2024年广东省高考数学一轮复习第5章第5讲：复数（附答案解析）

2024年广东省高考数学一轮复习第5章第5讲：复数

【考试要求】1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数

相等的含义3掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的儿何意义.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.复数的有关概念

(1)复数的定义：形如〃+加(。，人CR)的数叫做复数，其中更是复数z的实部，殳是复数z的

虚部，i为虚数单位.

(2)复数的分类：

复数z=a+Z?i(a,ZJGR)

实数3三0),

.虚数(6差0)(当a三0时为纯虚数).

(3)复数相等:

a+bi—c+di^a=cH.b=d(a,b,c,deR).

(4)共枕复数：

a+6i与c+di互为共辗复数0a=c,b=—d(a,b,c,JeR).

⑸复数的模：

向量应的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作也土加或因,即|z|=|a+历|=液层+层(小

Z?£R).

2.复数的几何意义

(1)复数z=a+5(a,6GR)复平面内的点Z(a,b).

—,_，，A

(2)复数z=o+例(a,Z?eR)」平面向量OZ.

3.复数的四则运算

⑴复数的加、减、乘、除运算法则:

设zi=〃+Z?i,Z2=c+di(a,b,c,d£R),则

①加法：zi+z2=(a+bi)+(c+$)=(a+c)+(b+d)i；

②减法：z\-Z2=(a+〃i)—(c+H)=(〃-c)+(Z?—tZ)i；

③乘法：z]2=(〃+Z?i)•(c+di)=(ac—拉Z)+(ad+Z?c)i；

zia+5(a+bi)(c-di)ac+bdbc—ad.

④除法:Z2c+di(c+di)(c—di)c^+d2CX°)

(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.

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z

Z\

如图给出的平行四边形。乙ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即龙=次+

。?2，Z|Z2=OZ2—0Z\.

【常用结论】

.,1+i.1-i

1.(l±i)~=±2i；,rr—i；,.---i.

l—ilt+i

2.+ai=i(a+历)(“，bWR).

3.j4"=],j4"+l=i,j4"+2=_],i4"+3=_i(〃wN).

4.i4fl+i4n+l+i4n+2+i4n+3=0(«eN).

5.复数z的方程在复平面上表示的图形

(l)aW|z|W〃表示以原点0为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；

(2)|z—(。+历)|=可->0)表示以(。，Z?)为圆心，，,为半径的圆.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打"J"或"X”)

(1)复数z=a一5(a,SGR)中，虚部为6.(X)

(2)复数可以比较大小.(X)

(3)已知z=a+bi(a，bWR),当。=0时，复数z为纯虚数.(X)

⑷复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的

模.(J)

【教材改编题】

1.已知复数z满足z(l+i)=2+3i,则在复平面内z对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案A

解析因为复数z满足z(l+i)=2+3i,

的12+3i(2+3i)(l-i)5+i5,1.

所以z-i+i-q+i)(]—0-2~2+21'

所以在复平面内z对应的点位于第一象限.

2.若z=(m2+m—6)+(m—2)i为纯虚数，则实数m的值为.

答案一3

3.已知复数z满足(3+4i>z=5(l-i),则z的虚部是.

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答案-5

解析因为(3+4i>z=5(l—i),

斫闵_5(l_i)_5(l_i)(3_4i)_5(3_7i+4i2)_5(_L7i)_L7.

加以.z—3+省一(3+4i)(3—4i)—32-(4i)2-25-551-

7

所以z的虚部为一亍

・探究核心题型

题型一复数的概念

例1（1）（多选）（2023・潍坊模拟）已知复数z满足|z|=|z-l|=l,且复数z对应的点在第一象限,

则下列结论正确的是（）

A.复数z的虚部为坐

1=1-^

氏BZ221

C.z2=z+l

D.复数z的共轨复数为-3+乎i

答案AB

解析设复数z=〃+bi（〃，〃WR）.

因为|z|=|z—l|=l,且复数z对应的点在第一象限，

cr+b2=\,[a=29

所以《（〃一1）2+户=1,解得《

、〃>0,b>0,1b—2，

即z=/+半i.

