2023-2024学年贵州省高三年级上册开学联考考试数学（文）模拟试题（含解析）

2023-2024学年贵州省高三上学期开学联考考试数学(文)

模拟试题

一、单选题

1.A={x∣-2<x<2},B=∣x∣X2-2X-3<0∣,则AB=()

A.(—2,1)B.(—3,2)C.(-2,3)D.(—1,2)

【正确答案】D

【分析】解一元二次不等式化简集合2,再利用交集的定义求解作答.

【详解】解不等式丁―2X-3<O,得T<X<3,即B=(T3),而A=(-2,2),

所以AB=(-1,2).

故选：D

2.已知复数z=3-2i,且z+∕+3(aeR)是纯虚数，贝∣J4=()

A.-2B.-1C.1D.2

【正确答案】A

【分析】根据给定条件，利用共轨复数的意义、复数的加法运算及纯虚数的意义求解作答.

【详解】复数z=3-2i,则W=3+2i,

因此z+W+3=(3-2i)+α(3+2i)+3=(3.+6)+(2α-2)i,

3a+6=0,

依题意,2"2≠0'解得〃=-2,

所以α=-2.

故选：A

3.目前，全国多数省份己经开始了新高考改革.改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语

3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成.某校高三年级选择“物理、化学、生物”，“物

理、化学、政治''和"历史、政治、地理”组合的学生人数分别是200,320,280.现采用分层抽样的

方法从上述学生中选出40位学生进行调查，则从选择“物理、化学、生物”组合的学生中应抽取的

人数是()

A.6B.10C.14D.16

【正确答案】B

【分析】先求出抽取比例，再根据分层抽样计算选择“物理、化学、生物”组合的学生的人数即可.

40I

【详解】解：因为

200+320+28020

所以选择“物理、化学、生物”组合的学生的人数为：200xɪ=10(人).

故选：B.

4.为了得到函数y=2cos(2x+R的图象，只需将函数y=2cos(2x+^)的图象()

36

A.向右平移三个单位长度B.向右平移T个单位长度

126

τrπ

C.向左平移三个单位长度D.向左平移T个单位长度

126

【正确答案】C

【分析】变形函数y=2cos(2x+',再利用函数平移变换求解作答.

【详解】因为y=2cos(2x+W)=2cos[2(x+2)+?],又函数y=2cos(2x+[]的周期为兀，

3126k3√

所以将函数y=2cos(2x+令的图象向左信≥0)或向右伏<0)平移E+],keZ个单位长度，

即得y=2cos(2x+∙∣)的图象，显然当k=0时，C满足，不存在整数鼠使得选项A,B,D成立.

故选：C.

l

5.已知a=In2.3,⅛=2.3°,c=Iog091.2,则()

A.c<h<aB.a<c<b

C.c<a<hD.h<c<a

【正确答案】C

【分析】根据对数函数的单调性，即得.

0j

【详解】由题，a=In2.3<Ine=I,b=2.3>1,c=Iog091.2<0,

所以eV。V/?.

故选：C.

6.已知抛物线C：V=2x的焦点为是抛物线C上的一点，若IAFl=∙∣,贝IJ△€>AF(O为

坐标原点)的面积是()

A.ɪB.1C.2D.4

【正确答案】A

【分析】由题可得F(1,O),利用抛物线的定义可得%=2,利用三角形的面积公式结合条件即得,

【详解】由题可得尸性,。)，因为Ml=A

所以=2,√=4,

所以一(。为坐标原点)的面积是:xgx2=g.

故选：A.

7.从A,B,C,D,E这五个景点中选择两个景点游玩，则A,8景点都没被选中的概率是()

7c3-2r3

A.—B.-C.-D.—

105510

【正确答案】D

【分析】根据古典概型的概率公式，采用列举法，可得答案.

【详解】从A,B,C,D,E这五个景点中选择两个游玩，不同的情况有(AB),(AC),(AO),

(AE),(氏C),(β,D),(B,E),(C,D),(C,E),(£>,£),共10种，其中A,8景点都没被选中

的情况有(C。)，(CE),(。闾，共3种，故所求概率P=言

故选：D.

