2023届新高考开学数学摸底考试卷19

2023届新高考开学数学摸底考试卷19

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.若集合4={x|lnx>l},8==则（\A）IB=（）

A.1x|-2<%<ljB.{x|-24x〈e}C.^x|—2<x<ijD.|x|—2<x<e^

2.已知复数z满足W—z=2i，则z的虚部是（）

A.-1B.1C.-iD.i

3.“加〈0”是“函数/（x）=lnx-皿在（0,1］上为增函数”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.函数y=2sin2x+2cosx-3的最大值是（）

A.-1B.1C.一一D.-5

2

5.垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的

一系列活动的总称.分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用.进行垃圾分类收集可

以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等几方面的

效益.已知某种垃圾的分解率u与时间♦（月）满足函数关系式丫=〃为‘（其中。，力为非零常数）.若经过

12个月，这种垃圾的分解率为10%,经过24个月，这种垃圾的分解率为20%,那么这种垃圾完全分解（分

解率为100%）至少需要经过（）（参考数据照220.3）

A.120个月B.64个月C.52个月D.48个月

6.如图，AB是：。的直径，点C、。是半圆弧AB上的两个三等分点，AB=a>AC=b>则A。等

于（)

aD

1,

B.-a-bC.QH—bD.-a+b

222

V2V2

7.己知函数丁=/-*（。>0,且的图象恒过定点A，若点A在椭圆二+2-=1上,

mn

则机+〃的最小值为（）

A.12B.10C.8D.9

8.A，B，C,D，E五个人站成一排，则A和。分别站在8的两边（可以相邻也可以不相邻）的概率

为（）

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设等比数列｛4｝的公比为q,其前〃项和为S,,,前〃项积为7；,并满足条件4〉1,«2019«2020>1.

的"9一:<0,下列结论正确的是（）

.202011

B・。2019。2021-1<°

C.4,20是数列｛1｝中的最大值D.数列｛（,｝无最大值

10.在人钻。中，如下判断正确的是（）

A.若sin2A=sin2B,则AH5C为等腰三角形

B.若A>B,则sinA>sin8

C.若ZSABC为锐角三角形，则sinA>cos8

D.若sinA>sin3,则A>5

11.在平面直角坐标系xOy中，动点P与两个定点耳（一百,0）和&（省,0）连线的斜率之积等于g,记点

P的轨迹为曲线E,直线/:y=k（x-2）与E交于A,B两点，贝I（)

E的方程为三-yB.E的离心率为6

3-

C.E的渐近线与圆（x-2『+尸=1相切D.满足|AB|=2g的直线/有2条

llnxl,x>00C

已知函数/（x）=11八，若函数y=/（/（x））+Q有6个不同零点，则实数1的可能取值是

x+1,x<0

C.-1

第n卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.给出下列说法：

①回归直线$=bx+a恒过样本点的中心（x,歹）；

②两个变量相关性越强，则相关系数卜|就越接近1;

③某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,此时这8个数的方差不变；

④在回归直线方程9=2—0.5x中，当变量x增加一个单位时，夕平均减少0.5个单位.

其中说法正确的是.

14.若（X+2）"'”=%+。1*+4%2+.+。2022%2侬，贝1]4+42+。4+。2022被4除得的余数为.

15.有以下四个条件：

①/（x）的定义域是R,且其图象是一条连续不断的曲线；

②/（X）是偶函数；

③/（X）在（0,+。）上不是单调函数；

④/（X）恰有两个零点.

若函数同时满足条件②④，请写出它的一个解析式/（力=;若函数同时满足条件①②③④,

请写出它的一个解析式g（x）=.

16.设函数y=/（x）的定义域为。，若对任意不£。，存在々e。，使得/（%）"。2）=1,

则称函数/（X）具有性质M，给出下列四个结论：

①函数y=d一%不具有性质M；

②函数y=L一具有性质加；

③若函数y=log8（x+2）,xe[O用具有性质“，则/=510；

④若函数3='inx+j具有性质",则。=5.

4

其中，正确结论的序号是.

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）在①。2+4=6,/+4=11；②邑=12,4=31，两个条件中选择一个，补充在下面的

问题中，并解答该问题.

已知数列｛%｝为等差数列，数列出｝为等比数列，数列｛4｝前n项和为S”,数列也｝前n项和为Tn,

q=1,b]=1,.

⑴求｛4｝,也｝的通项公式；

（2）求数列[去，的前〃项和.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.（12分）△A3C的内角A，B，C的对边分别是a,b，c,且Ga-csin8=®cosC.

