等腰（等边）三角形-2023年中考数学一轮复习（全国通用）

考向21等腰（等边）三角形

【考点梳理】

（1）等腰三角形的性质：

1.等腰三角形的两个底角相等（"等边对等角"）；

2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；

3.等腰三角形是轴对称图形，三线合一所在直线是其对称轴；（只有1条对称轴）

（2）等腰三角形的判定:

①如果一个三角形有两条边相等；

②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；（等角对等边）

（3）等边三角形：

三条边都相等的三角形；（等边三角形是特殊的等腰三角形）

（4）等边三角形的性质：

①等边三角形的三个内角都是60°

②等边三角形的每条边都存在三线合一；

（5）等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一所在直线；（有3条对称轴）

（6）等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形；

【题型探究】

题型一：等腰三角形的性质

1.（2022•浙江温州・温州市第三中学校考模拟预测）如图，在-ABC中，AB=AC,点。是BC延长线上一点，且

ABAC=2ΛCAD,已知8C=4,AD=I,贝IJACQ的面积为（）

C.21D.28

2.（2023•陕西西安•西安市铁一中学校考二模）如图，ABC中，AB=6,ZABC=60。，点。在边BC上，且AD=AC,

若CD=2,则Bo的长为（）

A

A.1.5B.2C,2.5D.3

3.（2022秋•天津河北•九年级统考期末）如图，在中，以AB为直径的。分别与3C,AC交于点凡D,点F

是8Q的中点，连接AES。交于点E.若AB=IO,8=4.连接。尸，则弦。尸的长为（）

题型二：等腰三角形的判定

4.（2022.四川泸州•四川省泸县第四中学校考一模）如图，四边形ABCf）内接于O,CB交C8的延长线于点

E,若BA平分ZDBE,AD=7,CE=5,则AE=（）

A

E——

A.3B.2√3C.2√6D.4√3

5.（2022.云南昆明.统考三模）如图，在平行四边形ABC。中，NABC的角平分线交AZy于点E,NBCO的角平分

线交AQ于点F,若AB=7,BC=IO,则EF的长为（）

A.4B.3C.6D.5

6.（2022春•四川雅安・九年级专题练习）如图，4ABC中，AB=6,AC=8,NABC与NNCB的平分线B4CZ）交于

点Q.过点。作E/〃BC,分别交AB,AC于点E,F,则ZAEF的周长为（）

A.12B.13C.14D.15

题型三：等边三角形的性质

7.（2023•陕西西安•高新一中校考一模）如图，在等边A48C中，点。，E分别是BC,AC上的点,

NADE=60°,AB=4,8=1,则AE=（）

8.（2022•山东青岛•统考中考真题）如图，。为正方形ABCo对角线AC的中点，AACE为等边三角形.若AB=2,

则OE的长度为（）

C.2√2D.2√3

9.（2022•贵州黔东南•统考中考真题）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形AB”,过点。作

DFɪBC,垂足为F,则OF的长为（）

A.2^+2B.5-—C.3-√3D.√^+l

3

题型四：等边三角形的判定

10.（2021•甘肃・模拟预测）如图，在YABCO中，将AWC沿AC折叠后，点。恰好落在。C的延长线上的点E处.若

/8=60°,AB=I,则YABC。的周长为（）

A.4B.5C.6D.7

11.（2021.浙江杭州•九年级专题练习）如图，在正方形ABCZ）中，点E,尸分别在BC,CDizAE=AF,AC与EF

相交于点G,下列结论：

①AC垂直平分EF；

②BE+DF=EF;

③当ND4尸=15。时，Z∖AE尸为等边角形；

④当ZEAF=60°时,S△"£=~S&CEG

其中正确的是（）

A.①③B.②④C.①③④D.②③④

12.（2022•山东东营•校考一模）如图，在矩形ABCQ中，点£,尸分别在边AB,BCk,S.AE=AB,将矩形沿直

线EF折叠，点B恰好落在AC边上的点P处,连接BP交EF于点、Q,对于下列结论:①EF=2BE;②PF=2PE；③FQ=4EQ;