8.已知sin(ɑ+])=曰,则Sin(2a-比J=()

A.-B.--C.--D.-

8888

【正确答案】B

【分析】由条件根据余弦的二倍角公式可求出CoS2(a+g)]的值，

再根据诱导公式可求出答案.

【详解】因为sin(α+q)=络，

所以CoS+=l-2sin2^α+y^=l-2×-j^=∙∣,

所以sin(2a-看)=sin=-cos2^α+y^=-∣.

故选：B.

9.在正方体ABCo-AqG。中，E是棱Be的中点，F在棱CQ∣上且R尸=3GF,0是正方形

ABC。的中心，则异面直线A。与E尸所成角的余弦值是()

叵

A.恒B.IC.1D.

6

【正确答案】A

【分析】取棱ABl的中点“，连接HF,HE,OE,AO,C1E,易证四边形OEHA是平行四边形,

则NHE户为异面直线4。与EF所成角，设A8=4,则可求出“£；=2痴，EF=√21,HF=布,

利用余弦定理即可求出NaEF的余弦值.

【详解】如图，取棱的中点”,

44连接“F,HE,OE,AO,C1E.

由题意知：OE〃AB,A1B1//AB,OE=AyHAtBt,AtBt=AB,

所以A〃〃0E,A1H=OE,

所以四边形OEHA是平行四边形，则A0〃"E，A1O=HE,

故N"EF是异面直线A。与EF所成的角(或补角).

设AB=4,则Ao=①土£=20，CE=2,C1F=I,

2

所以HE=AO=J4?+（2&）2=√6

2EF=√22+42+l2=√21>HF=∖∣↑'+42=√∏，

HE?+EF-HF?24+21-17√14

故CoSNHEF=

2HEEF2×2√6×√21^6

故选：A.

10.已知函数/(X)=mInX+'的最小值为-7，则m=()

X

A.—yB.-C.eD.J

ee

【正确答案】D

【分析】求出导函数，求出函数/(x)的最小值，列方程即得.

【详解】由/(X)=机lnx+L得尸(X)=巴一与

XXjrJr

当加≤0时，贝Ij∕gx)<θ,函数/(X)在(0,”)上为减函数，函数无最小值，不合题意，

当相>0时，当0<x<,时，ΓU)<O,函数f(x)单调递减，当x>,时，∕,(x)>(),函数/(X)单

mm

调递增,

∙,∙X=L时,函数/(x)有最小值mln'+6=-nz,

mm

解得m=e2.

故选：D.

22

11.已知双曲线C:=-2=l(a>O)的左焦点为耳(-c,0),点尸在双曲线C的右支上，40,4),若

Cr5

∣R4∣+∣M∣的最小值是9,则双曲线C的离心率是()

35

A.-B.-C,3D.5

22

【正确答案】A

【分析】根据双曲线定义将IPAl+1PKl转化为l%l+∣P入1+2。，数形结合即可求解.

【详解】设双曲线的右焦点为尸2,由于点P为双曲线C右支上一点，

根据双曲线的定义，有|P£I-IP闾=勿,则IP耳I=IP闾+24,

所以IPAl+|尸£I=IPAI+∣P入∣+2α≥∣AF2∣+2a

=416+C2+2a=yj2∖+a2+2α=9,

当且仅当AP，8在一条直线上时，IPAl+∣P制有最小值.

解得α=2,所以C=J4+5=3,

c3

所以离心率e=2=;,

a2

故选：A.

X2+2x+l,x≤0

12.已知函数若关于X的不等式f(x)+l≥α(x+l)恒成立,则。的取值范

∣2Λ-'-2∣,X>0

围是()

A.(-∞,-2]u-,+∞B.(-∞,-2]uθɪ

C.^2'3D.[-2,0]u-,+∞

【正确答案】C

【分析】构造函数g(χ)=∕(χ)+i,由题可知直线y=α(χ+i)要在函数y=g(χ)的图象的下面，利用

数形结合即得.

