2024年排列组合高二数学寒假练习

第12讲排列组合

、【考点目录】

知识点1排列与组合【知识梳理】

一般地，从〃个不fr/vq按照一定的顺序排成一列，叫做从几个不

同元素中取出m个元素的一个排列.两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排

列顺序也相同.

(2)排列数

从n个不同元素中取出机。彷〃)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元

定义及表示

素中取出m个元素的排列数，用符号组表示.

全排列的概念n个不同的元素全部取出的一个排列.

阶乘的概念正整数1到九的连乘积，用〃！表示.A2=九！,0!=1.

一1)(〃一2)…一"+1).

排列数公式

(",m<n).一九!

际乘式4—z\..

kn—m)!

(3)组合：一般地，从w个不同元素中取出相。彷〃)个元素作为一组，叫做从w个不同元素中取出机个元

素的一个组合.

(4)组合数

从n个不同元素中取出相(加9)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个

定义及表示

不同元素中取出加个元素的组合数,用符号册表示.

组合Ann(一一1)(〃-2)…(〃一徵+1)

乘积式J—4Tm!_

数公

n!

阶乘式cm=--------=--------

式〃m!(n—m)!'

两个性质1口〃-—("^n~m•

性质性质25C/+n1———J—im十与一.

3.A=(n—m+l)A=nA；

(n+1)!-n!-n-n!.

4.kC=nC；C=C+C+...+C.

知识点2有约束条件的排列问题

一般有以下几种基本类型与方法：①特殊元素优先考虑；②对于相邻问题采用“捆绑法”，整体参与排序

后，再考虑“捆绑”部分的排序；③对于不相邻问题，采用“插空”法，先排其他元素，再将不相邻元素插入空

档；④对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列数.

知识点3解组合问题时要注意

①分类时不重不漏；

②注意间接法的使用，在涉及“至多”“至少”等问题时，多考虑用间接法(排除法);

知识点4分堆与分配问题

平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列.分堆到位相当于分堆后各堆再全排

列，平均分堆不到指定位置，其分法数为：平均，黑般位置.对于分堆与分配问题应注意：①处理分配

问题要注意先分堆再分配；②被分配的元素是不同的(如“名额”等则是相同元素，不适用)，位置也应是不同

的(如不同的“盒子”)；③分堆时要注意是否均匀，如6分成(2,2,2)为均匀分组，分成(1,2,3)为非均匀分

组，分成(4,1,1)为部分均匀分组.

4【考点剖理”问题

(-)全排列问题

1.(2023秋・天津红桥•高二统考期末)已知数字1,2,3,4,5.

(1)可以组成多少个没有重复数字的五位数；

(2)可以组成多少个没有重复数字的五位偶数.

【答案］⑴120

(2)48

【分析】(1)将5个数进行全排列，利用排列数公式即可得出答案.

(2)先排个位数，从2,4中选一个数排在个数，其余的位置即剩下的4个数进行全排列即可得出答案.

(1)

由题意可得：将5个数进行全排列，即A；=5x4x3x2x1=120个.

(2)

先排个位数，从2,4中选一个数排在个数有：C；=2个，

其余的位置即剩下的4个数进行全排列，即A：=4x3x2xl=24个,

所以可以组成C；A：=48个没有重复数字的五位偶数.

2.(2023春•辽宁沈阳•高二校联考期末)若把英语单词“四"”的字母顺序写错了，则可能出现的错误有

种.

【答案】23

【分析】先计算该单词所有字母能够组成的所有排列情况，然后减去正确的，即是可能出现错误的情况.

【详解】因为64,厂”四个字母组成的全排列共有A：=4x3x2x1=24（种）结果，其中只有排列“pew”

是正确的，其余全是错误的，故可能出现错误的共有24-1=23（种）.

故答案为：23.

3.（2023秋・广东佛山•高二统考期末）某同学有2本不同的语文书，3本不同的数学书，2本不同的英语书，

如果要将全部的书放在一个单层的书架上，且不使同类的书分开，则不同的放法种数是（用数字作

答）

【答案】144

【分析】将同一类型的书做全排列，再三类书做全排列，即可得答案.

【详解】由题设，A；A；A；A；=2x6x2x6=144种.

故答案为：144

4.（2023秋・江苏苏州・高二苏州中学校考期末）有一个“国际服务”项目截止到2022年7月25日还有8个名

额空缺，需要分配给3个单位，则每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的分配方法种数是

【答案】12

【分析】首先确定3个单位名额互不相同的分配方式种数，再应用全排列求每种方式的分配方法数，即可

得结果.

