新版高中数学人教A版必修4习题第二章平面向量2.5.1

2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法课时过关·能力提升基础巩固1在平行四边形ABCD中,AB=a,AD=b,且(a+b)2=(ab)2,则平行四边形ABCD是A.菱形 B.矩形C.正方形 D.以上都不对解析:∵(a+b)2=(ab)2,∴(a+b)2(ab)2=0,∴[(a+b)+(ab)]·[(a+b)(ab)]=0,∴4a·b=0,∴a⊥b,∴AB⊥AD,∴平行四边形ABCD是矩形.答案:B2在△ABC中,∠C=90°,ABA.5 B.5 C.解析:由题意,得∵∠C=90°,∴∴2(2k)+3×2=0.∴k=5.答案:A3在△ABC中,若(CA+CB)·(CAA.正三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.形状无法确定解析:∵(∴∴CA=CB,△ABC为等腰三角形.答案:C4在四边形ABCD中,若AB+CDA.平行四边形 B.矩形C.等腰梯形 D.菱形解析:∵AB+CD∴四边形ABCD是平行四边形.又∴该平行四边形是菱形.答案:D5点O是△ABC所在平面内的一点,满足OA·OB=OB·OCA.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高线的交点解析:由∴∴∴OB⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB,即点O是△ABC的三条高线的交点.答案:D6在四边形ABCD中,若ABA.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形解析:∵AB=DC,∴AB∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB·AD∴四边形ABCD是矩形.答案:C7过点A(1,2),且平行于向量n=(2,1)的直线方程为()A.x2y3=0 B.x2y+3=0C.2xy+3=0 D.以上都不正确解析:设直线上一点P(x,y),则∵AP∥n,∴2(y2)(x1)=0即x2y+3=0.答案:B8在△ABC中,已知|AB答案:等边三角形9△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,AO解设BC的中点是D,如图,则则所以O和D重合,所以BC是圆O的直径,所以∠BAC=90°.又所以∠ABC=60°,所以BA·=1×2×10在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上,取点F,E,使BE=DF(如图).用向量法证明四边形AECF也是平行四边形.分析转化为证明AE∥FC,且AE=FC,即只需证明AE证明又AB=DC,BE∴四边形AECF是平行四边形.能力提升1如图,在矩形ABCD中,AB=A.2 B.C.2 D.-解析:由即又故答案:B2已知直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相交于A,B两点,且|AB|=3A.解析:如图,∵AB=3,取D为AB的中点,又∴∠AOD=π3.∴答案:D3在Rt△ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则|A.2 B.4 C.5 D.10解析:将△ABC各边及PA,PB,PC均用向量表示,则==答案:D4已知在△ABC中,A(2,1),B(3,2),C(3,1),AD为BC边上的高,则点D的坐标为.

解析:设点D的坐标为(x,y),则由得整理得∴点D的坐标为(1,1).答案:(1,1)★5已知正方形ABCD的边长为2,点P为对角线AC上一点,则(AP解析:如图,设AP=xAC则a·b=0,BD=bAP=xAC=x(a+b),其中x所以PB=AB-AP=ax(a+b)=(1PD=AD-AP=bx(a+b)=xa+(所以(AP+BD)·(PB+PD)=[x(a+b)+ba]·[(1x)axbxa+(1x)b]=[(x1)a+(x+1)b]·[(12x)a+(由于x∈[0,1],则16x-答案:16在△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,用向量法证明CD=1分析找一组基底,分别表示证明如图,设CA=a,CB=b,则a与b的夹角为90°,∴a·又AB=ba,CD=∴|CD|=12|=|AB|=|ba=∴|7在▱ABCD中,AC=BD,求证:四边形ABCD是矩形.分析以AB和AD证明设AB=a,由于四边形ABCD是平行四边形,∴AC=AB+AD=a∵AC=BD,∴|a+b|=|ba|.∴|a+b|2=|ba|2.∴|a|2+2a·b+|b|2=|b|22a·b+|a|2,∴a·b=0.∴a⊥b,即AB⊥AD故四边形ABCD是矩形.★8用向量的方法证明:菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.证明如图,作向量AB,AD,AC,DB,选AB=于是,由平行四边形法则得AC=a+b,DB则AC·DB=(a+b)·(ab)=|a|2|b∴即AC⊥DB,得菱形两条对角线互相垂直.设∠DAC=θ1,∠BAC=θ2,由向量数量积的定义得cosθ1=cosθ2=∵|a|=|b|,a·