④ZXPBF是等边三角形.其中正确的是（）

A.P（B）

B

A.①②B.②③C.①③D.①④

题型五：等腰三角形的判定和性质综合

13.（2022∙天津•统考中考真题）如图，在AABC中，AB=AC,若M是BC边上任意一点，将AABM绕点A逆时针旋

转得到AACN,点M的对应点为点M连接MM则下列结论一定正确的是（）

A.AB=ANB.AB//NCC.ZAMN=ZACND.MNYAC

14.（2022・湖南益阳•统考中考真题）如图，已知AABC中，ZCAB=20°,NABC=30。，将AABC绕A点逆时针旋转

50。得到AAQC,以下结论：①BC=QC,©AC//CB',®C'B'LBB',®ZABB'^ZACC,正确的有（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

15.（2022•浙江舟山•中考真题）如图,在RtABC和R/BDE中，ZABC=ZBDE=90°,点A在边。E的中点上,

若ΛB=8C,DB=DE=2,连结CE,则CE的长为（）

E

A

D

BC

A.√HB.√15C.4D.√Γ7

题型六：等边三角形的判定和性质综合

16.（2022.山东泰安.统考中考真题）如图，平行四边形ABC。的对角线AC,30相交于点。.点E为BC的中点，

连接Eo并延长交A£）于点凡ZABC=60o,BC=2AB.下列结论：®ABlAC-,®AD=4OE；③四边形AECF

是菱形；④S“山=5Sase.其中正确结论的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

17.（2022・湖南常德•统考中考真题）如图，在RtA45C中，ZABC=90。，ZAc8=30。，将A8C绕点C顺时针旋

转60。得到,DEC,点A、B的对应点分别是。，E,点尸是边AC的中点，连接BF,BE,FD.则下列结论错误

的是（）

A.BE=BCB.BF〃DE,BF=DE

C.ZDFC=90。D.DG=3GF

18.（2022•山东东营・统考中考真题）如图，己知菱形ABC。的边长为2,对角线AC3。相交于点。，点M,N分

别是边BeC力上的动点，ZθAC=ZM4JV=60°,连接MN、QW.以下四个结论正确的是（）

①；AMN是等边三角形；②MN的最小值是G；③当MN最小时SMMN=!S新加JC°;④当OMLBC时,

O

OAr=DNAB.

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

题型七：等腰（边）三角形的综合问题

19.（2023•福建南平•统考一模）在五边形AS8E中，四边形A5C。是矩形，VAoE是以E为直角顶点的等腰直角

三角形.CE与AZ）交于点G,将直线EC绕点E顺时针旋转45。交AO于点F.

(1)求证：NAEF=NDCE；

(2)判断线段AB,AF,FC之间的数量关系，并说明理由;

(3)若FG=CG,且AB=2,求线段BC的长.

20.(2023•福建福州・统考一模)在ABC中，BC=S,两条高AO,BE交于点、H,F是CH的中点，连接AF并延长

交边BC于点G.

图2

(1)如图1,若JRC是等边三角形.

①求证：AH=IDH↑

②求CG的长.

(2)如图2,若AH=DH,CG=BD,求ABC的面积.

21.(2022.山东莉泽・荷泽一中校考模拟预测)如图①，在JlBC中，ZA=90o,AB=AC,点。，E分别在边AB,

AC上，且4)=AE.则CE=8“现将V">E绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α(0°<α<180。).如图②，连接

CE,BD.

“图②

C

(D如图②，请直接写出CE与Bo的数量关系.

(2)将VADE旋转至如图③所示位置时，请判断CE与8。的数量关系和位置关系，并加以证明.

(3)在旋转的过程中，当ABCO的面积最大时，a=.(直接写出答案即可)

【必刷基础】

一、单选题

22.(2023•福建南平・统考一模)如图，在一ABC中，NBAC=I35。，将ABC绕点C逆时针旋转得到Z)EC,点A,

8的对应点分别为D,E.当点A、D、E在同一条直线上时，下列结论不IP硼的是()

