2021新高考数学基础训练卷一(解析)

2021高考数学基础训练卷-

一、单选题

1.如图，集合4={。,2,4},B={1,3,4),则阴影部分表示的集合是()

A.{/B.{0,123,4}

C.10,2}D.{1,3}

【答案】C

【分析】

阴影部分表示集合4中去掉A3部分剩余元素组成的集合.

【详解】n

AcB={4}

阴影部分表示集合A中去掉A3部分剩余元素组成的集合，即阴影部分表示的集合是{。,2上

故选：Cn

2+i11

2.设"则()

【答案】B

【分析】

利用复数的除法运算先求出z,再求出模即可.

【详解】

2+z(2+z)z,~

•/z=---=-------=1—2z,

ii2

•••|Z|=J12+(—2)2=6.

故选：B.

3.已知直线/：尸的+6）和圆C：%2+（厂1）=1,若直线/与圆C相切，贝!|*=（）

A.0B.庄c.苧或0D.褥或0

【答案】D

【分析】

根据直线与圆相切的条件建立方程，可得选项.

【详解】

1-1+73^1L

因为直线I与圆C相切，所以圆心C到直线I的距离d=—j=W^=l,解得k=o或k=4.故选：D.

J1+-2

4.已知变量了,丁之间的一组数据如表:

X3456

y2.5344.5

若y关于％的线性回归方程为亍=°-7x+8,则&=（）

A.0.1B.0.2C.0.35D.0.45

【答案】C

【分析】

先求F,代入亍=0.7x+d,即可得计算6的值.

【详解】

3+4+5+6,「

x=--------------=4.5,

4，

2.5+3+4+4.5.=

y=---------,---------=3.5,

4

将汇=4.5,了=3.5代入£=0.7x+6

得方=0.35,

故选：C

5.已知A(1,D,3(2,—4),C(X,-9),且"//AC,则"()

A.3B.2C.1D.T

【答案】A

【分析】

先求出A8和AC的坐标，利用向量共线的坐标表示列方程即可求解.

【详解】

A3=（『5）,TC=Q-1,-10）,

因为AB〃AC,所以1x（—10）=—5（x—1）,解得：x=3,

A

6.已知'q为等比数列%｝的公比，且G=-,则4=（）

n12234

A.-1B.4

11

C.--D.+-

22

【答案】C

【分析】

利用等比通项公式直接代入计算，即可得答案；

【详解】

,_11

aGq)=--a2Q—————1

ii2।2_q2_1

1「农i="2,

aq2=一h^2=416

[i4

故选：C.

7.若球的半径为10夕”，一个截面圆的面积是36兀cm2,则球心到截面圆心的距离是（）

A.5cmB.6cmc.8cmD.10cm

【答案】C

【分析】

由题意可解出截面圆的半径，然后利用勾股定理求解球心与截面圆圆心的距离.

【详解】

由截面圆的面积为3位cm2可知，截面圆的半径为6°”，则球心到截面圆心的距离二^7=8cm.

故选：C.

【点睛】

解答本题的关键点在于，球心与截面圆圆心的连线垂直于截面.

8.已知函数/G)是定义在或上的可导函数，对于任意的实数X,都有;笆=62工，当x<0时,

/(x)+/,G)>0,若e4(2a+l)»/(a+l),则实数a的取值范围是()

A.0,|B.-|,0c.D.(-oo,01

【答案】B

【分析】

构造函数gG)=e"Q),根据题意，可得函数g(x)的奇偶性，根据x<0时y(x)+/'G)>。，对函数

g(x)求导，可得函数g(x)的单调性，将"/(2。+1)之/Q+1),左右同乘eo+1,可得

e2a+if(2a+1)>ea+ifG+1),即g(2a+l)»g(a+l),利用g(x)的性质，即可求得答案.

【详解】

/(f))=exf(x)=e-xf(-x),

1aE=团

令gG)=e、/G),贝!Jg(-x)=gG),即g(x)为偶函数，

当x<0时/(x)+/'(x)>0,

Hg'G)=ex[/G)+/G)]>o,即函数g(x)在(一8,0)上单调递增.

