2023届高考二轮总复习试题（适用于新高考新教材）数学检测五　解析几何

专题检测五解析几何

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.(2022•北京-3)若直线2尤+)，-1=0是圆(x-a)2+y2=i的一条对称轴厕a=0

A.1B.-|C.lD.-l

2.(2022・吉林长春模拟)当直线被圆*+)?=4截得的弦长最短时，加的值为()

A.-V2B.V2C.-lD.1

3.(2022•北京东城三模)已知直线尸k(x-g)与圆O:『+V=4交于A,B两点，且0A丄OB,则％=()

A.V2B.±V2C.lD.±l

4.(2022.北京北大附中三模)己知半径为r的圆C经过点P(2,0),且与直线x=-2相切，则其圆心到直线

x-y+4=0距离的最小值为()

A.lB.V2C.2D.2V2

5.(2022•云南曲靖一中高二期中)已知双曲线C:p]=lS>0)的渐近线经过椭圆G乌+孥=1与抛物

b33

线C2：y=f的交点，则以双曲线C的两焦点为直径端点的圆的方程是0

A.X2+/=1

Cf+V=3D.f+V=4

6.(2022•福建福州模拟)圆-2)2=4与圆x2+2如:+)，2+根2-1=o至少有三条公切线,则实数m的取值

范围是()

A.(-℃,-V51

B.lV5,+oo)

C.[-V5,V5]

D.(-℃,->/5]U[V5,+oo)

7.(2022.河北唐山三模)阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积.当我们

垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率兀与椭圆的长半轴长与短半轴长的

乘积，已知椭圆C5+'=1伍泌>0)的面积为6e兀,两个焦点分别为FiB,点P为椭圆C的上顶点，直

线产质与椭圆C交于A,B两点.若PA/B的斜率之积为弓则椭圆C的长轴长为0

A.3B.6C.2V2D.4V2

8.(2022•广东茂名模拟)已知双曲线4一，=1(心0力>0)的左、右焦点分别为人人,双曲线的左顶点

为A,以FE为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P,0两点,其中点。在)，轴右侧，若|AQ221Api，则

该双曲线的离心率的取值范围是()

A.(1,V3]B.LV3,+oo)

二、选择题:本题共4小题,每小题5分洪20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选

对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.（2022.河北唐山三模）已知尸|岀为双曲线=1的两个焦点,P为双曲线C上任意一点，则0

A.|PFI|-|PF2|=2V3

B.双曲线C的渐近线方程为y=±条

C.双曲线C的离心率为竽

D.|丽+而|22百

10.（2021・新高考/11）已知点P在圆（x-5）2+（y-5）2=16上，点4（4,0）,B（0,2）,则（）

A.点P到直线A8的距离小于10

B.点P到直线AB的距离大于2

C.当NPBA最小时,|PB|=3或

D.当/PB4最大时,|PB|=3近

11.（2022.湖南常德高三期末）已知抛物线C：）2=4x的焦点为F,斜率为1的直线/交抛物线于A,B两点,

则0

A.抛物线C的准线方程为x=l

B.线段AB的中点在直线y=2上

C.若|AB|=8,则△OAB的面积为2/

D.以线段AF为直径的圆一定与y轴相切

12.（2022•河北保定一模）已知椭圆死今+，=15》＞0）的左、右焦点分别为尸（百,0）,「2（遮,0）,过点

尸2的直线与该椭圆相交于4,8两点，点尸在该椭圆上，且|A8|21,则下列说法正确的是0

A.存在点P,使得/FiPg=90°

B.满足△QPF2为等腰三角形的点P有2个

C.若/尸"=60。，则5"铲七=空

D.IPQHPF2啲取值范围为42旧,2百]

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.（2022•北京/2）已知双曲线+[=1的渐近线方程为"土室t,则m=.

14.（2022・新高考/-14）写出与圆/+尸=1和（X-3）2+°，-4）2=16都相切的一条直线的方程:.

15.（2022.浙江镇海中学模拟）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这

一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展

览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2,阳光照射抽纸伞在地

面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为60°），若伞柄底正好位于该椭圆的焦点

位置，则该椭圆的离心率为.

16.(2022•山东济宁三模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为£过点尸的直线/与抛物线交于两

点，且|AF|=3|BF|=3,则片;设用是抛物线C上的任意一点,N是抛物线C的对称轴与准线的交点，则

浅的最大值为.

\MF\

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)(2022・四川成都模拟)P为曲线C上任意一点，直线厶x=-4,过点P作PQ与直线/垂直，垂足

为。，点尸(-1,0),且|尸。|=2伊川.