X2+2x+l,x≤0

【详解】∙∙∙f(χ)=

∣2r-'-2∣,x>0

X2÷2x÷2,x≤0

设g(χ)=f(χ)+ι=,1∣2--2∣÷u>o-则g")"(x+D恒成立，

作出函数y=g(χ)与y=α(χ+D的大致图象,

由y=α(x+l)可知过定点Λ(-1,O),则过A(-l,0)的直线要在函数y=g(x)的图象的下面,

由图象可知当y=α(χ+D与y=g(χ)相切与C点时为一个临界值,

把y=α(x+l)代入y=χ2+2x+2,可得d+(2-a)x+2-a=0,

由A=(2-αf-4(2-α)=0,可得a=—2或a=2(舍去),

当过A(TO)的直线经过B时为另一个临界值，此时a=式\=1,

所以ae-2,∣.

故选：C.

二、填空题

13.已知Iah逐,2|=1,若［a-2i>l=则向量。力夹角的余弦值是

【正确答案】亚/上逐

55

【分析】利用平面向量的数量积与模的关系计算即可.

【详解】设〃与b的夹角为。，由题意，|“I=石,g∣=l,∣a-2⅛∣=√5,

则(。-2b)=a2-4a∙b+4b2=5-4×>∕5×l×cos0+4=5,

解得cos，=@,即向量”,/7夹角的余弦值是g∙

55

故正

5

x+y-3≥0

14.已知实数XD满足约束条件∙2x-y-3≤0,贝IJZ=X+2y的最小值为.

【正确答案】4

【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求出最小值作答.

x+y-3≥0

【详解】作出不等式组∙2x-y-3≤0表示的平面区域，如图中阴影_A8C,其中

y≤5

A(2,l),β(4,5),C(-2,5),

目标函数z=x+2y,即y=-<χ+;表示斜率为一：，纵截距为;的平行直线系，

2222

画出直线∕t√y=-gχ,平移直线/°至直线4，

当直线4经过点A时，直线人的纵截距最小，Z最小，BPzmin=2+2×l=4,

所以z=x+2y的最小值为4.

故4.

15.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆

锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中氏C分别是上、下底面圆的圆心，且

AC=3AB=3BD,则该陀螺下半部分的圆柱的侧面积与上半部分的圆锥的侧面积的比值是.

A

图1图2

【正确答案】2亚

【分析】根据给定条件，求出圆柱的侧面积、圆锥的侧面积作答.

【详解】令30=1,则圆锥的底面圆半径厂=1,高/∕=A3=1,母线∕=4)=√T寿=0，

因此该圆锥的侧面积S∣=π∕√=正兀，

圆柱的底面半径r=l,高BC=2,因此该圆柱的侧面积$2=2口∙8C=4π,

、S4π,∕τ∙

所以该陀螺下半部分的圆柱的侧面积与上半部分的圆锥的侧面积的比值?0=7M=2√2.

故2夜

16.已知一ABC的内角A民C对应的边分别是“力,c,内角A的角平分线交边8C于。点，且47=4.

若(2〃+C)CoSA+4COSC=0,则ABC面积的最小值是.

【正确答案】16√J

兀

【分析】利用正弦定理及两角和正弦公式可得A=?2，然后利用三角形面积公式及基本不等式即得.

【详解】∙.∙(2b+c)cosA+αcosC=0,

.∙.2sinBcosA+sinCcosΛ+sinAcosC=O,

即2sinBcosA+sin(C+A)=2sinBcosA+si∏B=O,

又5w((),兀),sinB>O,

Λ2cosA+1=O,即COSA=-；，又A∈((),兀)，

・・.A=空，

3

由题可知SABC=S八8/)+SACQ，AZ)=4,

所以gbcsing=gx4csing+gχ4∕;Sinm,B∣J⅛c=4(6+c),

又a=4e+c)≥8痴，即尻、≥64,当且仅当b=c取等号，

所以SMiC=-bcsin-≥-×64×^-=lðʌ/ɜ,

ABc2322

即一ABC面积的最小值是16√L

故166

三、解答题

2

17.在数列｛α,J中，at+2a2+3ai++nan=n-2n.