（1）求角B的大小；

（2）若b=3,。为AC边上一点，50=2，且___________，求ZXABC的面积.（从①80为的平

分线，②。为AC的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答）

19.（12分）在2020年的新冠肺炎疫情影响下，国内国际经济形势呈现出前所未有的格局.某企业统计了

2020年前5个月份企业的利润，如下表所示：

月份12345

企业的利润（万元）9095105100110

（1）根据所给的数据建立该企业所获得的利润》（万元）关于月份x的回归直线方程$=加+&,并预测

2020年12月份该企业所获得的利润；

（2）企业产品的质量是企业的生命，该企业为了生产优质的产品投放市场，对于生产的每一件产品必须要

经过四个环节的质量检查，若每个环节中出现不合格产品立即进行修复，且每个环节是相互独立的，前三

个环节中生产的产品合格的概率为_L,每个环节中不合格产品所需要的修复费用均为100元，第四个环节

2

3

中产品合格的概率为一，不合格产品需要的修复费用为50元，设每件产品修复的费用为J元，写出J的分

4

布列，并求出每件产品需要修复的平均费用.

Z苦力一却

参考公式：回归直线方程y=hx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为刃=号---------，

£.一友2

/=1

a=y-bx,x,了为样本数据的平均值.

20.（12分）图1是由正方形ABC。，RtAABE,RtZ\CD尸组成的一个等腰梯形，其中AB=2,将

△ABE、△CUE分别沿AB,8折起使得E与尸重合，如图2.

（1）设平面ABE平面CDE=1,证明：IHCD；

（2）若二面角A-BE-。的余弦值为好，求AE长.

5

E(F)

EAD

21.（12分）已知函数/（x）=e"—ex,其中实数a00.

（1）讨论/（X）的单调性;

（2）当X2O时，不等式—1）2恒成立，求a的取值范围.

22

22.（12分）已知椭圆[+[=1（4>/?>0）的左焦点为凡过尸的直线》一46y+G=O与椭圆在第一

a'b'

象限交于M点，0为坐标原点，三角形的面积为且

4

（1）求椭圆的方程；

（2）若ZVIBC的三个顶点A,B,C都在椭圆上，且。为"BC的重心，判断八钻。的面积是否为定

值，并说明理由.

2023届新高考开学数学摸底考试卷19

答案

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.【答案】B

【解析】依题意，A={x|lnx>l}={x|x〉e},所以"A={x|xWe},

因为8=卜1=Jx+2]={x|xN_2},故(\A)B=[x\-2<x<e],故选B.

2.【答案】A

【解析】设z=a+/2i(a,/?eR),

因为J-z=2i，可得z-z=a-Z;i-(a+历)=-2历=2i,

则一»=2,可得匕=一1,所以复数z的虚部是—1，故选A.

3.【答案】A

【解析】由f(x)=lnx-/nx可得,

x

若/(x)=Inx—在(0,1]上为增函数，则/'(%)»0在(0,1卜恒成立，

即加4：在(0,11恒成立，则相£1,

(-oo,()]U(^x),1],

则可得“加工0”是“函数/(x)=Inx-/nr在(0,1]上为增函数”的充分而不必要条件，故选A.

4.【答案】C

【解析】y=2sin2x+2cosx-3=2(l-cos2x)+2cosx-3

=-2cos2x+2cosx—\——2(cosx—)2—,

22

因为一l<cosx〈l,所以当cosx=—时等号成立，

2

,1

所以函数y=2sin~x+2cosx-3的最大值是一不，故选C.

5.【答案】C

卜(12)=a沙2=0.11

【解析】依题设有《；；24，解得。=2质，a=0.05,

v(24)=必24=02

/j_y

故v(7)=0.05x2>2.

(_i_Y

令v(f)=l,得2卫=20,

故log,2。=智=臀。丝运1=52,故选C.

"1g2-：怆2°3

6.【答案】D

【解析】连接CO、OD、0C，如图.

由于点。、。是半圆弧AB上的两个三等分点，则N3OD=NCW=NAOC=60°,

Q4=OC=OD,则△40。、△COZ)均为等边三角形，.•.NQ4C=NOC£)=60°,

ZOAC=ZBOD,OD//AC，同理可知CD〃AB,

所以，四边形AODC为平行四边形，所以，AD^AO+AC^-a+b,

2

故选D.