根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知g(%)在(0，k)上单调递减,

0ea/(26!+l)>/G+l),

团e2a+if(2a+1)>ea+if(a+1),

团g(2a+l)之g(a+l),即|2a+l|<k+l],

2

解得，—gVaWO,

故选：B.

【点睛】

解题的关键是将题干条件转化为匚上=G)=e-/(-%),根据左右相同的形式，构造函数

ex

g(x)=exf(x),再根据题意，求得函数的奇偶性，单调性；难点在于：由辛。/(2。+1)2/(。+1),不

符合函数g(x)的形式，需左右同乘e〃+i,方可利用函数g(x)的性质求解，属中档题.

二、多选题

9.下列函数中，定义域是R且为增函数的是()

A.y=e-xB.y=心

c.y=lnxD.y=x

【答案】BD

【分析】

利用基本初等函数的基本性质可得结论.

【详解】

对于A选项，0<|<1,所以，函数y=是定义域为R的减函数;

对于B选项，函数，=心是定义域为H的增函数；

对于C选项，函数)=山》是定义域为(0,内)的增函数；

对于D选项，函数丁=%是定义域为H的增函数.

故选：BD.

【点睛】

本题考查基本初等函数定义域和单调性的判断，属于基础题.

10.在下列函数中，最小正周期为兀的所有函数为()

A.J=sin2xB.y=|cosx|

C.y-cosI2x+—ID.y=tan

【答案】ABC

【分析】

利用周期公式或图像判断即可.

【详解】

T2兀

对于A,T=—二兀，

co

对于B,y=COSX的周期是2兀，y=卜05%|的图像是把》=馍5%的图像的％轴下方部分关于了轴对称,

..E2兀

周期减半，故y=|cosx|的周期是兀，对于c,T=w=兀，

E兀兀

对于D,T=-=—,

co2

故选：ABC.

【点睛】

此题考函数的周期的求法，属于简单题.

11.已知曲线C:mx2+ny2=1()

A.若机=0,n>0,则。是两条直线

B.若根=〃>0,则c是圆，其半径为£■

C.若m>">0,则C是椭圆，其焦点在X轴上

D.若机〃<0,则。是双曲线，其渐近线方程为y=±J[x

【答案】AD

【分析】

由曲线方程及圆锥曲线的性质逐项判断即可得解.

【详解】

1

对于A,若m=0,n>0,则C:〃y2=l即y=±—尸，为两条直线，故A正确；

yjn

对于B,若根=〃>0,贝!|。：彳2+尸=1,所以C是圆，半径为心，故B错误;

n、n

对于C,若m>n>0,则。<上<一,

mn

c・2+22=i

所以。：如2+疑2=1即-TT"为椭圆，且焦点在y轴上，故c错误;

mn

X2V2

对于D,若加〃＜。，则,•---+---=1

11为双曲线,

mn

1

且其渐近线为y=±—^x=±r^x,故D正确.

Im

故选：AD.

12.如图，在正方体4BCD-qq中，点尸在面对角线4C上运动，给出下列四个命题，则其中正确的

命题的是（）

A.。///平面公产q

BDP1BD

・1

c.平面PDA，平面A/q

D.三棱锥A「BPq的体积不变

【答案】ACD

【分析】

确定平面AC，//平面可判断A,取特殊点可判断B,证明号。，平面ACR后得面面垂直，可

判断C,由棱锥体积公式可判断D.

【详解】

如下图，正方体中AC//qq,由线面平行的判定定理，得AC//平面Afq,同理ADJ/平面。Bq,

因此可得平面ACR//平面A,q,从而平面Acq内的直线qp//平面Ayq,A正确；

如下图，当P是AC与8。交点时，NRP。是锐角，B错;

如下图，由正方体中4。，84可得4。，平面8。8],从而同理有AOJ8。，

因此有百。，平面AC?,团平面PDB1平面AC2,C正确；

如上图，p々q的面积是矩形ACQA面积的一半，不变，8到平面的距离不变是JBD,因此三

棱锥8-及即三棱锥A-BPJ的体积不变，D正确.

故选：ACD.

【点睛】

关键点点睛：本题考查空间线面关系，棱锥的体积，掌握线面平行的判定，线线垂直、线面垂直与面面垂

直的关系是解题关键.解题时对三个垂直的间相互转化需熟练掌握.