【详解】各单位名额各不相同，则8个名额的分配方式有{L2,5},{1,3,4}两种，

对于其中任一种名额分配方式，将其分配给3个单位的方法有可种，

所以每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的分配方法种数是2团=12种.

故答案为：12

（二）元素（位置）有限制的排列问题

5.【多选】（2023秋•江苏扬州•高二统考期末）现有2名男同学与3名女同学排成一排，则（）

A.女生甲不在排头的排法总数为24

B.男女生相间的排法总数为12

C.女生甲、乙相邻的排法总数为48

D.女生甲、乙不相邻的排法总数为72

【答案】BCD

【分析】A.利用排除法求解判断；B.利用插空法求解判断；C.利用捆绑法求解判断；D.利用插空法求解判

断.

【详解】A.女生甲在排头的排法有A：,所以女生甲不在排头的排法总数为A；-A：=96,故错误；

B.2名男同学全排列为A；种，产生3个空，再将3名女同学排上有A；种，所以男女生相间的排法总数为

A；A；=12,故正确；

C.女生甲、乙相邻看作一个元素，则A：种，女生甲、乙再排列有A；种，所以女生甲、乙相邻的排法总数为

A：Af=48种,故正确;

D.除女生甲、乙以外3人全排列有A；种，产生4个空，再将女生甲、乙排上有A；种，所以女生甲、乙不

相邻的排法总数A；A：=72种，故正确

故选：BCD

6.（2023秋・辽宁丹东•高二统考期末）甲、乙、丙、丁4名同学站成一排参加文艺汇演，若甲、乙不能同时

站在两端，则不同排列方式共有。

A.4种B.8种C.16种D.20种

【答案】D

【分析】在四人全排的排法中，减去甲、乙同时站在两端的排法，即可得解.

【详解】利用间接法，将四人全排，共A：=24种不同的排法，

若甲、乙同时站在两端，此时有A；A；=4种不同的排法.

因此，若甲、乙不能同时站在两端，则不同排列方式共有24-4=20种.

故选：D.

7.（2023秋•陕西宝鸡•高二统考期末）5名学生，1名教师站成前后两排照相，要求前排3人，后排3人，

其中教师必须站在前排，那么不同的排法共有（）

A.30种B.360种C.720种D.1440种

【答案】B

【分析】先排教师的位置，再排5名学生，从而可得不同的排法.

【详解】教师在前排，由3种排法，

5名学生，前排2位，后排3位，共有C；A；A；,

故不同的排法总数为3C；A；A；=360,

故选：B.

8.（2023秋・四川眉山•高二统考期末）某中学举行的秋季运动会中，有甲、乙、丙、丁四位同学参加100米短

跑决赛，现将四位同学安排在1,2,3,4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在2跑道，乙不

在4跑道的不同安排方法种数为（）

A.12B.14C.16D.18

【答案】B

【分析】根据题意，按甲是否在4道上分2种情况讨论，求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可

得答案.

【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：

①若甲在4道上，剩下3人任意安排在其他3个跑道上，有A；=6种排法，

②若甲不在4道上，甲的安排方法有2种，乙的安排方法也有2种，剩下2人任意安排在其他2个跑道上,

有2种安排方法，

止匕时有2x2x2=8种安排方法，

故共有6+8=14种不同的安排方法，

故选：B.

9.（2023秋•陕西西安•高二统考期末）甲、乙、丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有两

支正在等待检测的队伍，则甲、乙、丙三人不同的排队方案共有（）

A.12种B.18种C.24种D.36种

【答案】C

【分析】对该问题进行分类，分成以下情况①3人到A队伍检测，②2人到A队伍检测，③1人到A队伍检

测，④。人到A队伍检测；然后，逐个计算后再相加即可求解；注意计算时要考虑排队时的顺序问题.

【详解】先进行分类：①3人到A队伍检测，考虑三人在A队的排队顺序，此时有A；=6种方案；

②2人到A队伍检测，同样要考虑两人在A队的排队顺序，此时有A；=6种方案；

③1人到A队伍检测，要考虑两人在8队的排队顺序，此时有A；=6种方案;

④。人到A队伍检测，要考虑两人在B队的排队顺序，此时有A；=6种方案；

所以，甲、乙、丙三人不同的排队方案共有24种.

故选：C

10.（2023秋・广西河池•高二统考期末）用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且比1000大的四位偶数共

有（）

A.56个B.60个C.66个D.72个

【答案】B

【分析】分个位是。和不是0两种情况，去求用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且比1000大的四位

偶数

【详解】①末位是。时，满足条件的偶数有A：=24个；

②末位不是0时，满足条件的偶数有2A；A；=36个.

