高三人教A版数学一轮复习练习第七章立体几何与空间向量第4节

第七章第4节[基础训练组]1．(导学号14577656)平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析：D[若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.]2．(导学号14577657)已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.可以推出α∥β的是()A．①③ B．②④C．①④ D．②③解析：C[对于②，平面α与β还可以相交；对于③，当a∥b时，不一定能推出α∥β，所以②③是错误的，易知①④正确，故选C.]3．(导学号14577658)(2018·合肥市二模)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有()A．0条 B．1条C．2条 D．1条或2条解析：C[如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD，∴CD∥平面EFGH.同理AB∥平面EFGH.故选C.]4．(导学号14577659)下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是()A．①② B．①④C．②③ D．③④解析：A[由线面平行的判定定理知图①②可得出AB∥平面MNP.]5．(导学号14577660)如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则()A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形解析：B[由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF∥BD，且EF＝eq\f(1,5)BD，∴EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，∴HG∥BD，且HG＝eq\f(1,2)BD，∴EF∥HG且EF≠HG.∴四边形EFGH是梯形．]6．(导学号14577661)如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1解析：由题意，得HN∥平面B1BDD1，FH∥平面B1BDD1.∵HN∩FH＝H，∴平面NHF∥平面B1BDD1.∴当M在线段HF上运动时，有MN∥平面B1BDD1.答案：M∈线段HF7．(导学号14577662)空间四面体A－BCD的两条对棱AC，BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是________.解析：设eq\f(DH,DA)＝eq\f(GH,AC)＝k(0＜k＜1)，所以eq\f(AH,DA)＝eq\f(EH,BD)＝1－k，所以GH＝5k，EH＝4(1－k)，所以周长＝8＋2k.又因为0＜k＜1，所以周长的范围为(8,10)．答案：(8,10)8．(导学号14577663)已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________.解析：如图1，∵AC∩BD＝P，∴经过直线AC与BD可确定平面PCD.∵α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，∴AB∥CD.∴eq\f(PA,AC)＝eq\f(PB,BD)，即eq\f(6,9)＝eq\f(8－BD,BD)，∴BD＝eq\f(24,5).如图2，同理可证AB∥CD.∴eq\f(PA,PC)＝eq\f(PB,PD)，即eq\f(6,3)＝eq\f(BD－8,8)，∴BD＝24.综上所述，BD＝eq\f(24,5)或24.答案：eq\f(24,5)或249．(导学号14577664)如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．(1)求证：BE∥平面DMF；(2)求证：平面BDE∥平面MNG.证明：(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.10．(导学号14577665)(理科)(2018·桂林市、北海市、崇左市调研)在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB＝CD＝1，AC＝eq\r(3)，AD＝DE＝2.(1)在线段CE上取一点F，作BF∥平面ACD(只需指出F的位置，不需证明)；(2)对(1)中的点F，求三棱锥B－FCD的体积．解：(1)取CE的中点F，连接BF，BF∥平面ACD(如图)．(2)因为AD2＝AC2＋CD2，所以∠ACD＝90°.所以AC⊥CD.因为DE⊥平面ACD，所以AC⊥DE.因为DE∩CD＝D，所以AC⊥平面CDE.因为DE⊥平面ACD，AB⊥平面ACD，所以AB∥DE.因为AB⊄平面CED，DE⊂平面CED，所以AB∥平面CED.所以B到平面FCD的距离为AC.又S△FCD＝eq\f(1,2)S△ECD＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×1×2＝eq\f(1,2)，所以VB－FCD＝eq\f(1,3)AC·S△FCD＝eq\f(\r(3),6).10．(导学号14577666)(文科)如图，多面体ABCDEF中，平面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，DF＝2BE＝2a，DF∥BE，DF⊥平面ABCD(1)在AF上是否存在点G，使得EG∥平面ABCD，请证明你的结论；(2)求该多面体的体积．解：(1)当点G位于AF中点时，有EG∥平面ABCD.证明如下：取AD的中点H，连接GH，GE，BH.∵GH∥DF且GH＝eq\f(1,2)DF，∴GH∥BE且GH＝BE.∴四边形BEGH为平行四边形，∴EG∥BH.又BH⊂平面ABCD，EG⊄平面ABCD，∴EG∥平面ABCD.