C

B.AE=AB+CD

C.AD=CACD.ABVAE

23.（2023•陕西西安•校考二模）如图，已知在。中，ZDOA:ZAOB=2;1,且NACB=25。，则，。的度数为（）

B.45°C.50°D.55°

24.（2022.重庆渝中.重庆市求精中学校校考一模）在等边ABC中，力是边AC上一点，连接3。，将Z∖BCD绕点B

逆时针旋转60°,得到84E,连接ED,若BC=5,80=4.5,有下列结论：①AE〃BC；②ZADE=ZBDC；③:BDE

是等边三角形；④VADE的周长是9.5,其中，正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

25.（2022•四川南充・模拟预测）如图，在RtZSABC中，ZK4C=90o,AB=AC,直角/£7平"的顶点P是BC的中

点，将NEPF绕顶点P旋转，两边PE,尸产分别交AB,AC于点E,F.下列四个结论：®AE=CF;②！P£F是

等腰直角三角形；③EF=AP;®SMEPF=^SΛABC.在NEPF旋转过程中，上述四个结论始终正确的有（）

BC

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

26.（2022•江苏镇江•统考一模）如图，平面直角坐标系中，过原点的直线AB与双曲线交于A、B两点，在线段A8

左侧作等腰三角形ABC,底边轴，过点C作CCX轴交双曲线于点O,连接8。，若Sw7"=16,则氏的值

是（）

A.-4B.-6C.-8D.-16

27.（2022•山东济南•统考模拟预测）如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCz）为正方形，点G在对角线8。上,

GELCD,GFLBC,Az）=I500m,小敏行走的路线为B→A→G→E,小聪行走的路线为

B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100m,则小聪行走的路程为（）m.

C.4600D.6100

28.（2022•山东济南•校考一模）如图，菱形ABCO的边长为8,E、F分别是A8、AO上的点，连接CE、CF、EF,

AC与E尸相交于点G,若BE=AF=2,ZBAD=120°,则FG的长为（）

E

BC

ɪ

B.√3C.2D.

22

29.（2022•山东滨州•模拟预测）如图，点A,B,C,D在同一条直线上，点E,尸分别在直线AD的两侧，且AE=Q尸,

ZA=ZD,AB=DC.

（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；

⑵如果AO=7,DC=2,NEBD=60。,那么当四边形BRH为菱形时酩的长是多少？

30∙（2022∙吉林长春♦校联考模拟预测）在ABC和VADE中，AB=AD,AC=AEfZBAC=ZDAE.

图①图②

（1）如图①，求证：ZABC=ZADE;

（2）如图②，若4。平分∕C4E,ZZXE=30。，点C在线段班上，则ND=度.

【必刷培优】

一、单选题

31.（2022春•江苏•九年级专题练习）已知菱形A8C。，边长为6,/840=120。，E、F是菱形边48和AZ）上的

动点，且5E=AP,则下列结论①.3ECqAFC；②为等边三角形；®ZAGE=ZECD;④若A尸=2,则

博GF=1I正确的有个.（）

EG3

32.（2022•广东东莞•校考二模）如图，E、F分别是正方形48Co的A5、BC边上的动点，且满足AE=M,连接

CE、DF,相交于点G,连接AG,则下列4个结论：®DF=CE；②CE,ED；③AD=AG；④若点E是AB的中

点，则QG=4GF,其中正确的结论是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

33.（2022•广东深圳・深圳市宝安中学（集团）校考三模）如图，在正方形ABC。中，E是线段CC上一点，连接AE,

将“QE沿AE翻折至“EF,连接BF、并延长BF交AE延长线于点P,过点E作EMLPB于已知PF=√2，BF=2.其

中正确结论的个数有（）

①NApF=45°②NEFP=∕FBC③PM=O-I④一=√2+l

DE

C.3D.4

34.（2022∙河北石家庄•校考模拟预测）如图，正方形ABC与中，Afi=L4?与直线/的夹角为30。，延长CBl交直线

/于点A，作正方形4片和生，延长G4交直线/于点4,作正方形A2B2C/3,延长G与交直线/于点A,作正方形

AiB1C3B4,...,依此规律，则4o∣64o∣7=（）

D.2×3I∞7

二、填空题

35.（2023・上海静安・统考一模）如图，ASC绕点C逆时针旋转90。后得二。EC,如果点8、D、E在一直线上，且

NBDC=60°,BE=3,那么A、。两点间的距离是.

C

36.（2022.重庆铜梁.铜梁中学校校考模拟预测）如图，aABC。中，ΛB=AD,点E是AB上一点，连接CE、DE,

SBC=CE,若NBCE=40。，则ZWE=.

37.（2022・广东江门•校考一模）在学习完勾股定理后，小芳被“弦图”深深地吸引了，她也设计了一个类似“弦图”的

图案（如图），主体是一个菱形，把菱形分割成四个两两全等的直角三角形和一个矩形，这四个直角三角形中有两

个是等腰直角三角形，另两个三角形的两直角边分别是6cm和8cm,那么中间的矩形的面积是.

