域函数y=f(x)图像上的点集【例1】(1)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是()(A)9(B)8(C)7(D)6(2)已知-3∈A={a-2，2a2+5a，12}，则a=______.【解题指南】(1)从P+Q的定义入手，可列表求出a+b的值.(2)-3是A中的元素，说明A中的三个元素有一个等于-3，可分类讨论,最后需要检验.

【规范解答】(1)选B.根据新定义将a+b的值列表如下：由集合中元素的互异性知P+Q中有8个元素，故选B.0251136224766811aa+bb(2)∵-3∈A,∴a-2=-3或2a2+5a=-3，∴a=-1或a=当a=-1时，a-2=2a2+5a=-3,不合题意;当a=时，A={-3，12},符合题意,故a=答案：【互动探究】若本例(2)改为:已知A={a-2,2a2+5a,12},则a的取值范围为_______.【解析】根据集合元素的特性，则需满足以下式子：解得：a≠-4且a≠-1且a≠且a≠14.答案：{a∈R|a≠-4且a≠-1且a≠且a≠14}【反思·感悟】1.求解本例易出现的错误就是求出答案后，不进行检验，忽视了元素的互异性.2.研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件,当集合用描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么.【变式备选】(2012·潍坊模拟)已知集合A={x|x2-2x+a>0}，且1A，则实数a的取值范围是()(A)(-∞,1) (B)(-∞,1］(C)［1,+∞) (D)(0,+∞)【解析】选B.当1∈A时，把1代入x2-2x+a>0成立，即1-2+a>0，∴a>1,∴1A时，a≤1.集合间的基本关系【方法点睛】1.解决集合相等问题的一般思路若两个集合相等,首先分析已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等,有几种情况等,然后列方程组求解,要注意挖掘题目中的隐含条件.2.判断两集合关系的方法判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系.【提醒】题目中若有条件B⊆A，则应分B=Ø和B≠Ø两种情况讨论.

【例2】(1)已知a∈R,b∈R,若{a,1}={a2,a+b,0},则a2013+b2

013=_______.(2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是______.(3)设A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若B⊆A，求实数a组成的集合C.【解题指南】(1)由两集合相等及a≠0知，b=0,从而a2=1.(2)分B=Ø与B≠Ø两种情况讨论.(3)化简集合A，结合方程ax-1=0的解的情况，分B=Ø和B≠Ø两种情况讨论.【规范解答】(1)由题意知，a≠0,∴=0,∴b=0.∴{a,0,1}={a,0,a2},∴a2=1，即a=±1.经验证当a=1时不合题意，当a=-1时，符合题意.∴a=-1,∴a2

013+b2

013=(-1)2013+02

013=-1.答案：-1(2)当B=Ø时,有m+1≥2m-1,得m≤2,当B≠Ø时,有综上:m≤4.答案：m≤4(3)∵A={3,5},B⊆A,∴当B=Ø时，方程ax-1=0无解，则a=0,此时有B⊆A;当B≠Ø时，则a≠0,由ax-1=0，得x=即{}⊆{3,5},∴=3或=5,∴a=或a=∴C={0,}.【互动探究】若本例(3)条件不变.①当集合BA时，试求实数a的值.②当A∩B={3}时，试求实数a组成的集合C.【解析】①若BA，则B=Ø，{3}，{5}∴a=0,②若A∩B={3}，则B={3},∴a=∴C={}.【反思·感悟】1.解答本例(2)，(3)时，易忽视B=Ø这种情况，使解题不完整，造成失分.2.已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系.求解时可合理利用数轴、Venn图帮助分析.3.子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n个元素，则其子集个数为2n,真子集个数为2n-1.【变式备选】1.设集合A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},则满足C⊆(A∩B)的集合C的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)3【解析】选C.∵A∩B={(x,y)|}={(1，2)},∴C=Ø或C={(1,2)},共2个.2.已知集合A={x|0<ax+1≤5}，集合B={x|<x≤2}.(1)若A⊆B，求实数a的取值范围；(2)若B⊆A，求实数a的取值范围;(3)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，说明理由.【解析】A中不等式的解集应分三种情况讨论:①若a=0,则A=R；②若a<0,则A={x|≤x<}；③若a>0,则A={x|<x≤}.(1)当a=0时，若A⊆B，此种情况不存在.当a<0时，若A⊆B,如图，xAB当a>0时，若A⊆B，如图，综上知，当A⊆B时，a<-8或a≥2.xAB(2)当a=0时，显然B⊆A；当a<0时，若B⊆A，如图，xBA当a>0时，若B⊆A，如图，综上知，当B⊆A时，<a≤2.(3)当且仅当A⊆B且B⊆A时，A=B,由(1)(2)知a=2.xBA集合的基本运算【方法点睛】1.集合运算的常用方法一般地，集合元素离散时借助Venn图运算；集合元素连续时借助数轴运算，借助数轴运算时应注意端点值的取舍.2.常用重要结论(1)A∩B=A⇔A⊆B;(2)A∪B=A⇔AB.【提醒】在解决有关A∩B=Ø，A∪B=Ø，A⊆B等集合问题时，一定先考虑Ø是否成立，以防漏解，另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