第n卷（非选择题）

三、填空题

1

13.已知X>1,且x—y=l,则x+一的最小值是

y

【答案】3

【分析】

由题得y〉o,再利用基本不等式求函数的最小值.

【详解】

由题得％=y+i>i；y

ii〜I~,0

所以x+—=y+l+—=y+—+122Iy,—+1=3,

yyyVy

（当且仅当y=i时取等）

所以函数的最小值为3.

故答案为：3

【点睛】

本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

14.已知（X2—1）=。+〃X+aX2+〃X3++4X16,贝［）〃+〃=.

01231645

【答案】28

【分析】…

先求出二项的通项公式T=cX2）-（-l>,由此通项可知展开式中了的次数均为偶数，所以r=0,

r+185

当「=6时，》的次数为4,从而可求出见,进而可得结果.

4

【详解】

r

解：因为（T2—1）的第r+1项为T=Cr（X2）（-l>（04rV8且reN*）,

r+18

所以无5不存在，所以4=°,

因为x4的系数为。6（-1%=28,所以a=28,

84

所以+。5=28.

故答案为：28

【点睛】

此题考查二项式展开式的指定项的系数，熟记二项式展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题.

15.某县城中学安排5位老师（含甲）去3所不同的村小（含4小学）支教，每位老师只能支教1所村小,

且每所村小学都有老师支教，其中至少安排2位老师去4小学，但是甲不去A校，则不同的安排方法数为

【答案】44

【分析】

4小学若安排3人有8种，4小学若安排2人有36种，利用加法原理计算即可.

【详解】

解：4小学若安排3人，则有。加=8种；4小学若安排2人.则有C2c2加=36种.

42432

故不同的方法数为8+36=44.

故答案为：44

【点睛】

本题考查排列组合的综合应用，考查分类讨论的思想及逻辑推理能力，属于基础题.

16.若数列M｝是等差数列，S是数列的前"项和，则S,S—S,S-S也成等差数列.类比上述

nn112nn3n2n

结论，若数列名｝是等比数列，r是数列的前“项积，则对应的结论为________

nn-----------------

TT

【答案】T,中,产也成等比数列.

n11

n2n

【分析】

TT

根据题中条件，类比等差数列的性质，在等比数列中研究T,声，之之间关键即可.

n11

n2n

【详解】

因为若数列｛6｝是等比数列，T是数列的前〃项积，

Mn

Tbb•b

则T=bb•…,f■二iQ…户=bb•…，b,

n12nTbbn+l〃+22n

n12n

bb',h2n+l2n+23n

2n12…2n

所以T^TT=(Z?Z?)•(/?/?)•(/?/?(Z?b)

'nT12n+l22n+232〃+3n3n

2n

=(b).(0).(0>=(幺,

n+ln+2n+32n(T

n

TT

所以T〃，宁，宁成等比数列.

n2n

TT

故答案为：T，中，卢也成等比数列.

n11

n2n

【点睛】

本题主要考查类比推理，涉及等比数列的性质，属于基础题型.

四、解答题

17.在等差数列｛。｝中，已知4=16,a=36.在①b=/一；②匕=(-i>.fl；③b=2"…这三个

nO10nClU.nnnn

nn+l

条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解.

(1)求数列3｝的通项公式；

n

(2)若,求数列的前“项和S”.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)%=2〃+4；(2)答案见解析.

【分析】

(1)设等差数列3｝的公差为d,根据题中条件，求出公差，进而可得通项公式；

n

(2)分别选①②③，根据裂项相消法，分组求和法，以及错位相减法，即可得出结果.