38.（2022∙四川绵阳•东辰国际学校校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点F（2,4）在抛物线y=fl√上，过

点厂作X轴的平行直线EF,交抛物线于点E,交），轴于点C,将直线EF向下平移，分别交抛物线于A,B两点，

当JRC是等边三角形时，线段48的长是.

39∙（2022∙山东滨州•阳信县实验中学校考模拟预测）如图，点。为等边一ABC内一点，OA=2√5,OC=A,连

接8。并延长交AC于点。.若NE>OC=30。，过点B作3。交Co延长线于点F,连接AF,则AF=.

40.（2022•四川泸州•泸县五中校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，04=1,将。4绕

点0顺时针旋转45°到。A，扫过的面积记为S-交X轴于点&；将。&绕点。顺时针旋转45°到。4,

扫过的面积记为Sl,AA4J.。4交y轴于点4；将OA绕点O顺时针旋转45°到OA,扫过的面积记为$3，ΛA,ɪOA5

交X轴于点儿；…；按此规律，则反侬的值为_____.

三、解答题

41.（2022.浙江杭州.杭州育才中学校考模拟预测）如图，ABC和CDE都是等边三角形，连接40、BE,AD与BE

交于点F.

A

(1)求证AO=B石;

(2)ZBFA=

42.（2022•辽宁铁岭•统考模拟预测）已知ABC和一D3E都为等腰三角形，AB=AC,DB=DE,ZCAB=ZEDB=no.

（图1）

(图2)

⑴如图1,当〃=60。时，线段CE与AA的数量关系是；

（2）如图2,当〃=90°时,

①请判断线段CE与AD的数量关系，并说明理由；

②当CE〃AB,BC=6,Ar）=I时，请直接写出的长.

43.（2022•宁夏固原•校考模拟预测）如图，平面直角坐标系中，在X轴正半轴截取线段04,在V轴负半轴截取线

段OB,使OA=O8,连接A8,AM.BN分别是NoAB、/084内部一条射线，分别交OB、（M于M、N两点.

ffll图2

(1)如图1,若OA=OB=4√∑,且AM、BN分别平分/043、/08A,作。P,AM交AM于点E,交AB于点P,

再过点尸作PGLBN,交BN于F,交OB于H,交A"的延长线于点G.

①求出点尸的坐标;

②证明：APEG是等腰Rt△,并直接写出点G的坐标;

(2)如图2,若OM=ON,请写出线段AG、OP与PG之间的数量关系，并证明你的结论

44.(2022・河南周口・周口市第一初级中学校考模拟预测)已知，在=ABC中，Nfi4C=90。，AB=AC,A//J.BC于

点H,CF平分/AC8交AB于点F,交4〃于点E.

(1)如图1,求证：AF=AEi

(2)如图2,在ABC外有一点D,分别连接AD,当NBDC=90。时，求/4X7的度数;

(3)如图3,在(2)的条件下，AH=CD,过点C作CM〃A。交80延长线于点M,连接AM，若EH=2y∕i-2,

求AM的长.

45.(2022.山东荷泽・统考二模)在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动.

(1)√ISC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE=I,小亮以8E为边作等边三角形BEF,如图①，

求CF的长；

(2)ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形8EF,如图②，在点E

从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；

(3)ΛBC是边长为3的等边三角形，M是高Co上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形N,如图③，在点

例从点C到点。的运动过程中，求点N所经过的路径长.

46.(2022•山东德州•统考一模)如图，ABC与AeD为正三角形，点0为射线C4上的动点，将射线OM绕点0

逆时针旋转60。，得到射线。N

(1)如图1,点。与点4重合时，点E,尸分别在线段5C,CO上，求证：AAEC"OFD；

(2)如图2,当点。在C4的延长线上时，E,尸分别在线段BC的延长线和线段8的延长线上，请写出CE、CF、CO

三条线段之间的数量关系，并说明理由；

参考答案:

1.A

【分析】过点A作AE，BC于点E,根据Afi=AC,BC=4,得到

NBAE=NCAE,BE=CE=LBC=2,结合NSAC=2NC4D,得到NBAE=NC4£：=NCW,

2

过点C作Cb_LAD于点尸，根据角的平分线的性质，得到CF=CE=2,代入面积公式计算

即可.

【详解】如图，过点4作AC于点E,

因为AB=AC,BC=4,

所以NBAE=NCAE,BE=CEJBC=2,

2

因为NBAC=2NC4D,

所以=NCAE=NCW,

过点C作CFLAZ）于点F,

根据角的平分线的性质，得到CF=CE=2,

所以SAe=gAZXCF=T仓。2=7,

故选A.

