广西三新学术联盟2023-2024学年高三年级上册11月联考数学试题含答案

2023年广西三新学术联盟高三年级11月联考

数学

本卷满分：150分，考试时间：120分钟.

注意事项：

1.答题前、考生先在答题卡上用直径05毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、学校、班级、准

考证号填写清楚，然后贴好条形码.清认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.

2.答选择题时、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动、

用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答

题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个逃项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合/=—4<211,则/03二（）

A.-2<x<2^B.|x|-2<x<C.1x|0<x<D.1x|0<x<

2.若2+4%=（a+i）（l+i）（其中QeR,i为虚数单位），则〃=（）

A.1B.2C.3D.4

3.为了得到函数y=2sin[4x+g]的图像，只需要将函数>=2sin4x的图像（）

A.向左平移乌JT个单位B.向右平移TT上个单位

1212

C.向左平移2IT个单位D.向右平移々TT个单位

33

4.已知向量5=（1,m）3=（3,—1）,若向量万与万垂直，则实数加的值为（）

A.-2B.1C.-2或1D.—

3

5.北京时间2023年10月31日8时11分，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，载人飞行任

务取得圆满成功.某高中学校在有120名同学的“航天”社团中随机抽取24名参加一个交流会，若按社团中

高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样，则高一年级抽取6人，若按性别比例分层随机抽样，则

女生抽取15人，则下列结论错误的是（）

A.24是样本容量

B.120名社团成员中男生有50人

C.高二与高三年级的社团成员共有90人

D.高一年级的社团成员中女生最多有30人

6.科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器.由中国科学院空天信息创

新研究院自主研发的极目一号III型浮空艇（如图1）从海拔4300米的中国科学院珠穆朗玛峰大气与环境综合

观测研究站附近发放场地升空，最终超过珠峰8848.86米的高度，创造了海拔9032米的大气科学观测海拔高

度世界纪录，彰显了中国实力.“极目一号”III型浮空艇长45米，高16米，若将它近似看作一个半球、一个

圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”III型浮空艇的表面积为（）

7.已知尸是椭圆C：W+《=l（a〉b〉O）的右焦点，点P在椭圆C上，线段尸尸与圆（x—+/=—

aby2）16

相切于点。，且网=3存，则椭圆C的离心率等于（）

2V2

A.B.C.D.

322T

8.已知45,c,£＞是体积为36〃的球体表面上的四点，4B=2,NNC5=90°,NNDB=30。，则平面C48与

平面。45的夹角的余弦值为（）

V6V101V3

A.---B.---C.—D.--

4433

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数g（x）=cos］2x+W）,则下列说法正确的是（）

TT

A.g（x）的最小正周期为万B.g（x）在区间0,-上单调递减

C.x=-W是函数g（x）图象的一条对称轴D.g（x）的图象关于点［-1|,o］对称

10.从1,2,3,4...2024这些数数据中篮选出“被3整除余2”且“被4整除余2”的数，并按从小到大的

顺序排成一列，构成数列｛%｝,其前〃项和为S“，则下面对该数列描述正确的是（）

B.数列｛亍｝为等差数列

A.tZ]=2

C.数列｛lna“｝为等差数列D.该数列｛4｝共有170项

11.已知抛物线C:/=2x的焦点为尸，过点尸作直线/与抛物线。交于/（匹,％）,5（x2,%）两点，则（）

A.线段|48|长度的最小值为4

B.当直线/斜率为-1时，48中点坐标为1]

C.以线段48为直径的圆与直线相切

2

D.存在点:刀],使彳导NAMF=NBMF

12.若正实数见〃满足ln（2加2〃）之；机2+4〃一2,则（）

A.m+n—V2B.m+2n=-+V2C.m2n=1D.mn=

24

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（x+2y）5的展开式中含x3/项的系数为.

14.直线/与直线x-y+3=0垂直，且被圆（X—2）2+（了—3）2=8截得的弦长为26，则满足条件的直线/

的一个方程为.（写出一个方程即可）

15.若函数/（力=2"-（》+2）1改是（0,+00）上的减函数，则实数a的最大值为.

