2023年中考数学二轮训练-几何探究压轴题(含答案)

2023年中考数学二轮专题训练:几何探究压轴题

1.已知//）是V48C的中线，点芥是线段”）上一点,过点“作/C的平行线，过点力

作/。的平行线，两平行线交于点”，连结〃二

【方法感知】如图①，当点〃与点。重合时，易证：（不需证明）

【探究应用】如图②，当点〃与点。不重合时，求证：四边形/c/i.是平行四边形.

【拓展延伸】如图③，记/8与/：7,,的交点为G,C〃的延长线与的交点为N,且N

为4/的中点.

NG

(1)~GA

（2）若C41/8,8（'=5时，则对•的长为

2.己知：如图，正方形/次：/）与正方形/"•（；.

（2）如图②，求匕的值；

RG

（3）如图③，分别取（万、8*的中点M、N,试探究：MN与BE的关系,并说明理由.

3.在V48c中，AB/C，点/）是射线C为上的一动点（不与点〃、C重合），以//）

为一边在//）的右侧作V//）K，使ZJiAE-ZBAC,连接C£.

（1）如图1,当点/）在线段C8上，且WC=90。时，那么N/XZ,-度；

（2）设WC=a,NAME=".

①如图2,当点。在线段C7T上，/84％90。时，请你探究。与夕之间的数量关系，

并证明你的结论；

②如图3,当点。在线段C8的延长线上，WC/90。时，请将图3补充完整写出此

时a与夕之间的数量关系，并说明理由.

4.已知，W8C为等边三角形，点。在边8c上.

图1图2图3

【基本图形】如图1,以"）为一边作等边三角形v//用，连结c0.可得Q；+a）=/c

（不需证明）.

【迁移运用】如图2,点〃是4C边上一点，以。〃为一边作等边三角W比方.求证：

CE+（：1）=（：!'.

【类比探究】如图3,点〃是/C边的延长线上一点，以/）/，.为一边作等边三角

M）EF.试探究线段CK，C1）,。,•三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结

论并说明理由.

5.综合与实践

二轮复习中，刘老师以“最值问题”为专题引导同学们进行复习探究.

问题模型：等腰三角形/8C,ZBAC=\2QP,AB=AC=2,

⑴探究1：如图1，点/）为等腰三角形/8C底边8c上一个动点，连接//）,则//）的最

小值为，判断依据为：

⑵探究2：在探究I的结论下，继续探究，作的平分线交8c'于点£,点”,

G分别为//3//）上一个动点，求的最小值；

（3）探究3：在探究1的结论下，继续探究，点、M为线段C/）上一个动点，连接力股，将/AY

顺时针旋转60°，得到线段/N,连接M）,求线段/川的最小值.

6.问题提出

图1

（1）如图1,在RtZVf*'中，4c8=90。，4=50°,将其折叠，使点8落在/。边

上的犷处，折痕经过点C,交根于点、D,则的度数为；

问题探究

（2）如图2,正方形/次刀的一条对称轴/交（力于点H,点£在/上，连接

AE.BE、CE.DE.若正方形的边长为2,BE-BC,求线段”，的长.

问题解决

⑶如图3,有一块三角形空地加《7经测量，/C=8C=45米，ZJC8=90°.现要过

点C边修建一条小路PC,满足45°<ZACP<90°,点4关于PC的对称点为D,连接

D4,DBJ）B交PC于前E.若8A=35米，请利用所学知识，求/龙的长.

7.已知△水为是等腰直角三角形，CACB,

⑴如图1,V(7)点是等腰直角三角形，点。在的延长线上，CD^CE,连接肘)，

求证：HE1AH；

(2)如图2,点尸是斜边加/上动点，点G是///延长线上动点，总有N/，'C8=NCG”,

探究GF,8G的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,点”是一点，连接尸"，若匚45。，Al--m,BF-n,直接写出

VCW”的面积为(用机，〃表示).