⑴求｛α,J的通项公式；

⑵若bn=¾+1-¾,求数列也｝的前〃项和S“.

、.3

【正确答案】-；

n

⑵号

n+]

【分析】(I)利用程与S”的关系即得；

(2)利用裂项相消法即得.

-

【详解】(1)因为ɑi÷2a2÷3a3++πan=∕7-2n,

2

所以当〃≥2时，cιl÷Ia2+3¾++(〃-1)%=π-4n÷3,

所以加〃=2〃-3,

所以4="二=2—3("≥2),

nn

当〃=1时，4=T满足上式，

所以4=2-3；

n

(2)因为4=2—3,

n

3

则=2———,

从而d=¾÷∣-an=(2一亮)一(2-3)33

n)n〃+1'

故邑=6-2+加+〔1-讣(33-33zt

+1-------1=3------=----

n+1)〃+17?+1

18.某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取IOO名学生，根据他们的竞赛成绩(),

按[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)估计该校学生成绩的中位数；

(2)若竞赛成绩不低于80分，定为竞赛成绩优秀，否则为非优秀.已知样本中竞赛成绩优秀的女生有6

人，根据题中频率分布直方图完成下列2x2列联表，并判断是否有99%的把握认为是否优秀与性别

有关.

优秀非优秀合计

男60

女6

合计100

n(ad-bc)2

参考公式:其中“=α+h+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

参考数据:

20.100.050.0100.001

P(κ≥ku)

ko2.7063.8416.63510.828

【正确答案】(1)75

(2)列联表见解析，有

【分析】(1)根据频率分布直方图中，中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的即可求解：

(2)根据题意，完成2x2列联表，再根据独立性检验思想求出K?,最后与参考值比较，从而可得

结论.

【详解】(1)因为(0.008+0.024)xl0=0.32<0.5,0.32+0.036xl0=0.68>0.5,

所以中位数在［70,80)内.

设中位数为机，则0.32+(m-70)x0.036=0.5,解得m=75.

(2)由图可知优秀的人数为IOOX(O02+0.012)x10=32,

则非优秀人数为100-32=68.

因为优秀的女生人数为6人，所以优秀的男生人数为32-6=26人.

所以非优秀的男生人数为60-26=34,非优秀的女生人数为40-6=34.

则2x2列联表如下

优秀非优秀合计

男263460

女63440

合计3268100

由表中数据可得Kj嗯筹翳^8.854,

因为8.854>6.635,所以有99%的把握认为是否优秀与性别有关.

19.如图，在直四棱柱ABCQ-AMG。中，四边形ABCD是菱形，E,尸分别是棱84，OQ的中

点.

(1)证明：平面AEF_L平面ACG.

(2)若AA1=243=4,/34)=60。，求点A到平面AEF的距离.

【正确答案】(1)证明见解析

Q）呼

【分析】(1)连接BD,先证明801平面ACG,再证明防〃BD即可证得结果；

(2)连接A∣E,A1F,作BHlA。，垂足为//,证明8H_L平面AORA，进而根据等体积法

Ai-AEF=Z.AM求解即可.

【详解】(1)证明：连接50.因为四边形ABCD是菱形，所以8DJ"AC.

由直四棱柱的定义可知CGJ"平面ABCD,BDU平面ABCD,

所以CGLBO.

因为CGU平面ACC-ACu平面ACG，且ACrCG=C,

所以BD工平面ACG.

由直四棱柱的定义可知BBJ/DD1,BBl=DDx.

因为EF分别是棱，CR的中点，

所以3E〃。尸，BE=DF,

所以四边形8E7T)是平行四边形，则EF'〃BD.