(1)求曲线C的方程；

(2)过曲线C上的点A/(xo,yo)(xo>10(x+1)2+K=1的斜率为由次2的两条切线,切线与y轴分别交于

A,8两点，若4朮2咯，求|AB|.

18.(12分)(2022•山东滨州二模)已知抛物线C:f=2py(p>0)在点M(l,yo)处的切线斜率为今

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若抛物线C上存在不同的两点关于直线/:y=2x+〃?对称,求实数m的取值范围.

22

19.(12分)已知椭圆E：+专=1的焦点在x轴上工是E的左顶点,斜率为k(Q0)的直线交E于

两点，点N在E上,MA丄NA.

(1)当f=4,|AM=|AN|时，求△AMN的面积；

⑵当21AM=|AN|时，求k的取值范围.

20.(12分)(2022•福建漳州三模)已知圆G：(x+2)2+y2=9,圆。2：(》-2)2+《=1,动圆P与圆G、圆都外

切，圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)已知A,B是曲线C上不同的两点,AB中点的横坐标为2,且的中垂线为直线/,是否存在半径为

1的定圆E,使得/被圆E截得的弦长为定值?若存在，求岀圆E的方程;若不存在,请说明理由.

21.(12分)(2022•山东荷泽二模)已知抛物线E:)2=2p_r(p>0)的焦点为F,。为坐标原点,抛物线E上不同

的两点M,N只能同时满足下列三个条件中的两个：

®\FM\+|FN|=|MN|,②|OM|=|ON|=|MN|=8百,③直线MN的方程为x=6p.

(1)问M,N两点只能满足哪两个条件(只写出序号，无需说明理由)?并求出抛物线E的标准方程.

(2)如图，过点尸的直线与抛物线E交于A,8两点，过点A的直线/与抛物线E的另一交点为C,与x轴

的交点为D且|必|=日。|,求△A8C面积的最小值.

22.(12分)(2022.山东潍坊二模)已知M,N为椭圆©:卷+)，2=13>0)和双曲线C2:^-/=l的公共顶点(M

为左顶点),4,62分别为G和C2的离心率.

⑴若6心=半.

(7)求C2的渐近线方程;

(方)过点G(4,0)的直线/交Ci的右支于A,B两点，直线与直线x=l相交于Ai囚两点，记

A,脱4,81的坐标分别为(孙丁1),。2»2),(13)3),。4»4),求证:丁■+■—=—+—•

y1Z2，3

⑵从C2上的动点尸(沏而(加土。)引C1的两条切线，经过两个切点的直线与C2的两条渐近线围成的

三角形的面积为S,试判断S是否为定值.若是，请求出该定值;若不是，请说明理由.

专题检测五解析几何

1.A解析圆(x/)2+y2=l的圆心为(凡0),代入直线方程，可得2。+0-1=0,丿.。=3,故选A.

2.C解析直线/过定点A(l,l),圆d+>2=4的圆心为0(0,0),半径为r=2,当/丄。4时,直线/忧-

〃2>+加-1=()(MWR)被圆丁+9=4截得的弦长最短，因为炀=1,所以女/=・1,即，=

3.B解析直线尸心-遮)过定点(百,0),且点(再,0)在圆O：f+y2=4内.

因为直线产左(X-A③与圆O:f+y2=4交于A,B两点，且0A丄OB,所以圆心0(0,0)到直线y=^(x-V3)

的距离公企,所以d-y/2=:弘，即d=2,Z=±V^.

Jl+fc2

4.B解析依题意，设圆C的圆心为C(x,y),动点C到点P的距离等于到直线x二-2的距离，

根据抛物线的定义可得圆心C的轨迹方程为丁二8乂

设圆心C到直线x-y+4=0的距离为“，则4=左崇=>”=吟铲，

V2V28V2

当y=4时,〃nin=V^.

5.B解析由佗¥=1，解得后：:，或忆:；

则椭圆G与抛物线C2的交点为P(±l,l).

因为点(1,1)在C的渐近线y=bx上，所以b=\,

则双曲线C的焦点为FI(-V2,0),F2(V2,0),

所以以F1F2为一条直径的圆的方程是£+y2=2.

6.D解析将d+Z/Tix+V+m?-]=()化为标准方程得(x+〃?)2+y2=],即圆心为半径为1,圆f+Q-

2)2=4的圆心为(0,2),半径为2.

因为圆^+^-2)2-4与圆x2+2/??x+y2+,?j2-l=0至少有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切或

相离，所以"\/權2+4>2+1,即机2。5,解得mG(-oo,-V5]U[V5,+oo).