8.课本再现

如图1,在等边38c中，“为边/C上一点，/)为8c上一点，且44=。)，连接//)

与8〃相交于点/1.

(1)//)与HE的数量关系是,//)与BE构成的锐角夹角NBFD的度数是

深入探究

(2)将图1中的//)延长至点G,使〃G-4」，连接8G,CG,如图2所示.求证GA

平分/8GC.(第一问的结论，本问可直接使用)

迁移应用

(3)如图3,在等腰Y48C'中，AB^AC,I),“分别是边8C,/C上的点，//)与打;

相交于点”.若N8"=N8/，7),且B/；=34",求处的值.

CD

9.四边形/8C/)中，Al)//BC,M为48上一点,连/)M、HD.

WDM平分/ADB，ZBDC=/BCD,

①如图1,求证：W1DC；

②如图2,若CN平分/小力，交朋)于F,交4B于N,AC1BI),

ZA1X)+ZBCO=_；

⑵在(1)的条件下求N/)£O+NC"O的值；

(3)如图3,当NODE=2ZAD£,N()€l；=2ZJta；时,试探究ZAMD+NBNC与ZDOC

的数量关系，证明你的结论.

10.综合与实践

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在Y48C/)中，BELAD，

垂足为E,尸为⑵的中点，连接//，8”,试猜想〃7,・与8/」的数量关系，并加以证

明.

图①图②

图③

(1)独立思考：请解答老师提出的问题；

(2)实践探先希望小组受此问题的启发，将Y/8C/)沿着8"(尸为Q)的中点)所在直

线折叠，如图②，点C的对应点为右，连接/X”并延长交48于点G,请判断4G与8G

的数量关系，并加以证明.

(3)问题解决：智慧小组突发奇想，将Y48C/)沿过点8的直线折叠，如图③，点”的

对应点为/,使4'8_LC。于点H,折痕交彳。于点M,连接/'M，交Q)于点N.该小

组提出一个问题：若此Y48C/)的面积为20,边长48=5,BC=26求图中阴影部

分(四边形BHNM)的面积.请你思考此问题，直接写出结果.

11.问题提出：已知矩形48Q),点“为居上的一点，El-LAB，交W)于点将

△AW绕点B顺时针旋转a(0°<a<90°)得至ijVO/--,则Ab：'与/)/,"有怎样的数量关

系.

【问题探究】

探究一：如图，已知正方形4/0),点片为/力上的一点，I：!'LAB,交于点

(1)如图1,直接写出空的值」

Ah

(2)将△/切/•‘绕点8顺时针旋转到如图2所示的位置，连接44、/)“，猜想/)/，.与

的数量关系，并证明你的结论；

探究二：如图，已知矩形AHC1),点片为48上的一点，EblAH,交W)于点

如图3,若四边形ABCD为矩形，空史,将△以沙绕点"顺时针旋转

BC2

HO。<a<90°)得到Vy呼'(〃、/<的对应点分别为£、点)，连接AE'、DF'，则

织的值是否随着a的变化而变化.若变化，请说明变化情况；若不变，请求出色

DEDF

的值.

【一般规律】

如图3,若四边形4伙刀为矩形，BC：mAH,其它条件都不变，将△/捌••绕点"顺时

针旋转a(0°<a<90°)得到VE'nr,连接AE'，DE'，请直接写出/与DF’的数量

关系.

12.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

(1)根据定义判矩形

已知：如图1,在平行四边形彳比刀中，/仁班)是它的两条对角线，AC=BD.求证:

平行四边形/双力是矩形.

(2)动手操作有发现

如图2,在矩形/8C/)中，芥是8C的中点，将V//加沿,折叠后得到△〃我，点〃在

矩形4软刀内部，延长"交CD于点G.猜想线段G/J与GC有何数量关系？并证明你

的结论.