对于A,复数z的虚部为坐，故A正确;

对于D,复数z的共柜复数为/一乎i,故D错误.

⑵（2022•北京）若复数z满足i-z=3—4i,则|z|等于（）

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A.1B.5C.7D.25

答案B

3—4i(3—4i)i/

解析方法一依题意可得2=丁=艮F工=一4一3。所以|Z|=M(-4)2+(_3)2=5,故

选B.

方法二依题意可得i2・z=(3—4i)i,所以z=-4—3i,则|z|=1(_4)2+(-3)2=5,故选B.

z+i—

(3)(2022・泰安模拟)已知复数z满足丁=i,则z=.

答案|+1i

解析由W^=i,得z+i=zi,

.一i-i(l+i)Lil_i

•，Z=7^1=(1-i)(l+i)=^-=：2-2-

则z=1+|i.

思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只

需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.

⑵解题时一定要先看复数是否为a+6i(“，6GR)的形式，以确定实部和虚部.

O—1—;

跟踪训练1(1)(2023・淄博模拟)若复数z=M的实部与虚部相等，则实数a的值为()

A.-3B.-1C.1D.3

答案A

物2+i(2+i)(〃-i)2a+l+(a-2)i

解析2="=伍+0伍_0_-^+i'

因为复数Z=|^1的实部与虚部相等，

所以2a+l=a—2,解得a=-3,

故实数a的值为-3.

⑵(2022•全国甲卷)若z=l+i,则|iz+3Tl等于()

A.44B.472C.2小D.2巾

答案D

解析因为z=l+i,所以iz+3z=i(l+i)+3(l—i)=i-1+3—3i=2—2i,

所以|iz+3^|=|2—2”=、22+(—2)2=2限.故选D.

⑶(2022•新高考全国I)若i(l-z)=l,则z+T等于()

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A.-2B.-1C.1D.2

答案D

解析因为i(l—z)=l,所以z=l—；=l+i,所以z=1—i,所以z+z=(1+i)+(l—i)=

2.故选D.

题型二复数的四则运算

例2（1）（2022.全国甲卷）若2=-1+小力则T—等于（）

ZZ—1

A.—1B.-1—小i

„1,^3.n1近.

C.-3+^-1D.-3-V

答案C

z____________—1+小i________—1+小i_1

解析

zz—1(―1+小i)(一1一小i)—1333

⑵（多选）（2022•福州模拟）设复数Z1,Z2,Z3满足Z3W0,且|Z1|=|Z2|,则下列结论错误的是（）

A.zi=±Z2B.z?=»

C.Z「Z3=Z2・Z3D.|Z|-Z3|=|Z2*Z3|

答案ABC

解析取Z|=l—i,Z2=l+i,显然满足同=比|=小，但Z1WZ2,Z1W—Z2,故A错误；因为

zf=-2i,»=2i,故B错误；再取Z3=l,显然C错误.

思维升华（1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算.（2）复数的除法：除法的关键

是分子分母同乘以分母的共机复数.

跟踪训练2（1）（2022・新高考全国H）（2+2i）（l—2i）等于（）

A.-2+4iB.-2-4i

C.6+2iD.6-2i

答案D

解析（2+2i）（l-2i）=2-4i+2i+4=6-2i,故选D.

（2）（2023・济宁模拟）已知复数z满足z/3=l-2i,则，的虚部为（）

A.IB.-1C.2D.-2

答案B

解析：z-i3=l—2i,

—zi=1—2i,

l—2i(l-2i)i

，z==2+i,

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z=2—i,

・・・z的虚部为一1.

题型三复数的几何意义

例3(1)(2023•文昌模拟)棣莫弗公式(cosx+isinx)〃=cos〃x+isin其中i为虚数单位)是由

法国数学家棣莫弗(1667—1754年)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数(cos专+isi吟〉在复

平面内所对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案C

解析由已知得(cos|+isin*)77兀।.7Kcos(兀+5)+isin(兀+7君T=兀..兀

=cos丁十isin-cosisin7=

6~66,

近1.

22b

.♦•复数(cos耒+isin1)7在复平面内所对应的点的坐标为(一坐，一0，位于第三象限.