16.将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以巴表示没有出现连续3次正面向上的概率，由题意可知

片=1,£=1,则月=.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）已知S,是数列｛4｝的前〃项和，且满足J=2a“+3〃—7（〃eN+）,

⑴记4=%-3,求证：数列也｝为等比数列；

（2）设分=—『，求数列｛c“｝的前〃项和7；

18.（本题满分12分）已知在△45C中，内角4民。所对的边分别为。、b、c,已知bcosC+ccos8=3

IT

（1）若4=d求△48C周长的最大值

3

TT

（2）若Z=：,b=x,满足此条件的三角形只有一个，求实数x的取值范围

19.（本题满分12分）某调查小组为了解本市不同年龄段的肺炎患者在肺炎确诊两周内的治疗情况，在肺炎患

者中随机抽取100人进行调查，并将调查结果整理如下：

两周内治愈两周内未治愈

12岁以上（含12岁）4515

12岁以下2515

（1）试判断是否有90%的把握认为该市肺炎患者在肺炎确诊两周内治愈与年龄有关；

（2）现从样本中肺炎确诊两周内未治愈的人群中用分层抽样法抽取6人做进一步调查，然后从这6人中随机

抽取3人填写调查问卷，记这3人中12岁以下的人数为X,求X的分布列与数学期望.

附:

尸（片"°）0.1500.1000.0500.025

2.0722.7063.8415.024

左0

n(ad-be)2

K2=其中n-a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

20.（本题满分12分）如图：四棱雉S—N8CD中，底面N8CD为矩形，Z8=2ND,△£4。为直角三角形,

SB=SC,ZSBA=ZSCD,ASBC的面积是面积的&7倍.

（1）求证：平面平面48cO；

（2）E为S3上的一点，四棱雉£-N8CD的体积为四棱雉S-N5CD体积的一半，求直线CS与平面

所成角的正弦值.

Y

21.（本题满分12分）已知双曲线—过尸且与X轴垂直的弦

er

长为12.

（1）求双曲线E的标准方程；

（2）过尸作直线/与双曲线交于4B两点,问在x轴上是否存在点。，使谖•①为定值，若存在，请求

出0点坐标，若不存在，请说明理由.

22.（本题满分12分）已知函数/（X）=（ae*+夕**-ex）（aGR）.

（1）当Q=0时，求/（x）的图象在（0,/（0））处的切线方程；

（2）若方程/（x）=e2x有三个不同的根，求实数a的取值范围.

2023年广西三新学术联盟高三年级11月联考

数学试题参考答案

1.D【详解】/=-2<x<={乂0<x<1},则ZClB={$0<x«1}.故选D.

2.C【详解】由2+4i=（a+i）（l+i）,可得2+4i=a—1+（a+l）i,解得a=3,故选C.

3.A【详解】因为y=2sin14x+g）=2sin4k+^-j,所以只需要将函数y=2sin4x的图像向左平

移》个单位，即可得到j=2sin〔4x+彳］的图象.

4.C【详解】由］与5-3垂直，可得晨（2-3）=机2+机—2=0,解得机=一2或1,故选C.

5.B【详解】对于A,由样本容量定义知：样本容量为24,A正确；

对于B,•.•女生共有竺xl20=75人，.•.男生有120-75=45人，B错误；

24

对于C,•.•高一年级的社团成员有9x120=30人，.•.高二高三年级的社团成员共有120-30=90人，C正

24

确；

对于D,由C知：高一年级的社团成员共30人，.•.高一年级的社团成员中女生最多有30人，D正确.故选:

B.

6.C

【详解】该组合体的直观图如图：半球的半径为8米，圆柱的底面半径为8米，母线长为13米，圆台的两底

,1,

面半径分别为8米和1米，高为24米，所以半球的表面积为一x4乃-8~=128乃（平方米），

2

圆柱的侧面积为2・〃-8xl3=208〃（平方米），圆台的侧面积为2（8+1）xJ??+24?=15n（平方米），故

该组合体的表面积为128乃+2087+2257+万义F=562%（平方米）.故选：C

2

2b

7.D【详解】设椭圆的左焦点为片，连接片，设圆心为C,则；+y2=—,则圆心坐标为

"16

加,半径为V,

由于闺制=2c,|EC|=2.•.闺司=4-C|,•网=3/,.•・助〃℃,

22

故陷卜41cq=4.•.|「盟=2a—•线段P尸与圆餐+g=1（。>6>0）（其中c?=/一廿）相切于点

。，

.-.CQ1PF:.PF,1PF,:.b1+(2a-b)2=4c2:.b2+(2a-b)2=4(a2-b2),.\a=^b,则一=］，

8.B【解析】设球心为O,分别取AABC,AABD的外接圆圆心为瓦E,连接OE,EFQF”ZACB=90°,

.•.点E为43中点，则区4=£8=1,

由尸为△48。外心，故FA=FB,则

由题意可得平面/5C,故平面C48与平面D48的夹角,

即为NOEP的余角.在△45。中，AB=2,ZADB=30°,

2

则由正弦定理可得FA=FB=FD=------=2,

2sin300

由球O的半径为3,

故OP=V32-22=45,OE=V32-l2=2V2,

由OF，平面Z>4B,EEu平面。48,可得OF_LEF,

OFV10

则斯中，sinZOEF=—=-—

OE4

故NOE尸的余角的余弦值为巫，故选B.