7.【答案】D

(1¥(1Y-2

【解析】由于函数y=r(。>0,且awl)向右平移两个单位得y=■!"(a>0,且awl),

\a)\a)

即为函数y=a2r(a>0,且awl),所以定点A(2,l),

r2v241

由于点A在椭圆二+乙=1，所以一+—=1，且相>0,〃>0,

mnmn

所以机+〃=(m+n)|—+—|=5+—+—>5+25/4=9,

n)mn

4-nlYt

当且仅当一=一,即加=6,〃=3时取等号，故选D.

mn

8.【答案】B

【解析】A和。分别站在6的两边，则8只能在中间3个位置，分类说明：

(1)若8站在左2位置，从A，。选一个排在8左侧，剩余的3个人排在B右侧，

故有C；A；=2x3x2x1=12种排法；

(2)若B站在3位置，从A，C选一个，从O,E选一个排在8左侧，并排列，剩余的2个人排在8右

侧，

故有C；C；A冠=2x2x2x2=16种排法;

(3)若8站在右2位置，排法与(1)相同，即有12种排法；

所以A和C分别站在B的两边的排法总共有12+16+12=40种排法；

A，B，C,D，E五个人站成一排有"=A；=5x4x3x2x1=120种排法，

401

故A和。分别站在B的两边的概率P=——=一，故选B.

1203

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.【答案】AB

【解析】当q<0时,a2019a2020=。2019,<0，不成立；

a—1

当“21时，fl2019>1,%必>1,2'"9]<0不成立;

〃2020.1

故。<(/<1,且％0]9>1，。<%020<1，故邑020>^(2019，A正确；

2

a2019a2021T=a2020-1<0,故B正确；

toi9是数列｛(,｝中的最大值，C、D错误，

故选AB.

10.【答案】BCD

【解析】选项A.在ZVIBC中，若sin2A=sin2B,则2A=28或2A+23=兀,

TT

所以A=8或A+8=一，所以八钻。为等腰或直角三角形，故A不正确：

2

选项B.在"BC中，若A>8,则a>b,

由正弦定理可得2RsinA>2Rsin8,即sinA>sin8,故B正确；

TT

选项C.若/XABC为锐角三角形，则A+8〉一，

2

jrTTI7C\

所以一〉4>——B>0,所以sinA>sin|——B\=cosB,故C正确；

22U）

ah

选项D.在△ABC中，若sinA>sinB,由正弦定理可得一>—,

2R2R

即a>Z?,所以A>3，故D正确，

故选BCD.

11.【答案】CD

VV1丫2

【解析】令P（x,y）,由题意得一^•—即得二—>2=i,x*±JL.・.A错误;

x+V3x-V333

又。=百，c=2,即e=2叵，故B错误，

3

由E的渐近线为y=士*X,而（x-2/+y2=］圆心为（2,0）,半径为1,

2百

(2,0)到"±冬距离为d=j3=1,

故E的渐近线与圆（x-2『+尸=1相切，故c正确；

联立曲线E与直线/的方程，整理得（1—322）/+12左2尤_3（4左2+1）=。，/=1+-〉0,

,X1+工2=]，X[%2=3^^+：，，而=J]+[2]X]一工2|=2上,

代入整理IAB|=2R+"-)=273,

13k—11

即有42=1或/=0(由y=0与±—y2=],xw±6无交点，舍去)，故女=±1,，D正确,

3

故选CD.

12.【答案】BD

对于A：当。=0时，/(/(幻)=0,

故/'(x)=T,f(x)=l,故x=0,x=-2,x=~,x-e,

e

故方程/(/(x))+〃=0有4个不等实根；

对于B：当a=—g时，/(/(幻)=；,故/(左)=—；,/(x)=〃，f(x)=

当/(x)=—；时，由图象可知，有1个根，

当/(x)=右时，由图象可知，有2个根，

当/")=2时，由图象可知，有3个根，

故方程/(/(x))+。=。有6个不等实根;

对于C：当a=-l时，/(/(x))=l,

故/(x)=0,/(x)=e,/(x)=L

e

当/(x)=0时，由图象可知，有2个根，

当/(x)=e时，由图象可知，有2个根，

当/(x)=J•时，由图象可知，有3个根，

e

故方程/(/(X))+。=0有7个不等实根；

对于D：当。=一：时，/(/(x))=g,

故/(幻=一彳，/(%)=%，/(x)=亍，

3Ve

当/(*)=一：时，由图象可知，有1个根，

当/(》)=%时，由图象可知，有2个根，

当/(x)=J=时，由图象可知，有3个根，

Ne

故方程/(/(x))+。=0有6个不等实根，

故选BD.