【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一，角的平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的三

线合一是解题的关键.

2.B

【分析】过点A作/α，3C于E,根据等腰三角形的性质可得OE=EC=JCO=I,根据

含30度角的直角三角形的性质可得BE=3,根据8E>=BE-DK即可求解.

【详解】解：如图，过点A作AELBC于E,

A

BDEC

又AD^AC,CD=2,

：.DE=EC=aCD=L

2

在直角中，NA£8=90。，/8=60。，

.∙.ZBAE=90o-NB=30o,

BE=∙^AB=-×6-3,

22

BD=BE-DE=3—1=2.

故选：B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线

求出BE与。E是解题的关键.

3.A

【分析】连接。尸，先根据圆周角定理可得AF_L8C,8。_LAC,ZBAF=ZDAF,再根据

等腰三角形的三线合一可得AB=AC=10,BF=CF,从而可得=然后利用勾股

定理可得BC的长，由此即可得.

【详解】解：如图，连接£＞尸，

AB为C。的直径,

.∙.AFrBC,BDLAC,

点尸是2£）的中点，

.∙.BF=DF,ZBAFZDAF,

.∙.AB=AC,BF=CF（等腰三角形三线合一）,

.∙.DF=-BC,

2

AB=10,CD=4,

.∙.AD^AC-CD=AB-CD^6,

又AB2-AD2=BD2=BC2-CD2,

.∙.102-62=βC2-42,

解得8C=4石或BC=-46（舍去），

.∙.Z）F=i×4√5=2√5,

2

故选：A.

【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的三线合一等知识点，熟练掌握圆

周角定理是解题关键.

4.C

【分析】连接AC,由圆内接四边形的性质和圆周角定理得到ZABE=ZCDA,ZABD=ZACD,

从而得到NA8=NCD4,得出4C=4O=7,然后利用勾股定理计算AE的长.

【详解】解：连接AC,如图，

,/BA平分NDBE,

；•ZABE=ZABD,

•••四边形ABCZ）内接于O,

：.ZABC+ZADC=XWP,

又ZA8C+ZABE=180°

ZABE=ZCDA,

又ZABD=ZACD,

：.ZACD=NCDA,

：.AC=AD=J,

,/AELCB,

∙'∙AE=y∣AC2-CE2=√72-52=2√6•

故选：C.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角

平分线定义等知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键.

5.A

【分析】根据平行四边形的性质可知NoFC=NFC8,又因为C/平分NBCQ,所以

NDCF=∕FCB,则/C=NOCR则力b=Oc同理可证AE=A8,那么EZ7就可表示为

AE+FD-BC=2AB-BC,继而可得出答案.

【详解】解：Y平行四边形A8CD,

.∖AD∕∕BC,

：.NDFC=/FCB,

又CF平分Nem

：,/DCF=NFCB,

：.ZDFC=ZDCFf

IDF=DC,

同理可证：AE=ABf

VAB=7,AD=BC=W,

：.EF=AE+FD-AD=2AB-BC=4.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可

利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握.

6.C

【分析】由角平分线的定义可知NABo=NDSC,ZACD=NDCB.由平行线的性质得出

/EDB=/DBC,ZFDC=ZDCB,即可推出=,ZACD=ZFDC,从而得出

EB=ED,FD=FC.最后即可推出尸的周长=AB+AC,即可求出结果.

【详解】,・・8。平分/48。，CO平分NACB,

；・ZABD=NDBC,ZACD=ZDCB.

•：EFHBC,

：.ZEDB=ZDBCf/FDC=NDCB,

：•/ARD=/EDR,ZACD=ZFDC9

：・EB=ED,FD=FC,

VAB=6,AC=8,

・•・ZkAEF的周长=AE+EF+4F

=AE+ED+DF+AF

—AE÷EB÷AF+FC

AB+AC

=14,

的周长为：14,

故选C∙

【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定.利用数形结合的思

想是解题的关键.

7.D

【分析】先利用三角形的外角性质证明N84O=NCOK,再证明ΔBA0SACDE,再利用相

似三角形的性质即可求得答案.