⑵在复平面内，O为坐标原点，复数zi=i(—4+3i),Z2=7+i对应的点分别为Zi，Z2,则NZ1OZ2

的大小为()

，元c2兀一3兀一5兀

A-3BTC-TD~6

答案C

解析Vzi=i(—4+3i)=—3~4i,Z2=7+i,

/.OZi=(—3f—4),0^=(7,1),

.'.OZIOZ^=-21-4=-259

厉反一25

.*.COSZZIOZ：

'|西语5X5也2，

又NZIOZ2W[0,7t],.,.ZZiOZ2=y.

(3)设复数z在复平面内对应的点为乙原点为0,i为虚数单位，则下列说法正确的是()

A.若|z|=l,贝ljz=±l或z=±i

B.若|z+l|=l,则点Z的集合为以(1,0)为圆心，1为半径的圆

C.若IWIzlWg,则点Z的集合所构成的图形的面积为兀

D.若|z-l|=|z+i|,则点Z的集合中有且只有两个元素

答案c

解析若团=1,则点Z的集合为以原点为圆心，1为半径的圆，有无数个圆上的点与复数z

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对应，故A错误；

若|z+l|=l,则点Z的集合为以(一1,0)为圆心，1为半径的圆，故B错误；

若lW|z|W啦，则点Z的集合为以原点为圆心，分别以1和也为半径的两圆所夹的圆环，所

以点Z的集合所构成的图形的面积为?tX(-\/2)2—nX12=7T,故C正确；

若|z-l|=|z+i|,则点Z的集合是以点(1,0),(0,-1)为端点的线段的垂直平分线，集合中有

无数个元素，故D错误.

思维升华由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几

何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

跟踪训练3(1)设复数z满足(l—i)z=2i,则z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案B

解析由z=&=(］或缶=T+i,故z在复平面内对应的点为

所以z在复平面内对应的点位于第二象限.

⑵设复数z满足|z-l|=2,z在复平面内对应的点为(x,y),贝心)

A.(x-l/+y2=4B.(x+l)2+y2：:=4

C.—1)2=4D.f+0+1产=4

答案A

解析z在复平面内对应的点为(x,历,则复数z=x+yi(x,ySR),则|z—l|=|(x—l)+yi|=2,

由复数的模长公式可得(x-l)2+f=4.

⑶己知复数Z满足Iz+i|=|z-i|,则|z+l+2i|的最小值为()

A.1B.2C.小D.小

答案B

解析设复数z在复平面内对应的点为Z,

因为复数z满足|z+i|=|z—i|,所以由复数的几何意义可知，点Z到点(0,-1)和(0,1)的距离

相等，

所以在复平面内点Z的轨迹为x轴，

又|z+l+2i|表示点Z到点(一1,一2)的距离,

所以问题转化为无轴上的动点Z到定点(一1,—2)距离的最小值，

所以|z+l+2i|的最小值为2.

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课时精练

号基础保分练

1.（2022•浙江）已知a,b£R,a+3i=S+i）i（i为虚数单位），则（）

A.〃=Lh=-3B.a=—\,b=3

C.ci=-1,b—-3D.a=l,b=3

答案B

解析（4>+i）i=-l+6i,则由a+3i=—1+bi,得a=-1,b—3,故选B.

2

2.（2022.济南模拟）复数z=n（i为虚数单位）的虚部是（）

A.-1B.1C.-iD.i

答案A

物垢田名__22(l-i)2(1-i)_

解析因为Z―什］—(什］)(］_。—2—11

所以复数z的虚部为一1.

3.(2023・烟台模拟)若复数z满足(l+2i)z=4+3i,则z等于()

A.-2+iB.-2-i

C.2+iD.2-i

答案C

-LLI.,4+3i(4+3i)(l-2i),心皿一

解析由(1+2i)z=4+3i=z=不7=2-i>所以z=2+i.

1十21(I十21)(1—21)

4.(2023•焦作模拟)复数z=k[—i5在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案C

..—i<—i(2—i)—1—2i17

解析因为z=Tjy—i5=,---i=—

所以Z在复平面内对应的点为(一点一3,位于第三象限.