4

9.ACD【详解】函数g(x)=cos[2x+?]

对于A,g(x)的周期为T=*=苗="，故A正确;

ITITIT47r

对于B,由04x«2,得+从而

2333

事42%+事〈》即时，g(x)单调递减，故B不正确;

JT

所以x=-不是函数g(x)图象的一个对称轴，故C正确;

；半,0)对称，故D正确.故选：ACD.

所以g(x)的图象关于点

10.AB【详解】将1到2024这2024个数中能被3除余2且被4除余2的数按从小到大的顺序排成一列,

构成首项为2,公差为12的等差数列，则数列｛%｝的通项公式为

%=2+12(〃-1)=12〃-10,%=2,故A正确；S"=〃。+⑵?_121=〃伯〃-4),%=6〃-4

2n

[。Io

故B正确；lna„-lna„=ln——,不为常数，故C错误；由2<12〃—10<2024知

"+11"12n-10

1<n<169?〃eN*)

数列｛%｝共有169项，故D错误.

11.BCD【解析】夕=1,尸为仁,。］,通径最短，故|48|最短长度为2夕=2,A错误;

此时直线/为x=—y+；,法一.与/=2x联立得了？+2〉—1=0,乂+了2=—2,

—7

%]+x2—(J1+8)+1=3，故中点为[1

法二.设中点坐标为（与,为）,卜匕，=2项，两式相减有，_=&Z匹=一1,

=2%2%+%-%2

故为+为=-2,%="为=一］,故/=-%+；=|.,B正确；

设48中点为D,过点4民。作准线x=-工的垂线，垂足分别为4,g,

2

由抛物线定义知以蜀=\AF\\BB\=M，

阿卜|(|M|+Kl)=；(”|+\BF\)=^AB\,

故以线段48为直径的圆与直线x=-』相切，C正确；

2

*12*4

设直线/为x=(y+；,与/=2x联立得j-2Zy-l=0,=2t,y1y2=-1,

"《乃为乂,+

心+kBM-f+f--7[yH-

Xi+2-2b+dh+d

必(夕2+1)+.%(少1+1)_201%+(%+%)_—2/+2/

故NAMF=NBMF,D正确

12.BD【详解】依题意可知加〉0,〃〉0,

>g冽2+4〃一2可化为In掰2].(4〃)>^m2+4n-2,

令a=；加2/=4〃，则ln(tzZ>)2a+b-2,即Ina—。+1+(lnb-b+1)>0,

1—Y

设f(x)=Inx-x+l(x>0),/r(x)=---,

x

所以〃x)在区间(O,l)/(x)〉OJ(x)递增；在区间(l,+oo)J'(x)<0J(x)递减.

所以〃x)V/⑴=0,所以要使〃a)+/他)20成立，则a=b=l,

1ryI—1

即。=—冽2=1,6=4〃=1,由于加>0,故解得m=N2,n=—,

24

则加+〃=V2+—,m+2n=—+\[2,m2n=—,mn=YZ,所以BD选项正确.

4224

13.40【详解】依题可得。*3.(2>)2=40x3/

14.x+y-3=0(答案不唯一)

【详解】因为直线/与直线1-歹+3=0垂直，可设/:%+>+加=0,

由圆(x—2)2+(y—3)2=8,可得圆心坐标为(2,3),半径为2正，

又因为弦长为2指，可得圆心到直线/的距离为d=个(2也¥-函丫=V2,

即|2+廿〃]=正，解得加=-7或加=一3.

V2

所以直线/的方程为x+y—3=0或x+y—7=0,

故答案为：x+y-3=0(或x+y-7=0).

15.l+lnV2

【详解】/(x)=2ax-(x+2)lnx是(0,+oo)上的减函数，

丫2

则/'(x)=2a-lwc--—<0在(0,+00)上恒成立，

X

Y2

即2aWliu+-—在(0,+00)上上恒成立，

X

设+则g'(x)='_~4~=X

XXXX

当X£(O,2)时，gr(x)<0,函数g(x)单调递减

当X£(2,+OO)时，gr(x)>0,函数g(x)单调递增，

故函数g(x)min=g(2)=2+ln2,故。41+111收，即〃的最大值为1+111亚.