⑶类比探究到一般

如图3,将⑵中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，⑵中的结论是否仍然成

立，请说明理由.

(4)解决问题巧应用

如图4,保持⑵中的条件不变，若G点是C/)的中点，且/8=2,请直接写出矩形ABCD

的面积.

13.在中，CA=CB,ZACH=a，点P是平面内不与点4C重合的任意一点,

连接4。将线段4,绕点尸逆时针旋转，，得到线段/)/,,连接//),HI)，CP.

上C七

DAB

图①图②

(1)观察猜想

如图①，当a=60°时，条的值是，直线8/)与直线C/,相交所成的较小角的度

数是.

⑵类比探究

如图②，当a-900时，请写出有的值及直线与直线(7相交所成的较小角的度数,

并就图②的情形说明理由.

14.(1)(问题背景)如图1,在等边38(‘中，点"是8c边上一点，连接力”，以力”

为边作等边V/MN(Z,M,N按逆时针方向排列)，连接CN,求证：AC-CM+CN

(2)(变式探究)如图2,已知△/8CS2V(/)K,指出图中的另外一对相似三角形并进

行证明;

(3)(拓展应用)如图3,在W8C和V//)“中，ZBAC=ZJ)AE-90°,

48。=匕4/%=30。，点。在8(：边上，求的值.

15.(1)【操作发现】如图1,四边形/8C7)、CKG/J都是矩形，—

AG2

AB9,4)12,小明将矩形"(/绕点C顺时针转a°(04a4360),如图2所示.

①若至的值不变，请求出黑的值，若变化，请说明理由.

BEBE

②在旋转过程中，当点&E、尸在同一条直线上时，画出图形并求出4G的长度.

（2）【类比探究】如图3,W8C中，AB=AC=2yf5,皿（：=a。,tan48（：=g,G

为8C中点，。为平面内一个动点，且=道，将线段B/）绕点。逆时针旋转a0得到

5

DIT,则四边形"C8’面积的最大值为一.（直接写出结果）

16.如图1,在矩形48（.7）中，BC=3,动点P从8出发，以每秒1个单位的速度，沿

射线8c方向移动，作V//8关于直线/X的对称△4*，设点尸的运动时间为«S）.

⑴若/8=2行.

①如图2,当点/T落在〃：上时，求证：VN4sVACB,

②是否存在异于图2的时刻，使得△PC/T是直角三角形？若存在，请直接写出所有符

合题意的,的值？若不存在，请说明理由.

（2）当P点不与C点重合时，若直线与直线C/）相交于点M，且当，<3时存在某一时

刻有结论〃%W=45。成立，试探究：对于1>3的任意时刻，结论“//〃”一45。”是否

总是成立？请说明理由.

17.在正方形中，“是边C/）上一点（点K不与点C、。重合），连结8/：

D

AGDD

感知：如图①，过点A作//「IWi,交8C于点求证V/8/，'三V8CK.

探究：如图②，取励:的中点M,过点M作卜G1交BC于点",交//)于点G.

(1)求证：BE=IG.

(2)连结CM,若CM一1,求"G的长.

应用如图③，取8/,二的中点连结CM.过点C作CG_L8芯交力。于点G,连结

4G、MG.若CM=3,求四边形GMC%'的面积.

18.点/，在四边形/8C/)的对角线4c上，直角三角板尸以：绕直角顶点，旋转，其边

PE、/少分别交8C、CD边于点“、N.

操作发现：如图①，若四边形Z8Q)是正方形，当〃8('时，可知四边形FMCN是

正方形，显然PM二PN.当尸M与8C不垂直时，判断确定/，例、/W之间的数量关系;

.(直接写出结论即可)

类比探究：如图②，若四边形/8C7)是矩形，试说明”:她■.

PNA1)

拓展应用：如图③，改变四边形/水力、V48C的形状，其他条件不变，且满足

图①图②图③

参考答案:

1.【拓展