(2)连接BD，BD＝a，AC＝eq\r(3)a，SBDFE＝eq\f(a＋2a,2)·a＝eq\f(3,2)a2，由V＝VA－BDFE＋VC－BDFE＝2VA－BDFE＝2×eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),2)a·eq\f(3,2)a2＝eq\f(\r(3),2)a3.[能力提升组]11．(导学号14577667)在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H，点D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为()A.eq\f(45,2) B.eq\f(45\r(3),2)C．45 D．45eq\r(3)解析：A[取AC的中点G，连接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，则SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，从而得HF∥DE，HF＝DE，所以四边形DEFH为平行四边形．又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四边形DEFH为矩形，其面积S＝HF·HD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AC))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)SB))＝eq\f(45,2).]12．(导学号14577668)(理科)如图，在四面体A－BCD中，截面PQMN是正方形，且PQ∥AC，则下列命题中，错误的是()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°解析：C[由题意可知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，所以AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；由PN∥BD可知，异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，又四边形PQMN为正方形，所以∠MPN＝45°，故D正确；而AC＝BD没有论证来源．]12．(导学号14577669)(文科)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，G为MC的中点．则下列结论中不正确的是()A．MC⊥ANB．GB∥平面AMNC．平面CMN⊥平面AMND．平面DCM∥平面ABN解析：D[显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中(如图)，作AN的中点H，连接HB，MH，GB，则MC∥HB，又HB⊥AN，所以MC⊥AN，所以A正确；由题意易得GB∥MH，又GB⊄平面AMN，MH⊂平面AMN，所以GB∥平面AMN，所以B正确；因为AB∥CD，DM∥BN，且AB∩BN＝B，CD∩DM＝D，所以平面DCM∥平面ABN，所以D正确．]13．(导学号14577670)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝eq\f(a,3)，过B1，D1，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________.解析：∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥又∵B1D1∥BD，∴BD∥PQ，设PQ∩AB＝M，∵AB∥CD，∴△APM∽△DPQ.∴eq\f(PQ,PM)＝eq\f(PD,AP)＝2，即PQ＝2PM.又知△APM∽△ADB，∴eq\f(PM,BD)＝eq\f(AP,AD)＝eq\f(1,3)，∴PM＝eq\f(1,3)BD，又BD＝eq\r(2)a，∴PQ＝eq\f(2\r(2),3)a.答案：eq\f(2\r(2),3)a14．(导学号14577671)(理科)如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，AE＝AF＝4，现将△AEF沿线段EF折起到△A′EF位置，使得A′C＝2eq\r(6).(1)求五棱锥A′－BCDFE的体积；(2)在线段A′C上是否存在一点M，使得BM∥平面A′EF？若存在，求出A′M的长；若不存在，请说明理由．解：(1)连接AC，设AC∩EF＝H，连接A′H.因为四边形ABCD是正方形，AE＝AF＝4，所以H是EF的中点，且EF⊥AH，EF⊥CH，从而有A′H⊥EF，CH⊥EF，又A′H∩CH＝H，所以EF⊥平面A′HC，且EF⊂平面ABCD.从而平面A′HC⊥平面ABCD.过点A′作A′O垂直HC且与HC相交于点O，则A′O⊥平面ABCD.因为正方形ABCD的边长为6，AE＝AF＝4，故A′H＝2eq\r(2)，CH＝4eq\r(2)，所以cos∠A′HC＝eq\f(A′H2＋CH2－A′C2,2A′H·CH)＝eq\f(8＋32－24,2×2\r(2)×4\r(2))＝eq\f(1,2)，所以HO＝A′H·cos∠A′HC＝eq\r(2)，则A′O＝eq\r(6)，所以五棱锥A′－BCDFE的体积V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(62－\f(1,2)×4×4))×eq\r(6)＝eq\f(28\r(6),3).(2)线段A′C上存在点M，使得BM∥平面A′EF，此时A′M＝eq\f(\r(6),2).证明如下：连接OM，BD，BM，DM，且易知BD过点O.A′M＝eq\f(\r(6),2)＝eq\f(1,4)A′C，HO＝eq\f(1,4)HC，所以OM∥A′H.又OM⊄平面A′EF，A′H⊂平面A′EF，所以OM∥平面A′EF.又BD∥EF，BD⊄平面A′EF，EF⊂平面A′EF，所以BD∥平面A′EF.又BD∩OM＝O，所以平面MBD∥平面A′EF，因为BM⊂平面MBD，所以BM∥平面A′EF.14．(导学号14577672)(文科)如图，空间几何体ADE－BCF中，四边形ABC