所以所上平面ACC-

因为EFU平面AEF,

所以平面田1.平面ACC-

(2)解：连接A∣E,A/，作8〃IAr>,垂足为H,

因为，平面ABCD,8〃U平面ABCD,

所以。CJBH,

因为。AU平面AORA，ADu平面AQAA,DD∖AD=D,

所以84，平面AZ)R4.

因为∕W=ΛT>=2,ZfiAD=60°,所以B4=√5∙

因为AAF的面积Sz=gx4x2=4,

所以三棱锥E-AAF的体积K=JX4xg=迪.

^33

设点A到平面AEF的距离为d,因为A41=2A3=4,所以AE=AF=2√∑,EF=2,所以AAEF

的面积S∣=gx2xJ(2√Σ)LF=√7.

则三棱锥A-AEF的体积V∖=Lχ5d=典■.

133

因为X=G所以字=空’解得公母

所以点A倒平面A所的距离为空

率为毛，且经过点(1，；)

20.已知椭圆C：A+[=l(α>b>0)的离心

ah

(1)求椭圆C的方程.

⑵过点P(0,2)的直线交椭圆C于A、B两点，求"OB为原点)面积的最大值.

【正确答案】⑴三+9=1

3

Q)显

2

e=£="

a3

91

【分析】(1)由题意可得彳+/=1,解得a,b,即可得出答案.

,22

a-=b1-+c

(2)由题意可知直线/的斜率存在，设直线/：>=履+2,A(xl,y,),B(x,,y2),联立直线/与椭圆的

方程，结合韦达定理可得用+七，XR,由弦长公式可得IABI,点到直线的距离公式可得点。到直

线/的距离d,再计算AOB的面积，利用基本不等式，即可得出答案.

C瓜

e=­=——

a3

91

【详解】（1）解：由题意可得---7----T=1ɪ，

4a~4b~

Q-=Zr+c-

解得。=杷，b=I,

所以椭圆C的标准方程为

（2）解：由题意可知直线/的斜率存在，设直线，：y=履+2,ACη,y）,β（x2,γ2）,

y=kx-∖-2

联立]χ2,得(3k2+l)χ2+l2fcv+9=0,

—+y=I

3

Δ=144公-36(3公+1)=36(⅛2-l)>0,

所以公>1,即％>1或A<-l,

,12k9

贝πIlJXl+刍=_药,中L药，

22

⅛μs∣=√F7T-∣x-x∣=√F7i∙(-ɪ-y~~9~6λ∕(⅛+l)(⅛-l)

l2I2-4×

VJk+i3标+1-3k2+\

,2

点。到直线/的距离”=7Tk,

√⅛+1

所以AoB的面积S=JABIM=EMɪ

设/="2-1>0,则％2=*+],

63

S-6t=2考

4时

故3(产+1)+1+

/

所以AOB面积的最大值为包.

2

21.已知函数/(x)=e'+χ2-X-L

⑴求f(x)的最小值；

(2)证明：e'-e2lnx+x2+(e-l)x-l>O.

【正确答案】(1)0；

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据给定条件，利用导数求出函数/W的最小值作答.

(2)等价变形不等式，构造函数g(x)=e」nx-ex,并求出其最大值，再结合(1)推理作答.

【详解】(1)函数F(X)=/+的定义域为R,求导得尸(X)=e*+2x7,

显然函数,(X)在R上单调递增，且/‘(0)=0,由/'(x)>0,得x>0,由J"(x)<O,得x<0,

即Ax)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，/(X)min=/(0)=0,

所以/(x)的最小值为0.

(2)不等式e*-e2lnx+χ2+(e-l)x-l>0=e*+Y-X-I>e°lnx-ex,

由(1)知，当x>0时∙，/(x)>0恒成立，即e*+χ2-χ-i>0恒成立，

2

令g(x)=e7nx-ex,求导得g(x)=J-e,由g'(x)>O,得O<x<e,由g'(九)<0,得R>e,

X

因此g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，即g(x)≤g(e)=O,当且仅当％二e时取等号，

于是e"+x2-x-l>0≥e2Inx-ex，

所以CΛ—C~Inx÷X"÷(