【例3】(1)(2011·山东高考)设集合M={x|x2+x-6<0},N={x|1≤x≤3},则M∩N=()(A)［1，2)(B)［1，2］(C)(2，3］(D)［2，3］(2)(2011·湖南高考)设全集U=M∪N={1，2，3，4，5}，M∩N={2，4}，则N=()(A){1，2，3}(B){1，3，5}(C){1，4，5}(D){2，3，4}(3)(2011·辽宁高考)已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩M=Ø，则M∪N=()(A)M(B)N(C)I(D)Ø【解题指南】(1)化简集合M，可借助数轴求解.(2)借助于Venn图知N⊆M，从而M∩N=N.(3)借助于Venn图寻找集合M，N的关系.【规范解答】(1)选A.∵M={x|-3<x<2},∴M∩N={x|1≤x<2}.(2)选B.∵U=M∪N,∴N⊆M,∴M∩N=N={2,4},又N∪N=U，∴N={1，3，5}.(3)选A.如图，∵N∩M=Ø,∴N⊆M，∴M∪N=M.【互动探究】本例(2)中增加条件N∩M={3，5}，试求M∩N.【解析】由本例(2)可知N={1，3，5}，同理可求M={1，2，4}，∴M∩N={1}.【反思·感悟】1.求解本例(2)，(3)时，借助于Venn图，可使抽象问题直观化，从而发现集合间的关系.2.求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，并结合Venn图或数轴进行直观表达，达到解题的目的.【变式备选】1.已知集合M={y|y=x2-1,x∈R},N={x|y=},则M∩N=()(A)［-1,+∞) (B)［-1,］(C)［+∞) (D)［1,2］【解析】选B.∵M={y|y≥-1},N={x|-≤x≤},∴M∩N=［-1,］.2.已知A，B均为集合U={1，3，5，7，9}的子集，且A∩B={3}，(B)∩A={9}，则A=()(A){1，3} (B){3，7，9}(C){3，5，9} (D){3，9}【解析】选D.画出Venn图如图所示，则A={3，9}.把握高考命题动向，体现区域化考试特点。本栏目以最新的高考试题为研究素材，解析经典考题，洞悉命题趋势，展示现场评卷规则。对例题不仅仅是详解评析，更是从命题层面评价考题，从备考角度提示规律方法，拓展思维，警示误区。【考题体验】让你零距离体验高考，亲历高考氛围，提升应战能力。为你顺利穿越数学高考时空增添活力，运筹帷幄、决胜千里。【创新探究】以集合为背景的新定义题【典例】(2011·广东高考)设S是整数集Z的非空子集，如果

a,b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的.若T,V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z且a,b,c∈T有abc∈T;

x,y,z∈V,有xyz∈V，则下列结论恒成立的是()(A)T,V中至少有一个关于乘法是封闭的(B)T,V中至多有一个关于乘法是封闭的(C)T,V中有且只有一个关于乘法是封闭的(D)T,V中每一个关于乘法都是封闭的【解题指南】通过符合题目条件的特例对各选项进行分析.【规范解答】选A.若T={偶数}，V={奇数}则T、V中每一个关于乘法都是封闭的，故B、C不正确；若T={非负整数}，V={负整数}，则T关于乘法是封闭的，V关于乘法不封闭，故D不正确；事实上，T、V必有一个含有1，由题目条件知含有1的这个集合一定关于乘法封闭.综合以上分析只有A正确，故选A.【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，可以得到以下的创新点拨和备考建议:创新点拨本题有以下创新点：(1)本题为新定义问题，命题背景新颖.(2)考查内容创新：以元素与集合的关系、集合的运算为载体，通过对新定义的理解与应用来考查学生的阅读理解能力与知识迁移能力.(3)