第n卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.【答案】①②④

【解析】对于①中，回归直线*=京+&恒过样本点的中心丘亍)，所以正确；

对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数1川就越接近1,

所以是正确的；

_7x4+4

对于③中，根据平均数的计算公式可得x=--------=4,

7+1

根据方差的计算公式S2=-7x2+（4-4）-=1.75<2,所以是不正确的；

对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程9=2-0.5x中，当解释变量x增加一个单位时，预

报变量5平均减少0.5个单位，所以是正确的，

故答案为①②④.

14.【答案】1

【解析】由题知，尤=—1时，a0—at+a2—a3+—a202l+a2O22=10,

X=1时，+q+%+%++“2022=3~0~~②，

由（D+②，得<2（）+4+4++%022=2（3-0一+1），

故:（々0++/++4022）=J（32（）22+1）=J（91（），1+1）

4oo

=*8+1片+1卜。％8仙+0"髀。++C黑阳+4；+1）

oL」3

1小0Q10I1,r.1Q10I0..^I010ol\.1

=1一01科+CIO118+,+。1011，户“

所以被4除得的余数是1,故答案为1.

15.【答案】/（X）=-X2+2（答案不唯一），g（x）=—%2+国+2（答案不唯一）

【解析】根据条件②④可得〃力=一/+2（答案不唯一），

根据函数同时满足条件①②③④，可得g（x）=-/+N+2（答案不唯一）.

故答案为/（力=一一+2（答案不唯一），g（x）=—炉+凶+2（答案不唯一）.

16.【答案】①③

【解析】依题意，函数y=/（x）的定义域为£>,若对任意玉W。，存在乙6。，使得/（西）・/（工2）=1,

则称函数/（无）具有性质M.

①函数了二/一了,定义域是R,当％=0eR时，显然不存在％wR，使得/（5）/（々）=1，

故不具备性质M，故①正确；

②y=是单调增函数，定义域是R，,之&，.尸=晤=1,

当且仅当x=0时等号成立，即值域为口,一).

对任意的%>0，/(^)>1.要使得/(西>/(%)=1，则需/(9)<1，而不存在马GR,

使故3，=巴111不具备性质加，故②错误:

③函数y=log8(x+2)在[0刁上是单调增函数，定义域是[(),/],其值域为[logs2,log8(r+2)].

要使得其具有M性质，则对任意的看/(x,)e[log82,log8(/+2)],

，

总存在马«0,小〃々)=冗s'log8(r+2)1^2土［log82，log8«+2)］，

---------->log682

log8(r+2)----

log82xlog8(?+2)<l

即.即logs2xlog8(r+2)=l,

1log82xlog8(Z+2)>l

<log8(/+2)

logs2

故log80+2)=丁J=log28=3,即f+2=83,故f=510,故③正确;

logs2

④若函数y=3sin：具有性质”,定义域是R,使得sinxe[—1,1],

一方面函数值不可能为零，也即3sinx+a00对任意的x恒成立，而3sinxe[—3,3],

故a>3或a<—3,在此条件下,

43sinx+a……八

另一方面，y=---------的值域是y---------值域的子集.

3sinx+a4

3sinx+a-,a—3a+3444

y=-----------的值域为；y=------------的值域为

4443sinx+aa+3'a-3'

4a-34<a+3

要满足题意，只需——>―-

a+34a—3

44,4444

a<—3时,----------<1,>1,即1；

a+3a—3a+3a—3a+3a—3

444444

a>3时,>1,<1,即

a+3a—3a+3a—3a+3a—3

故」———=1,即(a-3)(a+3)=16,

a+3a—3

即"一9=16,即/=25,故。=±5.故④错误,

故答案为①③.

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【答案】⑴a“=3〃—2,么=2"T；⑵8—（6〃+8）2一”.

【解析】选择①：

（1）设等差数列｛4｝的公差为d,等比数列也｝的公比为9（4。0）,

由6=1,/?!=1,出+=6，%+”3=11，

\+d+4=6d=3

解得

1+2J+72=11、q=2

所以%=3〃-2,bn=2"-'.

(2)■；■己A“=?+合+鲁+•••++=[x]+4x2T+7x2-2+•••+(3〃-2)乂2一"+|；(])

A4&b,.

又2TA=1x2-1+4x22+7x2-3+…+(3〃-5)x2-e+(3〃-2)x2-",(2)

(1)-(2),得(A,,=1+3(2T+2-2+...+2-"+I)—(3〃—2)2”,

所以4=2+6(27+2-2+...+2-"+)-(3〃一2)2向，

=2+6(l-2-,,+l)-(3H-2)-2-n+1

所以4=8-（6〃+8）2一".

