考点巩固卷13 复数（九大考点）（解析版）

考点巩固卷13复数（九大考点）考点01 复数的分类1．复数为纯虚数，则实数的值是______.【答案】0【分析】根据纯虚数的定义即可求解.【详解】因为复数为纯虚数，所以，解得.故答案为：02．若复数是实数，则实数______.【答案】【分析】复数是实数，则虚部为0，可求实数的值.【详解】复数是实数，则有，解得.故答案为：.3．复数是纯虚数的充要条件是（

）A．且 B．C．且 D．【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件及纯虚数的定义判断即可．【详解】若复数是纯虚数，则，；若，，则是纯虚数，所以复数是纯虚数的充要条件是且．故选：A．4．设，，若为实数，则m的值为______.【答案】【分析】根据复数的乘法运算化简，然后根据复数的概念列出方程，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，.因为为实数，所以，解得.故答案为：.5．（多选）下列四个命题中，假命题为（

）A．若复数满足，则B．若复数满足，则C．若复数满足，则D．若复数，满足，则【答案】CD【分析】根据复数的相关概念，即可判断A、B项；取特殊值，即可判断C、D项.【详解】对于A项，根据共轭复数的概念，实数共轭为自身，可知A项正确；对于B项，设，则.因为，所以，所以，故B项正确；对于C项，取，则，故C项错误；对于D项，取，，则，故D项错误.故选：CD.6．已知，则“”是“为纯虚数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据复数为纯虚数求出，再根据充分必要的概念得答案.【详解】当为纯虚数时，有，则，故“”是“为纯虚数”的充分不必要条件．故选：A.考点02 复数相等7．已知复数（是虚数单位）．(1)求复数的共轭复数；(2)若，求、的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义可得出；（2）利用复数的除法和复数相等可得出关于、的方程组，即可解得、的值.【详解】（1）解：，所以z的共轭复数．（2）因为，即，也即，所以，解得．8．已知，，（为虚数单位），则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】结合复数的四则运算，以及复数相等的条件，即可求解.【详解】因为，所以，.故选：B.9．复数满足，则________.【答案】【分析】设出，利用得到方程组，解方程组求出，的值，从而可求出.【详解】设，则，所以则，所以，解得：，所以，故.故答案为：10．已知（a，，i为虚数单位），则复数（

）A．2 B． C． D．6【答案】B【分析】由复数的乘法运算结合复数相等的定义求出，，再由模长公式得出.【详解】∵，∴，∴，解得，所以．故选:B．11．若纯虚数满足，则实数的值为（

）A．1 B．-1 C．0 D．±1【答案】B【分析】设出纯虚数，利用乘法运算及复数相等列方程，求解即可.【详解】设，由，可得，所以，解得.故选：B12．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由复数的运算和共轭复数的概念求出复数，再由复数的几何意义即可.【详解】设，则．因为，所以，所以．所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D考点03 复数的几何意义13．若复数满足（为虚数单位），则在复平面上所对应的点位于（

）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据复数的除法运算求复数，再结合复数的几何意义分析判断.【详解】因为，则，所以在复平面上所对应的点为，位于第三象限.故选：C.14．设i为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先求出复数，从而可求出其在复平面内对应的点所在的象限.【详解】由，得，所以复数在复平面内对应的点在第四象限，故选：D15．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先写出复数，再得到其共轭复数.【详解】因为复数对应的点的坐标是，所以，所以.故选：A16．已知复数，若在复平面内对应的点位于第四象限，写出一个满足条件的__________.【答案】中的一个均可【分析】根据复数的运算法则，可得，进而的一个满足条件的的值.【详解】复数，可得，当时，可得，此时复数对于点点位于第四象限，当时，符合题意.故答案为：中的一个均可.17．（多选）在复平面内，点对应的复数为z，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由题意写出复数的代数形式，再利用复数模的计算公式，复数的运算法则和共轭复数的意义，对各个选项逐个判断，即可得出正确选项.【详解】因为点对应的复数为，所以，所以，故选项A错误；因为，所以，则，故选项B正确；因为，故选项C正确；因为，故选项D错误.故选：BC.18．复数的共轭复数所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】结合复数的除法运算、共轭复数的概念和复数的几何意义即可得解.【详解】由题意，所以复数的共轭复数，所以其共轭复数在复平面内对应的点为，在第二象限.故选：B.考点04 复数模的计算19．已知复数z满足，则z的模长为______．【答案】【分析】利用复数的模长公式计算即可.【详解】由复数模长公式可得.故答案为：20．已知i是虚数单位，复数满足，则______.【答案】【分析】根据复数运算的除法法则和模的计算公式，即可化简得到答案.【详解】因为，所以.故答案为：.21．（i为虚数单位），则＝（

