2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 平面 学案

8.4.1平面

【学习目标】(1)了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.(2)能用符号语言描

述空间点、直线、平面之间的位置关系.(3)掌握关于平面基本性质的三个基本事实.

【问题探究】

(1)生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的

大草原等，你能说出平面的一些几何特征吗？

(2)在凹凸不平的地面上放一个三条腿的凳子和一个四条腿的凳子，哪个稳定？若把直

尺边缘上的任何两点放在桌面上,直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系？两张纸面相交有

几条交线？

题型1文字语言、图形语言、符号语言的相互转化

例1用符号表示下列语句，并画出图形：

⑴点/在平面a内但在平面£外；

(2)直线a经过平面a内一点4平面a外一点8；

(3)直线a在平面a内，也在平面£内.

学霸笔记：(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、

几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示，再用符号语言表示.

(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.

跟踪训练1根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应

的图形.

(1)7ca,a—A,Ml-,

②PRl,甩a,QR1,QRa.

题型2点、线共面问题

例2

如图所示，7inl2=A,l2nl3=A=C求证：直线Z，-12,乙在同一平面内.

题后师说

证明点、线共面的2种常用方法

跟踪训练2

%Q./

如图，已知aua,6ua,adb=A,PGb,PQ//a,求证：PQc.a.

题型3点共线问题

例3如图，在正方体力死中，点这儿£,户分别是棱切，AB,DR,必上

的点，若MN与EF交于点、Q,求证：D,A,0三点共线.

题后师说

证明三点共线的方法

首先找出两个平面，然后证明三点都是这两

个平面的公共点，根据基本事实3可知，这

些点都在这两个平面的交线上

选择其中两点确定一条直线，然后证明另一

点也在此直线上

跟踪训练3

已知△/回在平面a外，ABCa=P,AO\a=R,BO\a=Q,如图.求证：P、Q、R

三点共线.

题型4线共点问题

例4

如图所示，在正方体中，E、尸分别为48、的中点.求证：CE,IXF,

的三线交于一点.

题后师说

证明三线共点的一般步骤

跟踪训练4如图，己知平面a,£,且ac8=/,设梯形能力中，AD//BC,且Wu

a,5u£.求证：AB,CD,，共点.

随堂练习

2.如果点/在直线a上,而直线a在平面a内，点6在平面a内，则可以表示为（）

A.Aca,aua,BWaB./Ga,aca,BGa

C.Aca,aGa,BuaD.A^a,ada,BGa

3.如图所示，用符号语言可表示为（）

A.。nB=m,nua,mC\n=A

B.anB=m,nGa,mn=A

C.P=m,nua,Au/n,Aun

D.aAP=m,〃£a,AUm,A^n

4.不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定个平面.

课堂小结

L平面的概念.

2.三个基本事实.

3.利用三个基本事实证明共面、共线、共点问题.

8.4.1平面

问题探究提示：(1)无限延展、不计大小、不计厚薄等.

(2)三条腿的凳子稳定；直尺的边缘上的其余点在桌面上；两张纸面相交有一条交线.

例1解析：(1)因为点/在平面。内但在平面£外，所以可以用下图表示：

(2)因为直线a经过平面a内一点4a外一点6,所以可以用下图表示:

⑶因为直线a在平面。内，也在平面0内，所以可以用下图表示:

aC.a,aC.p\\

跟踪训练1解析：（1）直线/在平面a内，直线m与平面。相交于点4且点力不在

直线,上，如下图所示：

⑵直线/经过平面a外一点尸和平面a上一点Q,如下图所示:

例2证明：方法一（纳入法）

,.,lini2=A,，li和Iz确定一个平面a.

,.,l2ni3=B,.-.Bei2.

又•.,Lua,.，.Bea.同理可证Cda.

•/Bels,Cei3,/.l3ca.

直线L,k,k在同一平面内.

方法二（同一法）

,.TmL=A,和L确定一个平面a.

••,l2ni3=B,AL,L确定一个平面B.

；4人,Lua,：.A^a.'：AE：12,比£,£.

同理可证方Ga,BGS,CGa,CWB.

.•.不共线的三个点4B,C既在平面a内，又在平面£内.

，直线Ji,12,乙在同一平面内.

跟踪训练2证明：因为园〃a,所以户0与a确定一个平面£,所以直线au£,点户e0.

因为PEb,6ua,所以Pea.又因为aua,再a,所以a与£重合，所以PQc.a.

例3证明：MNCEF=Q,

直线.0G直线不

又直线切，旌直线/氏平面/8切，力氏平面/及方，

：.M,%平面切，

.•.仞仁平面ABCD.

平面ABCD.

同理，可得0G平面ADDiAi.

又,；平面ABCDC平面ADBAi=AD,

直线即〃A,0三点共线.

跟踪训练3证明：方法一,：ABna^P,:.PRAB,户G平面a.

又平面46C,...jPe平面

由基本事实3可知：点户在平面4%与平面。的交线上，

同理可证0、A也在平面/回与平面a的交线上.

:.P、0、7?三点共线.

方法二'：APHAR=A,

直线2户与直线4?确定平面APR.

又,：ABC!a=P,ACna=R,

平面平面a=PR.

平面平面平面如沃

.•.0G平面APR,又a,

:.QGPR.：.P、Q、7?三点共线.

例4证明：连接跖IXC,AB,

为的中点，/为阴1的中点，

：.EF//A.B,EF=%B,

2

又,：A\B"队C,AiB=KC,

：.EF//IXC,EF=2DC

2

:.E、F、仄、C四点共面，且四边形MAC为梯形.

-：EF<DlC,直线以尸与"交于一点.

设。FHCE=P,如图.

平面PGDvF,

.•.尸e平面AAMD.

又「Bu平面/及R,PQCE,

.•.卢e平面/比

；•产是平面/及/与平面朋也〃的公共点.

又..,平面ABCDQ平面AAxIXD=AD,

:.PGAD,

：.CE,及F,物三线交于一点.

跟踪训练4证明：

:在梯形46切中，

AD//BC,

与必必交于一点，

设交CD于M.

贝MGCD,

又,：ABca,Ot£,

:.MGa,£,

又,:an0=1,

：.AB,CD,，共点.

［随堂练习］

1.解析：选项B、C中直线a在平面a外，选项D中直线a与平面a相交，选项A

中直线a在平面a内.故选A.

答案：A

2.解析：点/在直线a上，而直线a在平面a内，点方在平面a内，表示为/Ga,

aca,BE：a.故选B.

答案：B

3.解析