故答案为：1+In

16.-【详解】当〃=3时，6=1/9=-,当〃=4时，出现连续3次正面的情况可能是正正正反、

43UJ8

正正正正、反正正正，所以々=1-3x(』]=—,要求月，即抛郑〃次没有出现连续3次正面的概率，分

类进行讨论，

若第九次反面向上，前”-1次未出现连续3此正面即可；

若第〃次正面向上，则需要对第”-1进行讨论，依次类推，得到下表:

第〃次n-\次〃-2次概率

g2T

反面

%.2

正面反面

正面正面反而-P3

87

所以々-2+：4T(〃24),

Z4o

7133

又々=巴=1，6=于与=记，月=]

17.【答案】（1）•••S”=2。"+3”一7

当〃=1时，H=2%+3-7,解得%=4.

当“22时，•.•S“T=24T+3（〃—1）—7,两式子相减得,

a„=2an-2an_l+3,即。“=2%-3

可以得到乙一3=2（a,-—3）,即4=2bl

又=4=%-3=1,

・•・数列｛2｝是一个以1为首项，2为公比的等比数列

（2）由（1）可知，4=2"T,而％=%-3,；.%=2"—+3

2"-1（2"+3）-（2"-1+3）

44+iQ"T+3）（2"+3）—（2"T+3）（2"+3）

11

2"-1+32"+3

11_j_1

Z,=q+。2+。3+…+C"2°+3-2"+3-％―2"+3

18.（1）3=6cosC+ccos8=61+"v+c.d",

lablac

得Q=3

由余弦定理得：a1=b2+C1-2bccos4=b2+c2-be=（b+c）2-3bc

又因为AcW（'+c）-

4

3i

故92S+c）2—+c）2=+c）2

/.6+c<6

当且仅当6=c成立，周长最大值为9

(2)由正弦定理得二一=上，则有x=主胆■uZGsinB

sinXsin5V3

32

27r

又因为8e(O,〃—Z),即8eO,3-

•.•满足条件的三角形只有一个，即x有唯一的角与其对应，

则8©目11(0,3]

由x=2GsinS可知x=2M或0<x<3

19.【解析】(1)

两周内治愈两周内未治愈合计

12岁以上(含12岁)451560

12岁以下251540

合计7030200

故犬2_100(45x15-25x15)225

—«1.786<2.706

70x30x40x6014

.•・没有90%的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年龄有关

(2)根据题意，在抽取的6人中，根据两周内未治愈的人群中12岁以上和12岁以上人数比值为1:1,

则抽取的6人中12岁以上和12岁以上人数各3人

则X的可能取值为0,1,2,3.

X2

p(X=0)=^4^=—1,P(X=1)=^CC^=—Q

\JCl20V'Cl20

r2rl90300

尸(、=2)爷=2,产(入=3)=3=1

；

C620'C20

故X的分布列为

X0123

1991

P

20202020

19913

.”的数学期望£¥=0*—+k——+2*——+3*——二

202020202

20.(1)证明：VAB=CD,ZSBA=ZSCD,SB=SC,

:.^SBA=ASCD,:.SA=SD

即NZSD为直角，.•.SO=』ZQ,

2

s

y

取40中点O,连接SO,

SO±AD

取BC中点M,连接(W,

:.SM1BC,:.OMLAD,

:.-BC-SM=^^AD-S0,

22

SM=7175(9

SO2+OM2=SO2+4AD2=SO2+16SO~=SM2

SO±OM

•：ADC\0M=0,SO1平面ABCD

SOu平面SAD,.•・平面SAD1平面ABCD

(2)由(1)可知，以O为原点，建立空间直角坐标系，如图所示设2。=2

,-E—ABCD=]丫$-ABCD，

.•.£为S3中点

AD=(-2,0,0),AE=臣,，屈=(1,-4,1)

设平面的法向量为万=(x,y,z)

n-AD=-2x=0

,一一►31,

nDE=-x+2y+—z=0

[22

令2=-2,:.X=0,j=p.-.n=[o,g,—2

设直线CS与平面DAE所成夹角为，，则sind=|cos^GS,H）|=第4

直线CS与平面DAE所成夹角的正弦值为拽4

51

12

21.【解析】（1）由题意知：。2=4+62c=42•乙=12

a

故6。=/=c?一/=16-。2,故/+6a-