）A．5 B．2 C．3 D．1【答案】D【分析】根据复数的除法运算求出，得，再可得.【详解】由，得，，.故选：D22．已知是虚数单位，复数与的模相等，则实数的值为（

）A． B． C．±11 D．11【答案】A【分析】根据复数的模的定义，结合条件列方程可求的值.【详解】因为，，所以，，由已知，所以，故选：A.23．已知复数（，i为虚数单位），满足，则（

）A． B．3 C． D．5【答案】A【分析】由求得共轭复数，再代入中求得，再计算即可.【详解】因为所以，则，解得，.故选：A.24．已知复数是一元二次方程的一个根，则（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】C【分析】设出，，代入方程，化简得到，求出，并求出模长.【详解】设，，，即，故，解得或，故，所以.故选：C．考点05 复数的四则运算25．已知i为虚数单位，复数满足，则（

）A．25 B．9 C．5 D．3【答案】C【分析】直接解方程组求出复数，从而可求出复数的模【详解】由，得，解得，所以，故选：C26．复数的实部为（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】由复数的除法运算求出，再根据复数的概念可得答案.【详解】因为，所以复数的实部为.故选：B27．复数，则的模为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数的运算和模的计算，即可求解.【详解】，故.故选：C28．是虚数单位，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接化简计算即可【详解】，故选：A29．（多选）复数，（，），下列说法正确的是（

）A．若为实数，则 B．若为实数，则C．若为纯虚数，则 D．若为纯虚数，则【答案】BCD【分析】利用复数的乘除运算结合实数的意义判断AB；由共轭复数的意义、复数的乘除运算及纯虚数的意义判断CD作答.【详解】复数，（，），对于A，是实数，则，A错误；对于B，是实数，则，B正确；对于C，是纯虚数，则，此时，，即，C正确；对于D，是纯虚数，则，此时，，即，D正确.故选：BCD30．已知是虚数单位，则在复平面内，复数对应的点所在位于第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】根据复数四则运算可知，即可得其对应的点为，位于第四象限.【详解】由可知，，因此其对应的点为，位于第四象限.故选：D考点06 的幂运算31．__________.【答案】1【分析】根据复数的运算即可求解.【详解】因为，所以.故答案为：.32．（多选）若复数满足：为的共轭复数，则（

）A．B．C．在复平面对应的点位于第二象限D．【答案】ABD【分析】利用复数除法运算法则及幂运算先化简得出复数，在写出它的共轭复数然后逐项分析即可.【详解】因为，所以，所以，所以，故选项A正确；，故选项B正确；复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，故选项C错误；，故D正确.故选：ABD.33．已知复数，其中.(1)若，求实数的值；(2)若且是纯虚数，求.【答案】(1)1(2)【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数相等的充要条件得到方程组，解得即可；（2）根据复数代数形式的除法运算化简，根据复数的类型得到方程（不等式）组，求出的值，即可得到，再根据复数的乘方的性质计算可得.【详解】（1）复数，则，又，因此，解得，所以实数的值是1.（2）复数，则，因为是纯虚数，于是，解得，因此，又，则，即有，所以.34．设复数，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数的乘方以及的性质、复数的除法运算，化简得出，然后根据共轭复数的概念，即可得出答案.【详解】由已知可得，，所以，.故选：D.35．计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数代数形式的乘方及除法运算法则计算可得.【详解】.故选：C36．复数的虚部为_______.【答案】1012【分析】根据错位相减法求和，复数乘除法，i乘方的周期性等相关知识直接求解.【详解】由题意得，所以，所以，所以，所以复数z的虚部为1012.故答案为：1012考点07 待定系数法求复数37．已知为复数，为的共轭复数，且，则的虚部是（

）A． B． C．5 D．【答案】D【分析】利用共轭复数的概念，直接求解.【详解】因为与互为共轭复数，所以的虚部与的虚部互为相反数.因为的虚部为，所以的虚部为.故选：D.38．已知复数满足．(1)求；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）设，根据复数的模长公式以及复数相等列式求解即可；（2）根据（1）中结果结合复数的模长公式运算求解.【详解】（1）设，则由，得，即，则，解得，所以．（2）由（1）可知：，则，所以.39．已知复数满足，则__________.【答案】【分析】根据一元二次方程复数根的求解可得复数，即可由模长公式求解.【详解】将看作是关于的一元二次方程的根，则，所以，故答案为：40．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一，四象限 D．第二、三象限【答案】D【分析】根据复数的计算法则求出复数，再由其几何意义选择即可.【详解】设，所以，所以，解得，所以，故选：D.41．已知复数满足，且复数为纯虚数．(1)求；(2)若的实部小于零，且是关于的方程的根，求的值．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据复数的乘法运算以及纯虚数的定义，结合模长公式，即可列方程求解，（2）利用复数相等的充要条件即可代入求解.【详解】（1）设，则．因为为纯虚数，所以且．又，所以．联立方程得或故或．（2）由（1）和的实部小于零，得．因为是方程的根，所以，即．所以解得所以．42．满足，的一个复数__________．【答案】（或中的一个，答案不唯一）【分析】设，根据可得出或，分、两种情况讨论，结合复数的模长公式可求得复数的值.【详解】设，则，因为，则，即或.当时，即，由，解得或，此时，或；当时，即，由，解得，此时，.综上所述，或.故答案为：（或中的一个，答案不唯一）考点08 复数模的几何意义43．如果复数z满足，那么的最大值是______.【答案】【分析】根据已知条件，结合复数模的公式，以及复数的几何意义，即可求解.【详解】设复数，因为，可得，表示以原点为圆心，半径为的圆，又由表示圆上的点到的距离，所以的最大值为.故答案为：.44．已知复数满足，则的取值范围是__________．【答案】【分析】方法一：根据复数的几何意义与点和圆的位置关系求解；方法二：利用不等式求解.【详解】方法一：因为，所以在复平面内对应的点是复平面内到点的距离为4的点的集合，如图所示．由图象可知，当时，，当时，，所以的取值范围是．

方法二：因为，又,所以．故答案为:.45．设复数满足，其中为虚数单位，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知等式的几何意义可得对应的点的轨迹，将问题转化为点到点的距离，结合轨迹可得结果.【详解】设，则表示复平面上的点到点和点的距离之和为，对应的点的轨迹为线段，表示点到点的距离，.故选：A.46．（多选）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（

）A．点的坐标为 B．C．的最大值为 D．的最小值为【答案】ABC【分析】利用复数的几何意义可判断A选项；利用共轭复数的定义可判断B选项；利用复数模的三角不等式可判断CD选项.【详解】对于A选项，因为，则，A对；对于B选项，由共轭复数的定义可得，B对；对于C选项，，则，，当且仅当时，等号成立，即的最大值为，C对；对于D选项，，当且仅当时，等号成立，即的最小值为，D错.故选：ABC.47．已知虚数，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据复数表示的几何意义求点对应的轨迹方程，再利用数形结合求的取值范围.【详解】由复数的几何意义可知，表示点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，即，如图，

表示圆上的点与原点连线的斜率，如图，当直线与圆相切时，分别取得最大值和最小值，点为切点，点为圆心，，所以，即，，所以的取值范围是.故选：B48．设复数z满足条件|z|＝1，那么取最大值时的复数z为（

）A．+i B．+i C．i D．i【答案】A【分析】复数的模转化为距离，是单位圆上的点，是单位圆上点与的距离的最大值，可求解答案．【详解】复数满足条件，它是复平面上的单位圆，那么表示单位圆上的点到的距离，要使此距离取最大值的复数，就是和连线和单位圆在第一象限的交点．点到原点距离是2．单位圆半径是1，又，所以．故对应的