满足条件的四位偶数的个数为24+36=60,

故选：B.

（三）相邻问题的排列问题

11.（2023秋•福建泉州•高二福建省德化第一中学校考期末）甲、乙、丙3名数学竞赛获奖同学邀请2名指

导教师站在一排合影留念，若2名教师不相邻，且教师不站在两端，则不同的站法种数是（）

A.6B.12C.24D.48

【答案】B

【分析】利用分步计数原理即可求解.

【详解】先安排2名同学在两端，有段=6种方法，2名老师内部全排有段=2种方法，

2名老师不相邻，需剩余同学排两个老师中间，

根据分步计数原理，共有6x2=12种方法，

故选:B

12.（2023秋•上海徐汇•高二期末）用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求所有相邻两个数

字的奇偶性都不同，且1和2相邻，则这样的六位数的个数为（）

A.20B.40C.60D.80

【答案】B

【分析】利用分步计数原理分三步计算：第一步：先将3、5排列，第二步：再将4、6插空排列，第三步：

将1、2放到3、5、4、6形成的空中即可.

【详解】解：依题意分三步完成，

第一步：先将3、5排列，共有A；种排法；

第二步：再将4、6插空排列，共有2A；种排法；

第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有C；种排法.

由分步乘法计数原理得共有A>2A；.C；=40（种）.

故选:B

13.（2023秋・上海静安•高二校考期末）有8名学生排成一排，甲、乙相邻的排法种数为,甲不

在排头，乙不在排尾的排法种数为.（用数字作答）

【答案】1008030960

【分析】（1）把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外6人全排列；

（2）可采用间接法得到；

【详解】（1）把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外6人全排列，故有2用=10080种情况；

（2）利用间接法，用总的情况数减去甲在排头、乙在排尾的情况数，再加上甲在排头同时乙在排尾的情况，

故有A；-2A；+A上30960种情况

故答案为：10080；30960

14.（2023秋•上海崇明•高二统考期末）某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，

恰有两辆车停放在相邻车位的方法有种.

【答案】120

【分析】从3辆车中挑出2辆车排列好之后进行捆绑看作一个元素，另一辆看作另一个元素，这两个元素

不相邻，将这两个元素插入另外4个车位形成的5个空位中.

【详解】从3辆车中挑出2辆车排列好之后进行捆绑看作一个元素，有号=6种方法；

另一辆看作另一个元素，这两个元素不相邻，将这两个元素插入另外4个车位形成的5个空位中，有A；=20

种，

因此共有A；A；=120种.

故答案为：120

（四）不相邻排列问题

15.（2023秋・河北唐山•高二校考期末）将4个1和2个。随机排成一行，则2个。不相邻的方法有（）

A.5种B.6种C.A种D.20种

【答案】C

【分析】利用插空法计算可得，需注意4个1不需要排列；

【详解】解：依题意利用插空法，4个1有5个位置可以放0,故方法有C；=10种；

故选：C.

16.（2023秋•贵州黔东南•高二统考期末）小红，小明，小芳，张三，李四共有5名同学参加演讲比赛，在

安排出场顺序时，小红、小明排在一起，且小芳与小红、小明都不相邻的概率为（）

A.—B.-C.-D.-

10655

【答案】C

【分析】利用捆绑法和插空法进行求解即可.

【详解】解：由题意得：

5名同学参加演讲比赛出场顺序总的方法：A?=120种；

将小红小明捆在一起，然后张三李四两个排列，再后小芳与小红小明组插空，总的方法数有：2A；A；=24种

2A2A2241

在安排出场顺序时，小红、小明排在一起，且小芳与小红、小明都不相邻的概率为七三=赤=£

故选：C

17.（2023秋・重庆渝中•高二重庆巴蜀中学校考期末）4个人随机去坐连成一排的11个座位，由于受新冠疫

情影响，要求他们每两人之间至少留有一个空位，则不同的坐法有种.

【答案】1680

【分析】利用插空法求解即可.

【详解】4个人坐11个座位，有7个空位，7个空位产生8个空挡，选4个空挡给4个人坐，有A；=1680种

坐法.

故答案为：1680

18.（2023秋•陕西咸阳•高二校考期末）现有7位同学（分别编号为A,B,C,D,E,F,G）排成一排拍

照，若其中A,B,C三人互不相邻，D,E两人也不相邻，而凡G两人必须相邻，求不同的排法总数.