【详解】

(1)设等差数列％｝的公差为d,则。=a+(16—6)d,

n166

即36=16+10d,解得d=2,故a=16+("-6)x2=2〃+4.

n

4_4_1_ii

-

(2)选①'由n­—(2n+4)|2(n+l)+4|-U+2)(n+3)~~^2~^+3,

nn+lL」

S3LL1+11_1_1_n

«3445n+2n+33n+33G+3),

选②，b=(-1)/..1(-I)・(2〃+4).

nn

当〃为偶数时，S=2[-3+4-5+6-+(〃+2)]=2x2x1=〃；

当〃为奇数时，S=一3+4—5+6—+(〃+1)—(〃+2)]=2———x1—(〃+2)——n5e

为偶数，

故_5,〃为奇数…

220+4

选③，由。=2«n-a=（2"+4）•得，

nn

S=6-26+8-2s+10-2io++（2〃+4）2八+4,①

n

4s=6-28+8-2io++（2〃+2）・22〃+4+（2〃+4）・22"6,②

n

①.②得，-35=6-26+2•28+2•2io++22〃+4-（2〃+4）2〃+6

n

f28-22n+61/\5，51

=6-26+2-------------（2"+4）・22"+6=——27+—122”+7,

I1—22J..3I3）

03n+5_640

故3=--------22"+7-......

«99

【点睛】

方法点睛：

数列求和的常用方法：

（1）公式法：已知数列是等差或等比的数列，可根据求和公式直接计算；

（2）倒序相加法：如果一个数列｛〃｝的前“项中首末两端"距离"的两项的和相等或等于同一常数，那么求

n

这个数列的前n项和即可用导学相加法；

（3）错位相减法：数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相

减法；

（4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；

（5）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可

用分组转化法，分别求和后再相加减；

(6)并项求和：一个数列的前"项，可由两两结合求解，则称之为并项求和，形如：a=(-1>/(九)类

型，可采用两项合并求解.

18.在△加(：中，a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边，且。2-2叵AsinA+c2=以

3

(1)求角A；

(2)若4sinBsinC=3,且。=2,求aABC的面积.

【答案】(1)A=R；(2)0

【分析】

(1)整理匕2-26^^1174+02=a［得：枕+。2-成=2'"bcsinA，再由余弦定理可得cosA=^sinA,

333

问题得解.

2/T1

(2)由正弦定理得：R=」_,6=2Rsin8,c=2RsinC,再代入S=k^csinA即可得解.【详解】

3AABC2

(1)由题意，得从+。2-。2=2Z?ccosA="bcsinAncosA=sinAtanA=J3,

33

71

团A=；

3

(2)由正弦定理，得一也=J=L=2RnR=3,

sinBsinCsinA3

b=2RsinB,c=2RsinC

if2/TV/T3

国S=—Z?csinA=27?2sinAsinBsinC=2•••—=y/3.

AABC2I3J24

【点睛】

本题主要考查了正、余弦定理及三角形面积公式，考查了转化思想及化简能力，属于基础题.

19.如图，四棱锥P—3CDE中，BC//DE,BC=2CD=2DE=2PE=2,CE=6,。是BE中点,

PO_L平面BCDE.

(1)求证：平面平面PCE；

(2)求二面角8-PC-。的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)

【分析】

(1)根据题中所给长度可得CE2=Z)E2+CO2,即NC0E=9O。，利用余弦定理，可求得BE=e，

则可得CELBE,利用线面垂直的性质，可得POLCE,根据线面垂直的判定定理即可得证.

(2)如图建系，分别求得平面PCD和平面P8C的法向量，利用向量法求得二面角8-尸C-D的余弦值，

进而可求得答案.

【详解】

(1)证明：taCD=DE=l,CE=历,

0CE2=DE2+CD2,即/CDE=90。，ZCED=45°,

EBC//DE,0ZBCE=ZCED=45°,

136c=2,0BE2=BC^+CEi-2BC-CE-cos45°=2=BC2-CEi,

SCE1BE,

国尸。_L平面BCQE,^POICE,

田POcBE=0,PO,BEu平面P3E,

团。£_1平面PBE,

0CE<z平面PCE,

国平面PBEL平面PCE.

(2)以。为坐标原点，以过点。且平行于CD的直线为x轴，过点。且平行于BC的直线为1轴，直线P。

为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

D

由P£=l,OE=LBE=叵,P01BE知P0=叵,

222

则哈-川'呜京]'小。当'

设平面PCD的法向量为〃]=（5,乂,q）,

n-CD=0x=°

则〈i，即〈1L，

n•。尸二03y-后=0

i1i-1

令气=也,可得"]

设平面的的法向量为〃2（1%电）,

n-PB=Qx~y~—0

则〈2,即1222

n-BC=0二0

、2

令z「忆可得〃2

n・nJ33

团cos<n,n>=-1-----3—

12

|〃」也I11

则二面角B7PC--D的正弦值为2叵.