5.(2022•西安模拟)已知复数z满足(l-i)2z=2—4i,其中i为虚数单位，则复数三的虚部为

（）

A.1B.-1C.iD.-i

答案B

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2-4i2-4i2i+4

解析由题意，化简得z=^T^=F=丁=2+1，则z=2-i,

所以复数z的虚部为一1.

6.（2022・临沂模拟）已知复数z=^¥，i为虚数单位，则|z|等于（）

A.26B.2小C.2小D.2乖

答案C

(2+6i)(l+i)(2+6i)(l+i)r-nr-o丘

解析2—(1+31)(1+i)——2+41,|z|—^/4+16-2\5.

7.（2023•蚌埠模拟）非零复数z满足z=-zi,则复数z在复平面内对应的点位于（）

A.实轴B.虚轴

C.第一或第三象限D.第二或第四象限

答案C

解析由题意，设z=a+砥a,6GR）,

故z=—zi^a—bi=—（a+bi）i=-ai+b,

故a=b,—b——a,

即复数z=“+ai,在复平面内对应的点位于第一或第三象限的角平分线上.

8.（2022•文昌模拟）已知复数z=f（“eR,i是虚数单位）的虚部是一3,则复数z在复平面

内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案D

解析由题意，2=一="泮=2一5的虚部是一3,

所以Z在复平面内对应的点的坐标为（2,—3）,在第四象限.

9.i是虚数单位，设（l+i）x=l+yi,其中x,y是实数，则孙=,氏+）4=.

答案1V2

fx=l,

解析因为（l+i）x=l+yi,所以x+xi=l+yi,即彳所以x=y=l,

所以孙=1,|x+yi|=|l+i|=-\/l2+l2=V2.

10.（2022・潍坊模拟）若复数z满足z・i=2—i,则|z|=.

答案书

..../目2—i（2-i）（—i）

解析由z・i=2-i,付z=~•一=-2=-1-2i,

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.•.|z|=、(_1/+(_2)2=小.

w综合提升练

11.欧拉公式e"'=cos9+isin0(其中e=2.718…，i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创

立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉

为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，下列结论中正确的是()

A.e讥的实部为0

B.€方在复平面内对应的点在第一象限

C.|明=1

D.e加的共甄复数为1

答案C

解析对于A,e,,l=cosn+isinn=-1,则实部为-1,A错误；

对于B,e2i=cos2+isin2在复平面内对应的点为(cos2,sin2),

Vcos2<0,sin2>0,

.•.e"在复平面内对应的点位于第二象限，B错误；

对于C,|e1S|=|cos6+isin3\=yjcos26*+sin20=1,C正确；

对于D,ei"=cos兀+isin兀，则其共朝复数为cos兀一isin兀=—1,D错误.

12.(多选)(2022•济宁模拟)已知复数zi=-2+i(i为虚数单位)，复数Z2满足0一1+2i|=2,z2

在复平面内对应的点为M(x,)，)，则下列说法正确的是()

A.复数zi在复平面内对应的点位于第二象限

121.

D­

B.zi5571

C.(x+l)2+(y-2)2=4

D.|Z2—zil的最大值为3啦+2

答案ABD

解析对于A,复数zi在复平面内对应的点的坐标为(-2,1),该点位于第二象限，故A正确；

[1—2—i21

===--

对于B,^■_2+i(—2+i)(-2-i)55'(故B正确；

对于C,Z2—l+2i=(x—l)+(y+2)i,

；|Z2—l+2i|=2,

；.(x—l)2+(y+2)2=4,故C错误；

对于D,zi—1+2i——3+3i,

则|ZL1+2i|=^/(-3)2+32=3y[2.

\z2—Zi|=|(z2—1+2i)—(zi—1+2i)|W|z2—1+2i|+|zi—1+2i|=2+3^2,故D正确.

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13.若复数(x—3)+yi(x,)，GR)的模为2,贝吐的最大值为()

C苴

D2.2.3LD*.2

答案A

解析因为复数(x—3)+yi(x,y《R)的模为2,

所以(x—3)2+V=4,

表示以(3,0)为圆心，2为半径的圆，如图所示,

友表示过原点和圆上的点(无，y)的直线的斜率，由图可知，当直线与圆相切时，(取得最值,