7.B解析椭圆的面积S=nab-6y/2n,^Pab-6y/2.①

因为点P为椭圆C的上顶点，所以尸(0力).

a2n2

因为直线y-kx与椭圆C交于A,B两点,不妨设则8(-加,-〃),且出+贮

=1,所以混=足—

因为PA,PB的斜率之积为

所以吧.2=上

m-m9

把加2=/_嚐代入整理化简得与=W②

baL9

①②联立解得“=3，=2巫.

所以椭圆C的长轴长为2a=6.

8.C解析由题意，以FiB为直径的圆的方程为炉+产二。2,由双曲线的对称性不妨令P,Q在渐近线

b

b,,y=-x,〃”，"(％=a,(X--a,

y=/上，由，a解传{”或{”一

a(x2+y2=c2,1y~b⑶一也h

Q(a,b),P(-a,-b).

又A为双曲线的左顶点，则A(-a,O),

.♦.|AQ|=J(a+a)2+b2,

\AP\=J[-a-(-a)]2+b2=b.

V\AQ\^2\AP\,：.J(a+a)2+匕222仇即4a2^3(c2-a2),Z.e?0又e>1,二ee(1,苧].

2________

9.CD解析双曲线C：y-x2=l的焦点在y轴上,a=V5力=l,c=>/a2+庐=2.对于A,||P尸i卜

|「分||=2.=2百，而点尸在哪支上并不确定，故A错误;对于B,焦点在)，轴上的双曲线的渐近线方

程为y=±%=土百x,故B错误;对于C,e{=9=讐微C正确;对于D,设P(x,y),则

2

|P0|=〃2+y2=JX2+(3%2+3)=V3+4x2遮(当x=0时，等号成立)，因为O为FIF2的中

点，所以|而+配|=|2而|=2|而|22爲,故D正确.

10.ACD解析如图，记圆心为M半径为匸则M(5,5),r=4.

由条件得，直线AB的方程为34-g1,整理得x+2y-4=0,过点用作MN垂直于直线厶氏垂足为N,

直线MN与圆M分别交于点P12,圆心M(5,5)到直线A8的距离|MN|=竿翌则=靠,于是点P

Jl2+22

到直线AB的距离最小值为nN|=|MM-r=44,最大值为\P}N\=\MN\+r=^+4.又《

v5V5V5

11

4<2,号+4<10,故A正确,B错误；

过点3分别作圆的两条切线6P3,取4,切点分别为点23,则当点P在巳处时NP8A最大，在P4

处时/PA4最小.

又|BP3|=|8P4|==J52+(5-2)2-42=3證，故C,D正确.故选ACD.

11.BCD解析对于A,抛物线C的准线方程为x=-l,故A错误；

对于B,设点A(xi,yi),B(X2j2),设线段A8的中点为M(xo,yo),则优=两式作差得()1-

172=4不，

竺)8+竺)=4(为-功,可得点=嗚=1

所以yi+)”=4,故州=丫1；丫2=2,故B正确;

对于C,设直线A8的方程为尸+"联立｛：2二：仇可得V+(26-4)x+b2=0,/=4S-2片4/>0,解得

2*42

A<1,则x\+X2=4-2b,x\X2=b,\AB\=V2•(xt+x2)-4x1x2=&x4，l-b=8,解得b=-l,点、O到直线I

的距离为介嚼=[，故So。*如*d=；x8x[=2遮，故C正确;

VZLLLL

对于D,设线段4尸的中点为MX3J3),则抬=竽,

由抛物线的定义可得|AF|=占+1=2x竽，即|AF|等于点N到y轴距离的两倍，

故以线段AF为直径的圆一定与y轴相切，故D正确.

o厶2

12.ACD解析根据题意，可得c=Vl因为|A8|的最小值为1,所以"-=1.又。2=/_広所以

a

2

4=22=l,c=V5,所以椭圆的标准方程为5+丁=1.当点P为该椭圆的上顶点时,tan/OPF2=g,所以

4

NOPF2=60°,此时NQPF2=120°,

所在存在点P,使得NBPB=90°,故A正确；

当点P为椭圆的上、下顶点时，满足△自尸尸2为等腰三南形，又因为2-

百W|PB|〈2+g,|F|F2|=28，所以满足『用|=円尸2|的点P有两个，同理满足|PE|=|PB|的点P

有两个，故B不正确；

若NRPB=60°,|PFI|+|PB|=4,|AB|=2B,

由余弦定理得IBFzPiPBF+IPBfllPFiHPBIcosNBPFyPIPBF+iPBFTPFll.tBUlZ,

又|PFI|2+|PF2|2+2|PMHPB|=16,所以|PPHPB|=g,所以S.pFz=夕呐M&lsinNBPB書，故

C正确；

|PFI|-|PF2|=|PE卜(2a-|PFi|)=2|P¥卜4,分析可得|PFi|G[2-g,2+VI],

则仍尸小尸;引e[-28,2遮],故D正确.