【详解】解：ZADC=ZB+ZBADf

.∙∙ZADE+/CDE=∕B+ZBAD,

o

ZADE=M=ZBt

・•.ZCDE=ZBADf

又.ZB=NC=60。，

・•,ABADSACDE,

.ABDB

"'CD~~CE9

等边ΔA3C中，AB=4,CD=If设AE=%,

.∙.CE=4-x,BD=4-I=3,

43

/.—=------,

14-x

.∙∙4(4-x)=3,

13

X——；

4

故选：D.

【点睛】此题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知

识，熟练掌握相关性质与判定是解答此题的关键.

8.B

【分析】利用勾股定理求出AC的长度，再利用等边三角形的性质即可解决问题.

【详解】在正方形ABCD中：AB=BC=2,NABC=90°,

∙,∙Ac=√AB2+BC2=√22+22=2√2，

：0为正方形ABCZ)对角线AC的中点，

.∙.0C=-AC=y[2,

2

,.∙AACE为等边三角形,。为AC的中点，

.,∙EC=AC=2√2，EO.LAC,

.*.NEOC=90。，

.∙.OE=y∣EC2-OC2=^(2√2)2-(√2)2=√6,

故选：B.

【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，掌握以上知识点是解题

的关键.

9.D

【分析】过点4分别作AGJ_BC于点G,4〃，。尸于点”，可得四边形AGFH是矩形，从而

得到Fa=AG,再由△ABC为等边三角形，可得NBAG=30。，BG=I,从而得到尸”=6，再

证得/D4H=N8AG=30。，然后根据直角三角形的性质，即可求解.

【详解】解：如图，过点A分别作AG_LBC于点G,AHLDF于点H,

,.∙DFlBC,

，NGFH=NAHF=/AGF=90。,

.∙・四边形4GFH是矩形，

：.FH=AG,

,：AABC为等边三角形,

：.Z8AC=60o,βC=AB=2,

：.ZBAG=30o,BG=I,

,∙AG=VAB2—BG2=ʌ/ɜ»

FH=6

o

在正方形ABEQ中，AD=AB=I9ZBAZ)=90,

ΛZDA∕∕=ZBAG=30o,

.∙.DH=-AD=I,

2

：.DF=DH+FH=道+1.

故选：D

【点睛】本题主要考查了等边三角形和正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三

角形和正方形的性质，直角三角形的性质是解题的关键.

10.C

【分析】由平行四边形的性质可得∕B=∕D=6()O,AB=CD=I,与折叠的性质可得AE=AD,

CD=CE=I,又由∕D=60。,可证4AED是等边三角形,可得AD=AE=DE=2,即可求得YABa>

的周长.

【详解】解：；四边形ABCD是平行四边形，

ΛZB=ZD=60o,AB=CD=I,

:将^ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，

.∙.AE=AD,CD=CE=LXVZD=60o,

∙'∙∆AED是等边三角形，

ΛAD=AE=DE=2,

.∙.YABCD的周长=2(AB+AD)=2×(1+2)=6,

故选：C.

【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握折叠的

性质是本题的关键.

11.C

【详解】①由正方形ABCD知AB=AD,NB=ND,AE=AF,∆ABE^∆ADF,AE=AF,又

BC=DC,则EC=BC-BE=CD-DF=CF,AC垂直平分EF,故①正确，

②如图将三角形AADF顺时针旋转90。，得AABH,BH=DF,只有当NFAE=45。时

EF=HE=BE+DF,如果∕EAF<45°时EF<BE+DF,∕EAF>45°,FE>BE+DF,故②不正确,

③由AABE丝AADF,ZBAE=ZDAF=15o,AE=AF,

ZEAF=90o-ZBAE-ZDAF=90o-2×15o=60o,...ZiAEF为等边三角形，故③正确,

④如下图在AB上取点M,使AM=EM,/MEA=/MAE=I5。，ZBME=2ZBAE=30o,设

BE=x,ME=2x,BM=ʌ/ɜx,AB=2x+√3x,CE=BC-BE=AB-BE=X+√3x,由面积公式得,

SΔABE=∣(2+√3)X∙X=SAECF=；［+烟2=(2+G)fSΔABE=∣SΔECF,故④正确.

故选择：C.

【点睛】本题考查内容较多，线段垂直平分线，线段的和差，等边三角形，三角形面积，30。

角的直角三角形性质，勾股定理，难度挺大，要掌握这些知识，并会灵活运用.