【答案】240种

【分析】把A2，C排列，产生4个空位，然后将尸,G看作一个整体与RE插入到A,民C中可求解.

【详解】解：因尸,G两人必须相邻，所以把尸,G看作一个整体有A；种排法.

又AB,C三人互不相邻，。后两人也不相邻，所以把A,B,C排列，有A；种排法，产生了4个空位，再用插

空法.

（1）当DE分别插入到A民C中间的两个空位时，有A；种排法，再把尸,G整体插入到此时产生的6个空

位中，有6种排法.

（2）当DE分别插入到AEC中间的两个空位其中一个和两端空位其中一个时，有C>C1A；=8种排法,

此时尸,G必须排在A,2,C中间的两个空位的另一个空位，有1种排法.

所以共有A]ANA16+C；C-A；）=240.

19.（2023秋・河南安阳•高二统考期末）2022年央视春晚出现了很多优秀的歌曲、小品、相声等节目，现将

歌曲《你是我生命中的礼物》《我们的时代》《爱在一起》《春天的钟声》，冬奥主题歌曲《点亮梦》，小品《父

与子》《还不还》《喜上加喜》《发红包》《休息区的故事》，相声《欢乐方言》《像不像》这12个节目进行排

列，则冬奥主题歌曲《点亮梦》排在最后一位，相声《欢乐方言》与《像不像》不相邻，小品《喜上加喜》

与《发红包》相邻的概率是（）

,12-2-4

A.----B.-----C.—D.—

1651655555

【答案】B

【分析】基本事件的总个数是12个节目的全排列数，所求概率事件所含有的基本事件方法数用排列的知识

求解：冬奥主题歌曲在最后一位，先放好，其他的相邻的用捆绑法作为一个元素，不相邻的用插空法计算

可得，然后由概率公式计算.

【详解】所求事件发生的概率为尸=卑/=之，

A；；165

故选：B.

20.（2023秋•湖南永州•高二永州市第一中学校考期末）A,B,C,D,E,尸这6位同学站成一排照相，要

求A与C相邻且A排在C的左边，8与。不相邻且均不排在最右边，则这6位同学的不同排法数为（）

A.72B.48C.36D.24

【答案】C

【分析】第一步：捆绑AC与除8、。以外的其他2位同学进行排列

第二步：B,D采用“插空法”；

然后根据分步乘法计数原理即可得到答案

【详解】首先将A与。捆绑到一起，与除以。以外的其他2位同学共3个元素进行排列，有A；=6种排法,

再将8、。插空到除最右边的3个位置中，有A；=6种排法，因此共有6x6=36种排法，

故选：C

（五）定序问题

21.（2023秋・上海金山•高二上海某中学校考期末）某次演出有6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先

后顺序已确定，则不同的排法有一种.

【答案】120

【分析】根据已知条件求出6个节目全排的种数，再求出甲、乙、丙3个节目全排的种数，二者相除即可

求解.

【详解】演出中的6个节目全排列有A：=6x5x4x3x2x1=720.

甲、乙、丙3个节目全排列有A；=3x2xl=6,

所以演出中的6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有当=学=120,

A；6

故答案为：120.

22.（2023秋•安徽合肥・高二合肥市第十一中学校联考期末）有3名男生与4名女生，在下列不同条件下，分

别求排法种数（要求用数字作答）.

（1）全体排成一排，女生必须站在一起；

（2）全体排成一排，男生互不相邻；

（3）全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变.

【答案】（1）576；（2）1440；（3）840.

【分析】（1）相邻问题采用捆绑法即可求出排法种数；

（2）不相邻问题采用插空法即可求出排法种数；

（3）根据定序法即可求出排法种数.

【详解】（1）将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A：种方法，再将4名女生进行全排

列，也有A：种方法，故共有A；xA：=576种排法；

（2）男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A：种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位

中任选3个空位排男生，有A；种方法，故共有A"A；=1440种排法.

（3）把3名男生与4名女生进行全排列，共有A；中排列方法，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变有

亲=840种排列方法.

23.（2023秋.天津滨海新•高二天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）在8所高水平的高校代表队中，选

择5所高校进行航模表演.如果M、N为必选的高校，并且在航模表演过程中必须按先"后N的次序（M、

N两高校的次序可以不相邻），则可选择的不同航模表演顺序有.

【答案】1200.

【分析】首先从从8所高校中选出5所，除去V、N还需要选3所，再分M、N两高校不相邻和M、N

两高校相邻两种情况即可求出结果.

