云南省保山市2019-2020学年高一教学质量监测考试数学试题

2020年保山市中小学教育教学质量监测高一年级数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用交集运算的定义直接求解即可【详解】解：因为，，所以，故选：B【点睛】此题考查集合的交集运算，属于基础题2.已知直线：和直线：平行，则实数的值为（）A.2 B.1C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】由平行得即可求解.【详解】由两直线平行可得，解得.故选：D.【点睛】本题考查两直线平行求参数，属于基础题.3.已知幂函数的图象过点，则幂函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】设幂函数，代入点即可求解.【详解】设幂函数，代入点，则，解得，.故选：C.【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，属于基础题.4.在正方体中，异面直线与所成的角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】连接，则得∥，从而得为异面直线与所成角，然后在三角形中可得答案【详解】解：连接，因为,∥，所以四边形为平行四边形，所以∥，所以为异面直线与所成的角，在正方体中，，所以三角形为等边三角形，所以，所以异面直线与所成的角的大小为，故选：C【点睛】此题考查异面直线所成的角，属于基础题5.函数的零点所在的区间为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先判断函数的单调性，然后利用零点存在性定理求解即可【详解】解：因为函数在上均为减函数，所以函数在上为减函数，因为，所以函数的零点所在的区间为，故选：B【点睛】此题考查零点存在性定理的应用，属于基础题6.一个棱长为的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分的几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三视图还原为原图，结合锥体体积公式，计算出截去部分的几何体的体积.【详解】由三视图可知，剩余部分为，截去部分的几何体为，故截去部分的几何体体积为.故选：A【点睛】本小题主要考查根据三视图求几何体的体积，属于基础题.7.定义运算，则函数的大致图象为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据新定义运算将表示为分段函数的形式，由此判断出的图象.【详解】依题意，定义运算，而，所以，当时，递减，且函数值不小于.当时递增，且函数值大于.结合指数函数的图象的特点可知的图象为B选项对应的图象，D选项对应的图象不符合.故选：B【点睛】本小题主要考查新定义运算，考查函数图象的识别，属于基础题.8.函数的单调递减区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得函数的定义域，结合二次函数的性质以及复合函数单调性，求得的单调减区间.【详解】由，解得，所以的定义域为.二次函数的开口向下，对称轴为.所以在区间上递增，在区间上递减.在区间上递增.根据复合函数单调性同增异减可知，函数的单调递减区间为.故选：C【点睛】本小题主要考查对数型复合函数单调区间的求法，属于基础题.9.已知圆：和圆：，则圆与圆的位置关系为（）A.外切 B.内切 C.相交 D.相离【答案】A【解析】【分析】求出两圆的圆心距，与半径之和、半径之差比较，即可判断.【详解】圆：转化为标准方程为，圆的圆心为，半径为5；圆的圆心为，半径为5，则两圆的圆心距为，所以两圆外切.故选：A.【点睛】本题考查圆与圆位置关系的判断，属于基础题.10.下列函数中，值域为的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分别求得四个选项中对应函数的值域，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，函数的定义域为，值域为，不符合.对于B选项，函数的定义域为，值域为，不符合.对于C选项，，不符合.对于D选项，函数的定义域为，，所以的值域为，符合题意.故选：D【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，属于基础题.11.已知直三棱柱的六个顶点都在球的球面上，，，，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合正弦定理、余弦定理求得三角形的外接圆半径，由此计算出球的半径，进而求得球的表面积.【详解】设三角形的外心为，半径为.设球的半径为.在三角形中，由余弦定理得，由于，所以，由正弦定理得，所以，所以球的表面积为.故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球的有关计算，属于基础题.12.下列四个结论中，正确结论的个数为（）个．（1）函数与函数相等；（2）若函数（且）的图象没有经过第二象限，则；（3）当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为；（4）若函数的最大值为，最小值为，则．（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】（1）由函数相等概念即可判断；（2）根据指数函数的图像即可判断；（3）根据二次函数图像与性质即可判断；（4）根据函数奇偶性即可判断【详解】解：对于（1）两个函数的定义域相同，但，则两函数的对应关系不相同，所以这两个函数不是同一个函数，所以（1）错误；对于（2）由指数函数的图像可知，当时，函数（且）的图像必不经过第二象限，所以（2）正确；对于（3），令，由于当时，关于的不等式恒成立，则，解得，所以（3）错误；对于（4），，令，因为，所以为奇函数，所以，所以，所以（4）正确故选：B【点睛】此题考查函数相等的判断，指数函数的图像，二次函数的图像和性质、函数的奇偶性及其应用，属于基础题第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数，则______．【答案】【解析】【分析】先求出，然后再求的值【详解】解：由题意可得，所以，故答案为：【点睛】此题考查分段函数求值问题，解题时要注意自变量的取值范围，属于基础题14.直线：被圆：截得的弦的长为______．【答案】2【解析】【分析】先求出圆心和半径，再求圆心到直线的距离，然后利用勾股定理可求得答案【详解】解：由，得，则圆心，半径为，圆心到直线的距离为，所以弦的长为故答案为：2【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题15.在空间中，，，是三条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论中错误的是______．（填错误结论的序号）（1）若，，，，则；（2）若，，，，则；（3）若，，，，，则；（4）若，，则．【答案】（2）（4）【解析】【分析】根据线线、线面、面面平行有关知识对（1）（2）的正确性进行判断.根据线线、线面、面面垂直有关知识对（3）（4）的正确性进行判断.【详解】对于（1），由于，所以存在.而，所以，结合可知，所以（1）正确.对于（2），如果，则可能相交，所以（2）错误.对于（3），根据线面垂直的判定定理可知（3）正确.对于（4），，则内的直线不一定与垂直，所以（4）错误.