13.-3解析由题意知/=1力2=-，",其中机<0,所以双曲线的渐近线方程为y=±5^=土争:，解得

3.

35

-X+-

14.x=・l（或y=44，或y=解析在平面直角坐标系中,画出圆丁+9=1和圆(x-3)2+(y-

4尸=16.设点0(0,0)。(3,4),由图得两圆外切，则。。与。0|有两条外公切线和一条内公切线，易得

其中一条外公切线/的方程为x=-l.由图可知，内公切线厶与另一条外公切线厶的斜率均存在.

v/t与直线OO1垂直，直线。。1的斜率右0]=打直线厶的斜率統=-*直线的方程为产

可设直线厶的方程为y=-1r+仇匕>0).

又圆心。到直线厶的距离(/,=■“/―”==1,解得/>=1(负值舍去).故内公切线厶的方程为_y=--x+^.

闺+1

(_4

由y一§爲得直线/与直线oa的交点为

(X=-1,A"/），

则可设直线厶的方程为y+g=«r+l).

.、，用7.725

=

又圆心O到直线厶的距离d?—I—1,解得fc=—,故直线厶的方程为v—X--.

，

犬I7+142424

由上可知，与圆x2+y2=l和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的直线的方程为4-1,或),=-}+*或产才号.

152次解析如图所示，伞柄底位于橢圆的左焦点，且左焦点到右顶点的距离为2證,即a+c=2&.

在AA8C中，由正弦定理得=一之一，

sm(60+45)sm60

•3亜+遅_3鱼-V5

该椭圆的离心率为e=£=邛吗=2-禽.

a3V2+V6

16.|鱼解析设过点F(O,p的直线/的方程为广乙+笠斜率存在且不为0),A(xi,yi),B(X2,y2),联立

{I=I：%消去工得产(23+1/+£=0,可得力竺=。

+§=1,

由|AF|=3|B用=3,可得；

+7=3,

则(3用(吗)=《解得竭

过点M作准线的垂线，垂足为。，则可得鬻=黑=一£而

\MF\\MD\s\nz.MND

若粤取到最大值即/MND最小，此时直线与抛物线C相切.

\MF\

r2n

/=3g,即广号，则

设M出,方则切线斜率Z=|配,切线方程为)4=|xo(x-xo),切线过点N(O,q),代入得《-弓=-

苧，解得xo=±|,即M(±|,|),

则|MO|二|,|ND|二|,即/MND1.

则号［的最大值为鱼.

\MF\

17.解⑴设P(x,y),由|PQ=2|PF|,

得|尤+4|=2丿(74-1)2+y2,整理得9+9=1,

所以曲线。的方程为白寅L

(2)设过点M(x(),yo)的切线方程为y-yo=A(x-xo)(斜率必存在),A(山,划),8(加,)七).

圆心为dO),半径为『1,所以点尸(-1,0)到y・yo=&(x・A：o)的距离4=匕兽改”=1,

即(诏+2XO)M-2(XO+l)jo^+yo-1=0，

则凡+依=2$°鲁；。次伙

XQ-TZXQXQTZXQ

所以若全=卷又因为4诏=12-3诏田,1,解得向=1.因为直线加4:了-加=%]0M)),令以=0,得

IV5T

%二州・&逮0,同理)俯二%・女2X0.所以|厶用二|以・如|=沏的・々2|=九0[(%1+k2)2-轨/2=

18.解⑴点“1,点)，则切线方程为吟=知),联立｛"；；产D消去并整理得/仍+小

1=0,依题意/=〃2-4(/?-1)=0,解得p=2,

所以抛物线C的标准方程是f=4y.

1

(2)设抛物线C上关于直线/对称的两点为4为,%),83/2),则设直线AB的方程为产++f(fGR),

联立卩='2X+''消去y并整理得d+ZxduO/iud+W〉。,解得r>4，

x2=4y,

贝寸x\+x2=-2,yi+y2=-1(xi+x2)+2t=2t+1.

显然线段AB的中点+在直线/上,

1C

于是得什5=-2+m,即

1C1q

而因此加-彳>；解得zn>-,

4244

所以实数，n的取值范围是(I+00).

22

19.解⑴当1=4时,£的方程为菅+刍=1,A(-2,0).