【详解】从8所高校中选出5所，除去M、N还需要选3所，选法是C：种，当M、N两高校不相邻时，

不同的表演顺序有C：A：C；=720,当“、N两高校相邻时，不同的表演顺序有C；A：=480,因此可选择的

不同航模表演顺序有720+480=1200种.

故答案为：1200.

24.（2023秋•全国•高二期末）某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢联欢会，原定表演6个节目，

已排成节目单，开演前又临时增加了2个互动节目.如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为（）.

A.42B.56C.30D.72

【答案】B

【分析】利用倍缩法，先将8个节目排好，由于原来6个节目顺序不变，则要除以原有的6个节目对应的

不同排法，即可得解.

【详解】解：增加2个互动节目后，一共有8个节目，这8个节目的不同排法有履种，

而原有的6个节目对应的不同排法共有4种，

所以不同的排法有与=56（种）.

故选：B.

（六）正难则反

25.（2023秋•吉林・高二校联考期末）2022年6月17日，我国第三艘航母“福建舰”正式下水.现要给“福建

舰”进行航母编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每

侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为（）

A.72B.324C.648D.1296

【答案】D

【分析】先排核潜艇，再分配3艘驱逐舰和3艘护卫舰，用舰艇任意的分配数减去同侧都是同种舰艇的分

配数，再根据分步乘法原理即可求得答案.

【详解】由题意，2艘攻击型核潜艇一前一后，分配方案有A；=2种，

3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，任意分配有A。=720种，

同侧的是同种舰艇的分配方案有2A；A；=72种，

故符合题意要求的舰艇分配方案的方法数为A；（A：-2A；A；）=2（720-72）=1296,

故选：D

26.（2023秋・全国•高二期末）某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支

教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有（）种

A.9B.36C.54D.108

【答案】C

［分析】根据给定条件利用排列并结合排除法列式计算作答.

【详解】从含有3名男教师和2名女教师的5名教师中任选3名教师，派到3个不同的乡村支教，不同的

选派方案有A；种，

选出3名教师全是男教师的不同的选派方案有A；种，

所以3名教师中男女都有的不同的选派方案共有A；-A；=54种

故选：C

27.【多选】（2023秋・广东清远•高二统考期末）现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A,B,C,D,

E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（）

A.所有可能的安排方法有125种

B.若A医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种

C.若专家甲必须去A医院，则不同的安排方法有16种

D.若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种

【答案】AB

【分析】利用分步计数原理及排列知识逐项分析即得.

【详解】对于A,每名专家有5种选择方法，则所有可能的安排方法有53=125种，A正确；

对于B,由选项A知，所有可能的方法有9种，A医院没有专家去的方法有4,种，

所以A医院必须有专家去的不同的安排方法有5,-4,=61种，B正确；

对于C,专家甲必须去A医院，则专家乙、丙的安排方法有52=25种，C错误；

对于D,三名专家所选医院各不相同的安排方法有A；=60种，D错误.

故选：AB.

考点二组合的基本问题

(一)实际问题中的组合问题

28.(2023秋•上海黄浦•高二上海市向明中学校考期末)如图，在某城市中，两地之间有整齐的6x6方

格形道路网，其中A是道路网中的一点.今在道路网M,N处的甲、乙两人分别要到处，其中甲每步

只能向右走或者向上走，乙每步只能向下或者向左走.

⑴求甲从M到达N处的走法总数；

(2)求甲乙两人在A相遇的方法数.

【答案】⑴924种

(2)50625种

【分析】(1)甲从M到达N需要走12步，结合分步计算原理即可得到方法数；

(2)分别求出甲经过A的方法数，乙经过A的方法数，即可得到甲乙在A相遇的方法数.

【详解】(1)甲从M出发走到N需要走12步，向右、向上各走6步，走法总数为C：z=924种.

(2)甲经过A的方法数为=225种，乙经过A的方法数为©)2=225种，

所以甲乙两人在A相遇的方法数为225x225=50625种.

29.(2023秋・山东临沂•高二统考期末)某校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴

趣小组活动.现有A,B,C,。四名同学拟参加足球、篮球、排球、羽毛球、乒乓球等五项活动，由于受

个人精力和时间限制，每个人只能等可能的参加其中一项，则恰有两人参加同一项活动的概率为()

96724824

A.D.•D.

125125125125

【答案】B

【分析】首先分析得到四名同学总共的选择为54个选择,然后分析恰有两人参加同一项活动的情况为C：C；,

则剩下两名同学不能再选择同一项活动，他们的选择情况为Aj,再根据古典概型的概率公式计算可得.