【点睛】

当题中条件有边的具体长度，考虑用勾股定理证明垂直，再结合线面垂直的判定定理，性质定理进行证明，

学生需熟练掌握各个定理，考查推理证明，求值计算的能力.

20.互联网在带给人们工作.学习方便.快捷的同时，网络游戏也让一些人沉溺于其中不能自拔，游戏成瘾，

无心工作.学习，特别是青少年.前不久，网络消息称某985高校有18名学生由本科降为专科.某心理咨询机

构为了调研青少年网瘾成因，随机地调查了200名大一学生，得到以下2x2列联表:

伙伴中有沉溺网

合计

伙伴中无沉溺网游游

本人不沉溺网游11060170

本人沉溺网游102030

合计12080200

(1)是否有99.5%的把握认为本人沉溺于网游与伙伴中有沉溺于网游有关？说明你的理由；

(2)在所有受调查的学生中，按分层抽样的方法抽出20人，再在这20人中随机地抽取5人进行访谈，求

至少有一名学生沉溺于网游的概率.

附表及公式：

P(K2>k)

0.1000.0500.0250.0100.005

0

输入S,A,民〃2.7063.8415.0246.6357.879

n(ad-be)

K2tr----------xr-，n二Q+Z?+C+d

\a+b)\c(b+d')

【答案】(1)有99.5%的把握认为本人沉溺于网游与伙伴中有沉溺于网游有关，理由见解析；(2)—.

【分析】

(1)根据列联表中的数据求得K2的值，再与临界值表对照下结论.

(2)记"从20人中随机地抽取5人至少有一名学生沉溺于网游”为事件A,由尸(A)=1-PQ)求解，

【详解】

200(110x20-10x60〉

(1)Ki«10.458>7.879

~170x30x120x80

有99,5%的把握认为本人沉溺于网游与伙伴中有沉溺于网游有关；

(2)记“从20人中随机地抽取5人至少有一名学生沉溺于网游”为事件A

..P(A)=1一尸G)=1—£=巴

C5228

20

21.已知椭圆C：四+二=1（。〉匕〉0）的离心率为监，点「

2』在椭圆C上.

Q2力2

27

（1）求椭圆的方程;

（2）设勺，1分别是椭圆C的上、下焦点，过1的直线/与椭圆C交于不同的两点4、B,求4AB的

内切圆的半径的最大值.

△

V2[

【答案】（1）丁+12=1；（2）—.

4乙

【分析】

（1）根据椭圆离心率以及点在椭圆上，结合俏=加+。2得到关于a,b,c的方程组，求解出a,b,c的值，则

椭圆方程可求;

（2）根据等面积法将内切圆的半径与|\一31联系在一起，采用联立方程思想并结合韦达定理以及基本不

等式求解出,-%।的最大值，从而内切圆的半径的最大值可求•

【详解】

C_y/3

~a~^2

（1）因为£=正，且P当,11在椭圆上，所以,13,。2=4

——+——=1,所以枕=],所以椭圆方程为:

Q24b2

a2\7

Q2=匕2+。2

V2,

---+X2=1；

4

⑵设屋\,乂）,8（1兀），内切圆的半径为R，由条件可知直线A3的斜率存在，故设直线

AB:y=kx-v3,

因为s=^\FF\\x-x\=^(\FA\+\FB\+\AB|)-/?,且|＜川+匕回+叫=4fl=8,

\FF\=2c=2j3,

y/3-\x-X

所以当|\一取最大值时尺有最大值，

所以小人一修=4&所以12LR,31

4

又＜N-爪一小,所以Q+4)X2一2dx-1=0,所以X+x=2@^,xx1

4x2+y2=412k2+412k+4

2

I12k2-4^2+4^+1

所以

i3

取等号时际=E'即-土"

A

X-尤

1j<3g=1，所以内切圆的半径最大值为0.

所以K=4-4

322

【点睛】

方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法：

1

(1)利用弦长以及点到直线的距离公式，结合］X底x高，表示出三角形的面积；

(2)根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为:•“冈-x

或1-y|；

(3)借助三