选择②：

（1）设等差数列｛%｝的公差为d,等比数列也｝的公比为4&。（）），且#1.

由4=1,a=1,S3=12,4=31,

3+3d=12d=3

得i.八3i(j)'解第

q=2

所以4=3〃—2,b„=2"-1.

(2)记A”=%+&+&•+…+%=lxl+4x27+7x2"+…+(3〃-2)x2-""-⑴

4Aabn

又2一|A,=1x2-1+4x2-2+7x2-3+・一+(3〃—5)*2-'用+(3”—2)x2-",(2)

(1)-(2),得=1+3(2-+2-2+…+2.)—(3〃—2)2",

所以A,=2+6(2一|+2-+...+2-/,+|)-(3«-2)-2-,,+|,

所以4=2+6-(3n-2)-2-n+1=2+6(1-2-,,+1)-(3n-2)-2-n+1,

所以4=8-(6〃+8)2一”.

18.【答案】(1)5=-；(2)选择①：5A,SC=—;选择②：SA.fiC=—.

【解析】(1)因为J5a-csin8=6/?cosC，

所以Gsin(3+C)—sinCsin5=石sin3cosC,

即得GcosBsinC=sinCsin8，sinCwO,则有tan8=G，

jr

又因为Bw(o,7i),所以8=§.

(2)选择条件①RD为壬出的平分线，

7T

因为80为B8的平分线，所以NA8O=NO8C=一,

6

又因为SMBC=S^ABD+SgDC，

।兀17rljcr~

所以一sin—=—x2。sin—+—x2csin—,即，3ac=2(〃+

232626

又根据余弦定理得h2=a2+c2-2accosB，即9=(a+c)2-3ac,

3、,)

则有9=](ac)--3ac,即(QC)--4QC-12=0,解得QC=6或ac=-2(舍)，

所以SARC=--cicsinB=-

ABC22

3

选择②。为AC的中点，则AD=OC=-,4BDA=TI—NBDC,cosZfiZM=-cosZBDC,

2

图2+2-(11+2—225

则有LU-----------------------,可得/+/=一,

332

2x-x22x-x2

22

-c7

又根据余弦定理得〃+《2-讹=9，解得〃c=一,

2

则S^ABC=；acsin3=.

Zo

9173325

19.【答案】(1)，=—》+—,140.5万元；(2)分布列见解析，修复的平均费用为——元.

-222

1+2+3+4+5_90+95+105+100+110

【解析】（1）由表格数据知亍==3,"---------；---------

§X,y,-5ja_(1x90+2x95+3x105+4x100+5x110)-5x3x100

b==(/+22+32+42+52)-5x32

<=i

45_9

W~2

9173

由回归直线经过样本点的中心（只歹）可知：100=5*3+4,.•.4=飞-

9173

则回归直线方程为9=51+-^-,

9173

预测2020年12月份该企业所获得的利润为-x12+—=140.5（万元）.

22

(2)根据题意知J所有可能取值为0,50,100,150,200,250,300,350,

••・雄=。）=0*噎P（"50）=©占强尸右㈣士以亭在《

2

fl?113P(=2(X))=C；<y1Ax-1x-32

一信=150）=C；­=--;f=~~~?

UJ243232

f1Yi13党=300)=©;今11

P（J=250）=C；—X—>一=--;350)=-X—=——

⑶2喉=

432V,乙)432

.•.4的分布列为：

百050100150200250300350

31939331

P

3232323232323232

31939331_325

.•.E(^)=0x—+50x—+100x—+150x—+200x—+250x—+300x—+350x-

v73232323232323232

即每件产品需要修复的平均费用为一元.

2

20.【答案】（1）证明见解析；（2）石.

【解析】（I）因为CEV/AB,ABi平面ABE，CO仁平面ABE，

所以C£>〃平面A3E，

又CDu平面ECO,平面ABE平面ECQ=/,所以i〃CD.

（2）因为AB〃CD,CDIDE,所以/WLDE，

又ABJ_AE,AEDE=E,AEu平面ADE,OEu平面ADE，

所以A5_L平面AOE，

因为ABi平面ABC。，所以平面ABC。，平面AED，

过E作EO_LA£>于点O,则。是AO的中点，

因为平面ABC。1平面A£D=AZ）,EOu平面AOE,

所以EO_L平面A6CO，

以。为原点，与A8平行的直线为x轴，。。所在直线为y轴，OE所在直线为z轴,

建立空间直角坐标系。一孙z,

【解析】(1)f\x