【详解】解：,每人只能等可能的选择参加五项活动中的一项活动，且可以参加相同的活动,

・•.四名同学总共的选择为5x5x5x5=54个选择，

恰有两人参加同一项活动的情况为C：C；,剩下两名同学的选择有A；种，

恰有两人参加同一项活动的概率为翼卢

故选：B.

30.（2023秋・河南信阳•高二统考期末）用红、黄、蓝，紫四种颜色随机地给正四面体的四个顶点染色，则“恰

有一个面上的三个顶点同色”的概率为。

A.gB.-C.-D.—

23416

【答案】D

【分析】求得每个顶点各有四种涂色方法总数为“=256,再求得“恰有一个面上的三个顶点同色“包含的基

本事件个数机，结合古典撷型的概率公式，即可求解.

【详解】用红、黄、蓝、紫四种颜色随机地给正四面体的四个顶点染色，

基本事件总数〃=4"=256,

恰有一个面上的三个顶点同色“包含的基本事件个数根=C：C；C；=48,

贝产恰有一个面上的三个顶点同色”的概率为P='m=W48=737

n25616

故选：D.

31.（2023秋•上海闵行•高二校考期末）书架上有2本不同的数学书,3本不同的语文书,4本不同的英语书.若

从这些书中取不同科目的书两本，有一种不同的取法.

【答案】26

【分析】分三种情况讨论即可求解.

【详解】取两本不同科目的书，可以分三种情况：

①一本数学书和一本语文书，有C；xC；=6种；

②一本数学书和一本英语书，有C；xC；=8种；

③一本语文书和一本英语书，有C；xC；=12种.

根据分类加法计数原理，共有6+8+12=26种不同的取法.

故答案为：26

（-）代数中的组合计数问题

32.（2023春・四川攀枝花•高二统考期末）千年一遇对称日，万事圆满在今朝，2021年12月02日又是一个

难得的“世界完全对称日“（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把20211202这样的对称自

然数叫回文数，两位数的回文数共有9个（11,22,,99）,其中末位是奇数的11,33,55,77,99又叫做回文奇数，

则在（10,10000）内的回文奇数的个数为一.

【答案】1。5

【分析】根据分类加法计数原理，结合题中定义、组合的定义进行求解即可.

【详解】两位数的回文奇数有11,33,55,77,99,共5个,

三位数的回文奇数有C・=50,

四位数的回文奇数有C；•%=50,

所以在（10,10000）内的回文奇数的个数为5+50+50=105,

故答案为：105

33.（2023春・江苏南通・高二江苏省如皋中学校考期末）从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8

中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有个.（用数字作答）

【答案】1296

【分析】根据取出的数字是否含有零，分类讨论，若不含零，则有四位数个，若含有零，则有四位

数团个，再根据分类加法计数原理即可求出.

【详解】若取出的数字中不含零，贝U有四位数C：C：A：=6x6x24=864j；

若取出的数字中含零，则有四位数=6x4x3x6=432个；

所以，这样的四位数有864+432=1296个.

故答案为：1296.

34.（2023秋•陕西西安・高二统考期末）若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服

务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（）

A.18种B.24种C.36种D.72种

【答案】C

【分析】先选后排可得答案.

【详解】将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，

则不同的安排方法共有=36种.

故选：C.

（三）几何组合计数问题

35.（2023春•上海杨浦•高二上海市杨浦高级中学校考期末）在正方体的12条棱中任选3条，其中任意2条

所在的直线都是异面直线的概率为（）

A.±B,Ac.3D.A

55555555

【答案】B

【分析】根据正方体的性质确定3条棱两两互为异面直线的情况数，结合组合数及古典概率的求法，求任

选3条其中任意2条所在的直线是异面直线的概率.

【详解】如下图，正方体中如：耳,G，中任意2条所在的直线都是异面直线，

这样的3条直线共有8种情况，

82

任选3条，其中任意2条所在的直线都是异面直线的概率为^r=—.

故选：B.

36.（2023春•黑龙江鹤岗•高二鹤岗一中校考期末）已知直线以+力-1=0（a，b不全为0）与圆f+y2=50

有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有条.

【答案】72

【分析】确定圆上整点个数，过其中任两点的直线去除过原点的直线，以及过整点的切线均符合题意，由

此可得结论.

【详解】圆x2+V=50在第一象限内有（1,7）,（5,5）,（7,1）三个整点，圆与坐标轴交点不是整点，因此共

有12个整点，过其中任两点的直线有C[=66条，其中有6条过原点去除，另外过圆的任一整点还各有一

条切线，因此所求直线的条数为66-6+12=72.