故答案为：（2）（4）【点睛】本小题主要考查线线、线面和面面位置关系命题真假性的判断，属于基础题.16.已知函数是定义域为的偶函数，，且函数在区间上是减函数，则不等式的解集为______．【答案】或【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性的性质分别进行求解即可．【详解】解：因为函数是定义域为的偶函数，，且函数在区间上是减函数，所以在上单调递增且，由不等式可得或，解可得，或．故答案为：或【点睛】本题考查函数的奇偶性及单调性求解不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.如图，在四面体中，，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求二面角的大小．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）设是中点，通过等腰三角形的性质证得，由此证得平面，从而证得.（Ⅱ）判断出是二面角的平面角，判断出三角形的形状，由此求得二面角的大小.【详解】（Ⅰ）设是中点，连接，由于，所以，由于，所以平面，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以是二面角的平面角.依题意，，，，，，所以三角形是等边三角形，所以，也即二面角大小为【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，属于基础题.18.已知圆经过，，三点．（1）求圆的标准方程；（2）求经过点且和圆相切的直线的方程．【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）根据题意，设所求圆的一般方程为，将三点坐标代入计算可得的值，即可得圆的一般方程，变形可得答案；（2）根据题意，分析圆的圆心与半径，进而分别讨论直线的斜率存在与不存在时直线的方程，综合即可得答案【详解】解：（1）设所求圆的一般方程为，则，解得，所以所求圆的一般方程为，即，所以圆的标准方程为，（2）由（1）可知圆：的圆心，半径为5，若直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，与圆相切，符合题意，若直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，则有，解得，所以直线的方程为，综上，直线的方程为或【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，考查直线方程的求法，属于基础题19.已知函数奇函数．（Ⅰ）求的值，并用函数单调性的定义证明函数在上是增函数；（Ⅱ）求不等式的解集．【答案】（Ⅰ），证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根据为奇函数求得的值.利用函数单调性的定义证得在上是增函数.（Ⅱ）利用的奇偶性和单调性化简不等式，结合一元二次不等式的解法，求得所求不等式的解集.【详解】（Ⅰ）由于是定义在上的奇函数，所以，解得.所以.任取，，其中，，所以，即，，所以函数在上是增函数.（Ⅱ）由（Ⅰ）知是在上递增的奇函数，所以，解得或.所以不等式的解集为.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.选考模块：请考生从给出的必修3模块、必修4模块中任选一模块作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选模块涂黑．注意所做题目必须与所选模块一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一模块计分．【必修3模块】20.某学校随机调查了1000名高一学生周末的学习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中学习时间的范围是，样本数据分组为，，，，，，完成下列问题．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求1000名高一学生周末的学习时间不少于20小时的人数．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用频率之和为列方程，解方程求得的值.（Ⅱ）根据频率分布直方图求得高一学生周末的学习时间不少于20小时的频率，由此求得对应的人数.【详解】（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，解得.（Ⅱ）学生周末的学习时间不少于20小时的频率为，所以1000名高一学生周末的学习时间不少于20小时的人数为.【点睛】本小题主要考查补全频率分布直方图，考查利用频率分布直方图求频率，属于基础题.21.研究表明：商店冰淇淋的销售数量（个）和气温成正相关，下表是某商店冰淇淋的销售数量（个）和气温的对照表：气温1015202530水淇淋的销售数量（个）2035405565（Ⅰ）求关于的回归直线方程；（Ⅱ）预测当气温为时，商店冰淇淋店的销售数量约为多少个．参考公式：，，回归直线方程为．参考数据：，．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（Ⅱ）将代入回归直线方程，由此求得预测值.【详解】（Ⅰ），，所以，，所以回归直线方程为.（Ⅱ）代入回归直线方程，计算得（个），即预测值为个.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，属于基础题.22.一个盒子中装有形状、大小完全相同的6个小球，其中4个白球，2个黑球．（Ⅰ）如果每次从盒子中取出1个小球，记录小球颜色后放回盒子中，再取1个小球，求连续两次取出的小球都是白球的概率；（Ⅱ）如果—次从盒子中取出2个小球，求2个小球颜色不相同的概率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）按照相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.（Ⅱ）利用古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】（Ⅰ）从盒子中取出1个小球是白球的概率为，由于抽取的方式是有放回的抽取，所以连续两次取出的小球都是白球的概率为.（Ⅱ）2个小球颜色不相同即个白球个黑球，所以—次从盒子中取出2个小球，2个小球颜色不相同的概率为【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查古典概型概率计算，属于基础题.【必修4模块】23.已知平面向量，，．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由可得，即可求解.（Ⅱ）由可得【详解】（Ⅰ），，即，；（Ⅱ），，则，，.【点睛】本题考查向量平行和垂直的坐标表示，考查二倍角公式，属于基础题.24.已知，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用诱导公式和二倍角公式求得的值.（Ⅱ）结合两角和的余弦公式，由，计算出的值.【详解】（Ⅰ）.（Ⅱ）由于，，所以，所以，，所以【点睛】本小题主要考查诱导公式、二倍角公式、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系式，属于中档题.25.已知平面向量，，，函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离是．（Ⅰ）求