12.D

【详解】解：VAE=∣AB,

：.BE=IAE1

由翻折的性质得，PE=BE,

：.NAPE=30。,

JNAEP=90。-30o=60o,

:∙/BEF=W(180。-NAEP)(180°-60°)=60°,

JNEFB=90。-60o=30o,

；.EF=2BE,故①正确；

•；BE=PE,

:∙EF=2PE,

∖∙EF>PF,

；・PF<2PE,故②错误；

由翻折可知EFLPB9

：.NEBQ=NEFB=30。,

：.BE=2EQfEF=2BE,

：.FQ=3EQ,故③错误；

由翻折的性质，NEFB=∕EFP=300,

：.ZBFP=30o+30o=60o,

β.∙NPBF=90。-ZEBQ=90o-30o=60o,

JNPBF=NPFB=6(f,

...△PB尸是等边三角形，故④正确;

综上所述，结论正确的是①④.

故选：D.

13.C

【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可.

【详解】解：；将AABM绕点A逆时针旋转得到AACM.MABM丝A4CM

：.AB=AC,AM=AN,

.∙.AB不一定等于AM故选项A不符合题意；

,.∙AABM与XACN,

：.ZACN=ZB,

而NcAB不一•定等于/B,

.∙.NACW不一定等于NC43,

.∙.AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意；

,/&ABM9&ACN,

：.ZBAM=ZCAN,NACN=NB,

.∙.NBAC=NMAN,

'：AM=AN,AB=AC,

.∙.“8C和AA例N都是等腰三角形，且顶角相等，

LNB=NAMN,

：.NAMN=NACN,故选项C符合题意；

'：AM=AN,

而AC不一定平分/MAN,

,AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质.旋转变换是全等变换，利用旋

转不变性是解题的关键.

14.B

【分析】根据旋转的性质可得，BC=B'C,NCAB，=NCAB=20。，NAQC=NABC=30。,

再根据旋转角的度数为50。，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可.

【详解】解：①∙.FABC绕A点逆时针旋转50。得到"QC,

：.BC=B'C.故①正确；

②ZXABC绕A点逆时针旋转50°,

ΛZBΛB,=50o.

,.∙ZCAB=20o,

/./87IC=ZBAB'-∕C4B=3O°.

∙/NAB'C'=NABC=3O°,

.∙./AB，。=ZB'AC.

.∖AC∕∕C'B'.故②正确;

③在AB，中，AB=AB',ZBABf=50°,

ΛZAB'B=ZABB'=^(180°-50°)=65°.

.∙.ZBB'C=ZAB'B+ZAB'C'=65o+30o=95°.

...CS与8夕不垂直.故③不正确；

④在AACC中，

AC=AC,ZCAC'=50o,

：.ZACC=ɪ-(180°-50°)=65°.

ΛZABB'=ZACC'.故④正确.

①②④这三个结论正确.

故选：B.

【点睛】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与

大小，还考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定等知识.熟练掌握旋转的性质是解

题的关键.

15.D

【分析】过点E作EFLBC,交CB延长线于点尸，过点A作AGJ_BE于点G,根据等腰直

角三角形的性质可得BE=2√Σ,NBED=45°,进而得到AB=BC=逐，

EG=AG=-AE=-,BG=逑，⅛iIW∆BEF^ΛABG,可得BF=空,EF=还,

22255

然后根据勾股定理，即可求解.

【详解】解：如图，过点E作EFLBC,交CB延长线于点凡过点A作AG_LBE于点G,

在∕⅛BDE中,ZBDE=90o,DB=DE=2,

∙'∙BE=√BD2+DE-=2√2>ZBED=45°,

∙.∙点4在边。石的中点上,

.∖AD=AE=↑f

:∙AB=y∣AD2+BD2=√5，

，AB=BC=非,

,.∙NBED=45°,

・•・ZVlEG是等腰直角三角形,

/.EG=AG=-AE=-,

22

・・.BG=逑，

2

・・•ZABC=ZF=90o,

：.EF//AB,

：.ZBEF=ZABG1

:ABEFsAABG,

FF2y[2BF_EF

BF

・殷=正，即/F=/

-ABAG£>O---------

22

6√5

解得:BF=空,EF

5^^5-

∙'∙CE=yjEF2+CF2=√∏∙

故选：D

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定

理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解题的

关键.

16.A

【分析】通过判定AABE为等边三角形求得N&W=60。，利用等腰三角形的性质求得

∕E4C=30。，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱

形的性质和含30。直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④.