故答案为：72.

37.（2023秋•全国•高二期末）如图，已知面积为1的正三角形A3C三边的中点分别为。，E,F,则从A,

B,C,D,E,产六个点中任取三个不同的点构成的面积为;的三角形的个数为（）

4

A.4B.6C.10D.11

【答案】c

【分析】分两类；两个中点和一个顶点构成的三角形，三个中点构成的三角形，由分类加法计数原理可求.

【详解】从A,B,C,D,E,尸六个点中任取三个不同的点构成的面积为;的三角形有两类：

4

第一类，两个中点和一个顶点构成的三角形，共有C；C；=9（个）；

第二类，三个中点构成的三角形，共有c；=l(个),

由分类加法计数原理，知面积为!的三角形的个数为9+1=10.

4

故选：C.

考点三排列、组合的综合问题

(一)分堆与分配问题

38.(2023秋•黑龙江哈尔滨•高二校考期末)现有6本不同的书，如果满足下列要求，分别求分法种数.

(1)分成三组，一组3本，一组2本，一组1本；

(2)分给三个人，一人3本，一人2本，一人1本；

(3)平均分成三个组每组两本.

【答案】(1)60；

(2)360；

(3)15.

【分析】(D根据题意，由分步计数原理直接计算可得答案；

(2)根据题意，先将6本书分为1、2、3的三组，再将分好的三组分给3人，由分步计数原理计算可得答

案；

(3)根据题意，由平均分组公式计算可得答案.

【详解】(1)根据题意，第一组3本有C1种分法，第二组2本有C；种分法，第三组1本有1种分法，

所以共有C：C；xl=60种分法.

(2)根据题意，先将6本书分为1、2、3的三组，有C；C；xl=60种分法,

再将分好的三组分给3人，有A；=6种情况,

所以共有60x6=360种分法.

(3)根据题意，将6本书平均分为3组，有=15种不同的分法.

A；

39.(2023秋・河南南阳•高二邓州市第一高级中学校校考期末)为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推

进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将2名医生和6名护士分配到2所学校，设立疫苗

接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和3名护士，则不同的分配方法

共有种.

【答案】40

【分析】任选1名医生和3名护士，将医护人员分成两组安排到2所学校即可.

【详解】1、选1名医生和3名护士的方法数为C；或种；

2、由第一步得到两组医护人员，将其安排到2所学校的方法数为辛种.

rlr3

所以不同的分配方法共有•用=40种.

故答案为：40

40.（2023春・北京•高二北京八中校考期末）为迎接第24届冬季奥运会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5

名学生担任冰球、冰壶和短道速滑二个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，每人只能安排到1个

项目，则所有排法的总数为（）

A.60B.120C.150D.240

【答案】C

【分析】结合排列组合的知识，分两种情况求解.

【详解】当分组为1人」人,3人时，有=10x6=60种，

当分组为1人，2人，2人时有•用=90种,

所以共有60+90=150种排法.

故选：C

41.（2023秋・安徽黄山•高二统考期末）某校从8名青年教师中选派4名分别作为四个学生社团的指导教师，

每个社团各派去1名教师，其中教师甲和乙不能同时参加，甲和丙只能都参加或都不参加，则不同的选派

方案有（）

A.360种B.480种C.600种D.720种

【答案】C

【分析】根据题意分三种情况：甲参加，乙不参加，或甲不参加，乙不参加，或甲不参加，乙参加，求出

分配的方法数，然后利用分类加法原理可求得结果

【详解】若甲参加，乙不参加，则丙参加，只需从剩余5人中选出2人，再分配即可，此时有：C，A：=240

种情况；

若甲不参加，乙不参加，则丙不参加，只需从剩余5人中选出4人，再分配即可，此时有：C1A：=12。种

情况;

若甲不参加，乙参加，则丙不参加，只需从剩余5人中选出3人，再分配即可，此时有：C〉A：=240种情

况；

故共有：240+120+240=600种情况.

故选：C.

42.（2023秋•陕西西安•高二统考期末）当前，国际疫情仍未得到有效控制，国内防控形势依然严峻、复杂.

某地区安排A,B,C,。四名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，每人只去一个

地区，且48两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（）

A.24种B.30种C.36种D.72种

【答案】B

【分析】分A和8各去一个地区，CD同去一个地区；A和C,。中的1人同去一个地区，8和另一人各去

一个地区；3和中的1人同去一个地区，A和另一人各去一个地区分别计算，再由分类加法原理求解

即可.