直线AM的方程为y=A(x+2),代入椭圆方程，整理可得(3+4炉*+16&+16炉-12=0,

设M(xo,yo),则用=-芸*则\AM\=>Jl+k2-2-长和=Vl+k2-痣^.

由攸4丄NA,得直线NA的斜率为所以|AN|=11+4•壬=Vl+k2-岑J

k7k3+—3k+4

k2

由\AM\=\AN\,^y/l+k2-上=Vl+k2•所以一^=和4k“4+3h3F=0,

3+4/3kz+43+4fcz3M+4’

整理可得(h1)(4炉+左+4)=(),由4标+左+4=0无实根，可得k=l.

2

故△AMN的面积为3厶凹2=；(7mx県)=*.

(2)由题意r>3,k>0,A(-a,0),直线AM的方程y=Z(x+a),

y=kx+ky/t,

由22得(3+rF)x2+2VFiFx+r2F-3/=0.

bx+卜vi，

_______J4xtx3(3+tk2-tfc2)

故|AM|=V1+k2•-------2--=--S----+H•言7.由M4丄NA,得直线NA的斜率为［伏>0),所

以|AN|=|1+4-小牛=V1+/C2■华:由21AM=|4N|,得271+H=Vl+fc2■巨壯，即

7k3d—3k+£3+tk3k+£

kZ

3&+芯=6M+2f,因此f=吗%>3,等价于“飞2+42=(A-2)y+i)<0,即孕<0

k-Zk-2.k-ZK-L

由此噸2>2或优2共解得岳%<2.

因此火的取值范围是(好,2).

20.解⑴圆G的圆心为G(-2,0),半径为r,=3.

圆C2的圆心为。2(2,0),半径为厂2=1.

设动圆P的半径为R,因为动圆P与圆G、圆C2都外切，

所以\PC\|=R+，|=/?+3,|PC2|=/?+厂2=/?+1,

所以|PGHPC2|=2<4=|GC2|,所以点P在以G,C2为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支上.

22________

设双曲线的标准方程为3—£=1(〃>0/>0),C=A/Q2+，2,所以2〃=2,2c=4,所以

tz=l,c=2,/?=Vc2-a2=V3.

注意圆G与圆。2外切于点(1,0),P不可能为(1,0),

2

所以。的方程为v

(2)存在圆£(X-8)2+/=1满足题意.

设A3j]),B(X2,y2),AB的中点为A/(xojo).

因为A乃是C上不同的两点43中点的横坐标为2,

右

4=1,①

所以卜浮=1，②

%0=空=2,③

Jo=④

①-②得(xi+X2)(X|-X2)-("'=0.

yf_3(勺+犯)3x46

当以8存在时,%A8=

打-%2-Xi+y22yoy。'

所以A6的中垂线/的方程为)『=-4(x-2),即/:>=-4(X-8),所以/过定点7(8,0).

当直线A8的斜率不存在时，点A,8关于x轴对称的中垂线/为x轴，此时/也过7(8,0).

所以存在定圆E:(x-8尸+y2=l,使得/被圆E截得的弦长为定值2.

21.解(1)抛物线E：V=2px的焦点为曬,0),由①知，点f在线段仞V上，由②知,AOMN为正三角

形,由③知，直线MN过点(6p,0),显然①③矛盾.

若满足①②，令M7l,S|),N(72,S2),则IMN冋|+f2+p,

由|OM=|ON|,得片+s/=0+s/,即4+2/?九=抬+2/比!=(厶心)(厶+七+2/2)=0,故t\=ti.

又QM|=|MN|,所以4+2mi=(2〃+p)2,整理得3片+2pf|+p2=0/<0,无实数根,故①②矛盾.

依题意，同时满足的条件为②③，

因为直线MN的方程为x=6p,所以不妨令M(6p,2何),N(6p,-2岛)，则|MN|=4岛，

又=86,所以p=2,此时QM=|ON|=88,即|OM|=QN|=|A/N|=8次成立，

所以抛物线E的标准方程为)^=4x.

(2)显然直线AB不垂直于y轴,设AB:x-my+},

联立{：21^+1'消去》并整理得y2-W-4=o,

设A(xi,yD,8(X2,y2),由抛物线的对称性，不妨令点A在x轴上方，即y>()加>2=・

2

==

4,X]X2~^TZ~丿%="-^\AB\—X\+X2+2=X】H—n2.

16V1

由冋|=|F£)|,得。(田+2,0),则直线厶。:产与(上汨-2),联立卩=-5(％%-2),

'2(y2=4x,

消去x并整理得:\?+2'-制-2=0,则点C的纵坐标为‘乎,于是得点C^4