【详解】解：点E为BC的中点，

.∙.BC=2BE=2CE,

又BC=2AB,

AB=BE,

.ZABC=60o,

.∙.ΔAB石是等边三角形，

・•.NBAE=ZBEA=60。,

o

:.ZEAC=ZECA=30f

:.ZBAC=∕BAE+ZEAC=90°,

即故①正确；

在平行四边形ABCQ中，AD/∕BC,AD=BC,AO=CO,

ZCAD=ZACB1

在AAOb和ACOE中，

ZCAD=ZACB

<OA=OC,

ZAOF=ZCOE

:.AAOFACOE(ASA)9

AF=CEf

••・四边形A£C尸是平行四边形，

又.ABLAC,点E为BC的中点，

.*.AE=CE,

，平行四边形AEC尸是菱形，故③正确；

.∙.ACS-EF,

在RtΔ8E中，NAeE=30°,

..OE=-CE=-BC=-AD,故②正确；

244

在平行四边形ABC。中，OA=OC,

又.点E为BC的中点，

SgOE=;SMoC=ɪSMBC，故④正确；

综上所述：正确的结论有4个，

故选：A.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30。

的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键.

17.D

【分析】根据旋转的性质可判断A；根据直角三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的

判定方法可判断B；根据平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质可判断C；

利用等腰三角形的性质和含30。角的直角三角形的性质可判断D.

【详解】A.:将^ABC绕点C顺时针旋转60。得到△DEC,

：.ZBCE^ZACD=60o,CB=CE,

：・ABCE是等边三角形,

BE=BC,故A正确；

B.Y点F是边AC中点,

：.CF=BF=AF=^ACf

VZBCA=30o,

ΛBA=yAC,

J.BF=AB=AF=CFf

ΛZFCB=ZFBC=30o,

延长交CE于点”，则/BHE=NHBC+NBCH=900,

.∖NBHE=NDEC=90。,

：.BFIIED,

λ

JAB=DE9

・・・5F=QE,故B正确.

C.VBF//ED,BF=DE,

：.四边形8位不是平行四边形，

,BC=BE=DF,

∖'AB=CF9BC=DF9AC=CDf

：.∆ABC^ΔCFD,

.,.ZDFC=ZABC=90o,故C正确;

D.VZACB=30o,NBCE=60。,

，ZFCG=30o,

LFG=;CG,

・・・CG=2FG.

TNQCE=NCOG=30。，

IDG=CG,

：.DG=2FG.故D错误.

故选D.

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含

30。角的直角边等于斜边的一半，以及平行四边形的判定与性质等知识，综合性较强，正确

理解旋转性质是解题的关键.

18.D

【分析】①依据题意，利用菱形的性质及等边三角形的判定与性质，证出ZM4C=mw,然

后证AGWHDAMASA),AM=AN,即可证出.

②当MN最小值时，即AM为最小值，当4"，BC时，AM值最小，利用勾股定理求出

AM=-JAB2-BM2=√22-l2=√3>即可得到MN的值.

③当MN最小时，点”、N分别为BC、CZ)中点，利用三角形中位线定理得到AC，MN,

用勾股定理求出CE=JCN2-EM=3J争=；,SΔCMW=1×1×√3=^,而菱形ABa)的面

积为：2×√3=2√3)即可得到答案.

④当QMj.BC时，可证2XOCΛ∕s&3C。，利用相似三角形对应边成比例可得OC∙2=CM∙8C,

根据等量代换，最后得到答案.

【详解】解：如图：在菱形ABeQ中，AB=BC=AD=CD,AClBD,OA=OC,

"：ZBAC=ZMW=60°,

.,.ZACB=ZADC=(Λo,ABC与AWC为等边三角形，

又NM4C=NMAJV-NOW=60p-NGW,

ZDAN=ZDAC-ZCAN=60P-ΛCAN,

：.ZMAC=ZDAN9

在VC4M与二D4N中

ZCAM=NDAN

<AC=AC

ZACM=ZADN

：.∕∖CAM^∕∖DAN(ASA),

：.AM=AN,

即，AMN为等边三角形，

故①正确；

•：AJBD,

当MN最小值时，即AM为最小值，当AM_LBC时，AM值最小，

∙/AB=2,BM=-BC=∖,

2

∙*∙AM=>JAB2-BM2=√22-l2=√3

即MN=G,

故②正确；

当MN最小时，点M、N分别为5C、CQ中点,

: