一元二次不等式及一元二次方程-2023年高考数学（新高考）（原卷版）

专题04一元二次不等式、一元二次不等式

一元二次不等式、一元二次不等式

元

分式

解

解

元

一

一

一

一

元

次

不等

元

次

二

二

二

二

次

程

式忽

次

等

方

不

不

不

的

视分

等

根

恒

等

式

式

式

布

母不

忽

分

忽

立

视

视

成

件

二

为零

条

两

视

次

根

忽

举

列

的

系

间

大

区

项

全

不

小

关

的

开

的

数

负

正

用

任

系

金翁和知

1.解分式不等式时要注意分母不能为零；

2.“大于取两边，小于取中间”使用的前提条件是二次项系数大于零；

3.解决有关一元二次不等式恒成立问题要注意给定区间的开闭；

4.有关一元二次方程根的分布条件列不全致错；

5.解一元二次不等式时要注意相应的一元二次方程两根的大小关系；

易布今折

一、忽视分式不等式中的分母不能为零致错

1.不等式工≤1的解集是

x+1------------

ɔɔ9'-Jf--1r-1

【错解】由得二一一l≤0,得々/'≤0,得20,得(X-I)(X+1)20,得X≤-1

x+1x÷lx+1x+1

或所以原不等式的解集为{x∣XXW—1或x21}.

【错因】

【正解】

二、忽视一元二次不等式中的二次项系数不能为零致错

2.若不等式τwx2÷2zwχ-4<2x2+4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是()

A.(-2,2)B.(2,+∞)C.(-2,2]D.[-2,2]

【错解】原不等式可整理为(2—"z)χ2+(4-2"z)x+4>().若该不等式恒成立，必须满足

2~m>0,

解得一2<∕nV2.综上知实数m的取值范围是（一2,2）,

1（4一2加）2—4X4（2—MV0,

选A.

【错因】

【正解】

提示：当不等式中最高项的系数含有参数时，要对其分情况讨论，不是见参就讨论，比如下面

这个题目是不用讨论的。

例：若关于X的不等式/-2αx+18>0恒成立，则实数。的取值范围为.

解析：由题意有4.2-4X18<0,可得一3/<“<3也实数a的取值范围为（T√L3√2）o

三、忽视口诀：大于取两边，小于取中间的使用条件致错.

3.不等式。-2）（3—2乂）20的解集为（）

[-,+∞12

A匕JB.2」

[-co.1

C.{x|xW；3或x22}.D.I2」

3[~,2

【错解】由0—2）（3—2x）20解得xW；或x22,故不等式的解集为N-.选C

【错因】

【正解】

四、一元二次不等式恒成立问题中忽视区间的开闭致错

4.当1WXW3时，关于X的不等式ax?+》一ι<o恒成立，则实数。的取值范围是（）

ITImrɪ-ɪ]

【错解】当l≤x≤3时，由ax2+χ-l<0恒成立可得，α<A∙J—1恒成立，令段）=Mh—I=L"

XX

则当X=2时，/（x）min=-ɪ,所以选Ao

444

【错因】

【正解】

5.若不等式χ2—a+ivθ对一切χ∈（i,2）恒成立，则实数/的取值范围为（）

B仔+T

A.(—8,2)

C.[1,+∞)D.序+T

24-11

【错解】因为不等式/一∕χ+1<0对一切χ∈(l,2)恒成立，所以/>--v--=XH■■-在区间(1,2)上恒成

XX

立，由对勾函数的性质可知函数在区间(1,2)上单调递增，且当x=2时，y=2+L=',

X22

所以x+LA故实数r的取值范围是段.选B.

X22

【错因】

【正解】

五、有关一元二次方程根的分布条件列不全致错

6.若方程r十(ZM—2)x+5—机=O的两根都大于2,则机的取值范围是

【错解】设方程/+⑺―2)x+5—Zn=O的两根为X],%2则玉>2,X2>2,

Δ>0(W-2)2-4(5-W)>0m2>16

则<玉+刀2>4,即V2—加>4即V-2〉m

Xf>45—加>41>m

解得加〈一4,故机的取值范围是(一8,—4).

【错因】

【正解】

六、解一元二次不等式时忽视两根大小而致错

7.解关于X的不等式“χ2-g+i)χ+ι<om>o).

【错解】原不等式可化为[-J(X-I)COSO).解得L<l,

a

则该不等式的解集为IJi).

【错因】

【正解】

【提示】对含参的不等式，应对参数进行分类讨论

(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.

(2)根据判别式J与0的关系判断根的个数.

(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.

易裾发通房

1.若α<0,则关于X的不等式(ax—l)(x—2)>0的解集为()

∖∖2<x<-[∖^<x<2]

A.U∣〃IJB.k∣aJ

C.{E或>2}d,{卜2或5}

2.若对于任意的x∈[0,2],不等式χ2-2χ+α>0恒成立，则α的取值范围为()

A.(-∞,1)B.(1,+∞)

C.(0,+∞)D.[1,+∞)

3.已知关于X的不等式京2-6履+左+8≥0对任意XeR恒成立,则左的取值范围是()

A.[0,1]B.(0,1]

C.(-∞,O)u(l,+∞)D.(-∞,O]u[l,+∞)

4.若关于X的不等式(片-4)x2+(a+2)x-l≥0的解集不为空集，则实数a的取值范围为()

A.(-2,-]B.{x∣2α<x≤-α}.

C.(-∞,-2)u[∣,+∞)D.(-∞,-2]u[∣,+∞)

5.已知方程2(/+1w2+4h+3左-2=0有两个负实根，则实数左的取值范围是()

B.(-2,-1)

D.[-2,-1)uI1

6.已知函数/(x)=aχ2-2χ+2,若当l≤x≤4时，/(x)>0恒成立，则实数。的取值范围

是()

A、

,ɪ、r1rl

A.(-ɪ,+∞)B-[-5，+°°)c.弓,+00)D.[5,+∞)

/

aa-2∖

7.在R上定义运算：,=ad-be,若不等式'X≥1对任意实数X恒成立,

IcdJIa+1

则实数”的最大值为()

1313

A.一一B.一一C.—D.—

2222

8.已知关于X的不等式加/+蛆+,”1对任意χ∈R恒成立，则实数”的取值范围是()

A.(-∞,O]uH,+°°)

B.(一8,0]

c.L,O)Ue+00]

D.(―∞,0)

9.已知函数人工)在R上为增函数,若不等式八—4%+“)//(一3一/)对∖∕χ∈(0,3]恒成立，则。的

取值范围为()

A.[-1,+∞)B.(3,+∞)

C.[O,+∞)D.[I,÷∞)

10.已知函数/(x)在R上为增函数，若不等式/(—4x+a)2∕(-3—χ2)对Tχ∈(0,3]恒成立，则。

的取值范围为()

A.[-1,+∞)B.(3,+∞)

C.[O,+∞)D.[ɪ,+∞)

11.若关于X的不等式加χ2-(2,"+l)χ+w-120的解集为空集，则实数机的取值范围为()

12.设函数/(x)=