【详解】若A和3各去一个地区，CO同去一个地区，则共有A；=6种方案；若A和中的1人同去一

个地区，8和另一人各去一个地区，则共有C；A；=12种方案；

若B和中的1人同去一个地区，A和另一人各去一个地区，则共有C；A；=12种方案；由分类加法原理

可得共有6+12+12=30种方案.

故选：B.

43.（2023秋•福建莆田•高二莆田一中校考期末）现有5名师范大学毕业生主动要求到西部某地的甲、乙、

丙三校支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配到甲校的概率为。

23cl2

A.-B.—C.—D.—

55515

【答案】A

【分析】首先求分组分配后的方法种数，再求恰好有2名大学生分配到甲校的方法种数，再求概率.

【详解】按1+1+3分组：C；=10种（1与1自然成堆），从而有盥？00=

按1+2+2分组：—=15种，从而有U^xA；=90,

A；A；

故所有的分配方法有60+90=150种，

甲校恰好分配到两人的分配方法有C；C；A；=60种，则概率为尸=告=（.

故选：A.

44.（2023秋•福建福州•高二福建省福州延安中学校考期末）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，

每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为.

【答案】30

【分析】先取2人一组且甲乙不在一组共有C：-1=5种，与剩余2人一起分配到3个不同的班级，再由分

步乘法计数原理求得结果.

【详解】取两个人一组，其中甲乙不在一组，共有C：-l=5种取法，

剩余的2人和这一组分别分到三个不同的班级共有A；=6种分法，

由分步乘法计数原理知，不同分法的种数为5X6=30种.

故答案为：30

45.【多选】（2023秋・吉林长春・高二长春吉大附中实验学校校考期末）现有5名同学报名参加3个不同的课

后服务小组，每人只能报一个小组（）

A.若报名没有任何限制，则共有5?种不同的安排方法

B.若报名没有任何限制，则共有3,种不同的安排方法

C.若每个小组至少要有1人参加，则共有540种不同的安排方法

D.若每个小组至少要有1人参加，则共有150种不同的安排方法

【答案】BD

【分析】利用分步计数原理及排列组合分析即得.

【详解】5名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能报一个小组，

若报名没有任何限制，则每人都有3种选择，故共有出种不同的安排方法，故B正确，A错误；

若每个小组至少要有1人参加，则先分组后排列，

先将5名同学分为三组有C；+C空=25种方法，

再将分好的三组分到3个不同的课后服务小组有A；=6种情况，

所以每个小组至少要有1人参加，则共有25x6=150种不同的安排方法，故C错误，D正确.

故选：BD.

（-）数字排列问题

46.（2023秋・上海嘉定•高二上海市嘉定区第一中学校考期末）（1）用1、2、3、4、5可以组成多少个四位

数？

（2）用0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？

【答案】（1）若组成的四位数的数字不能重复，可组成120个四位数；若组成的四位数的数字能重复，可

组成625个四位数

（2）156个

【分析】（1）分数字重复和不重复讨论，根据排列组合计算即可.

（2）偶数先确定个位数字为0或2或4,再分三类讨论，最后根据加法计数原理可得结果.

【详解】解：（1）①若组成的四位数的数字不能重复，则可组成的四位数有：C>A；=5x4x3x2=120（个）

②若组成的四位数的数字能重复，则可组成的四位数有：54=625（个）

综上所述，结论是：若组成的四位数的数字不能重复，可组成120个四位数；若组成的四位数的数字能重

复，可组成625个四位数.

（2）满足偶数按个位数字分成三类：个位是。或2或4,

①个位是0的，即需要从1,2,3,4,5这5个数中选出3个分别放在千、百、十位，

有C>C：C=5x4x3=60j；

②个位是2的，千位需要从1,3,4,5这4个数中选出1个有4种选法，从剩下的4个数字中选出2个分

别放在百位、十位，有C:C；=4x3=12个，所以个位是2的偶数有4x12=48个；

③个位是4的，也有48个；

综上所述，用0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字的四位偶数有60+48+48=156个.

47.（2023秋・吉林长春•高二统考期末）从2,4,6,8中任取3个数字，从1,3,5,7,9中任取2个数字，

一共可以组成个没有重复数字的五位偶数（用数字作答）.

【答案】2880

【分析】利用分步乘法计数原理，结合排列组合，按位置分析法列式计算作答.

【详解】先按给定条件取出偶数和奇数，有C：C；种方法，再从3个偶数中取1个放在个位，