经济应用数学教程-微积分课件：导数及其应用（下）

第七节最大值与最小值问题在实际应用中，常常要求诸如成本最少、用料最省、容量最大、效率最高、利润最大等等问题.这些问题在数学上归结为求某一函数（在应用中此函数习惯上称为目标函数）的最大值或最小值问题．一、函数的最大值与最小值

函数的最大值与最小值通称为函数的最值。设函数是闭区间上的连续函数，由闭区间上连续函数的性质可知，函数在闭区间上一定存在最大值和最小值.

1，什么是函数的最值？

2，函数有没有最值？若要求出函数的最大值与最小值，从比较所有的函数值求得最值是不现实的，事实上只需要比较那些有可能取到最大或最小的点处的函数值就可以了.函数的最大值和最小值是一个全局性概念，只能在区间内的极值点和区间的端点处取得

3，怎么求函数的最值？求函数在闭区间上的最值步骤如下：

（1）求出函数在区间内一切驻点及不可导点；（2）计算函数在驻点（含不可导点）以及端点处的函数值；（3）将这些值加以比较，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者函数在闭区间上的最小值.例1

求函数在区间上的最大值与最小值.例2

求函数在区间上的最大值与最小值.练习

求函数在给定闭区间上的最值。在开区间上求函数的最值例：1，函数在区间上；

2，函数在区间上；

3，函数在区间上。在开区间上求函数的最大值与最小值问题具有不确定性，因此无统一方法求得.但函数在某个开区间内若只有一个极值点，那么在包含该极值点的开区间内，极大值就是最大值，极小值就是最小值．如果函数在开区间可导且有惟一的极值点，求其最大值与最小值的步骤为：（1）计算一阶导数的表达式；（2）令，求出惟一的驻点；（3）计算二阶导数表达式，判断的符号.若，函数在开区间上的最小值为，无最大值.若，函数在开区间上的最大值为，无最小值.例3

求函数最值.例4

求函数其定义域内的最值.练习

求下列函数的最值。二、最大值与最小值的应用例5

某产品的总成本是产量的函数，即，问产量为多少时，才能使得平均单位成本最低？最低平均单位成本是多少？例6

某厂生产吨某产品的平均成本（万元∕吨），产品销售价格为万元∕吨，它与产量吨的关系为，问产量吨为多少时，才能在每批商品全部销售后获得的总利润最大？最大利润是多少？例7

设工厂A到铁路线的垂直距离为30km，垂足为B，铁路线上距离B为150km处有一原料供应站C，现在要在铁路BC段处D修建一个原料中转车站，再由车站D向工厂A修一条公路，如果已知铁路运费与公路运费之比为，那么，车站D选在何处，才能使从原料供应站C运货到工厂A所需运费最省？*三、函数的作图

利用导数知识研究了函数的单调性、极值、凹凸性与拐点之后，则可以根据函数所具有的性质描绘出函数的图形，使得函数的作图有了严密的理论依据，提高了函数作图的准确程度.为了掌握曲线在无穷远处的变化情况，还需要利用极限知识讨论曲线的渐近线.

1、曲线的渐近线定义2.7.1

若曲线：上的动点沿着曲线无限远移时，动点到直线：的距离无限接近于零，则称直线是曲线的渐近线.《经济应用数学教程——微积分》△函数极限与渐近线△水平渐近线《经济应用数学教程——微积分》△铅垂渐近线《经济应用数学教程——微积分》（1）垂直渐近线若或，则是的垂直渐近线.例：（2）斜渐近线（）特别地，当时，是曲线的水平渐近线.

例：若是曲线的斜渐近线，则由渐近线的定义可导出

，.作出函数图形的一般步骤为:（1）确定函数的定义域；（2）讨论函数的一些基本性质(如奇偶性、周期性、曲线与坐标轴的交点等)；（3）确定函数的单调区间、极值、凹凸区间及拐点；（4）确定渐近线；（5）作图.2、函数图形的描绘例8

作出函数图象.该曲线在概率与统计中有广泛的应用，称为概率曲线.例9

作函数的图形.《经济应用数学教程——微积分》《经济应用数学教程——微积分》作业练习2-7：1

2

4练习2-7

1.求函数区间上的最值.

2.求函数在其定义域内的最值.

3.设扇形的周长为常量，问扇形的半径为多少时，扇形的面积最大？

4.某商品的成本函数为，试问：生产数量为多少时，可使平均成本最小？

5.某商品的成本函数为，又需求函数（其中为该商品单价），求能使利润最大的值.

6.甲乙两条河垂直相交，两条河的宽度分别为和，问在两河相交处能拐弯的船只中，船长最大能为多少？第八节微分及其应用在许多实际问题中，不仅需要知道自变量的变化引起函数变化的快慢程度，而且还需要计算当自变量在某一点取得一个微小增量时，函数取得相应增量的大小.一般来说，利用公式计算函数的增量的精确值不是一件很容易的事情，实际中有时只需求出它的近似值就可以了.为此，引入微分的概念及其运算.一个正方形场地，边长为，则其面积，此时，如果边长有一个改变量，则面积的改变量

一、函数的微分【引例2.8.1】面积改变了多少？当很小时，比要小得多，即时，是比高阶的无穷小.1.微分的概念定义2.8.1

函数在点处及其左右有定义，自变量在点处有一变化量，此时函数的改变量，当时，如果存在一个常数A，使得小到可以忽略不计，则称函数在点处可微，并称为函数在点处的微分值，记作定理2.8.1

函数在点处可微的充分必要条件是在点处可导，且有

1，任意一点处的微分.由定理：2，如果将自变量看成是其自身的函数，即，则3，导数与微分是等价的：函数的微分与自变量的微分的商等于该函数的导数，即例1

计算函数当由变为时的微分值.

例2

求函数的微分.微分的几何意义是：在的一个充分小的范围内，可用处的切线段的改变量近似代替处曲线段的改变量.2.微分基本公式与运算法则

从函数的微分表达式，可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以自变量的微分即可．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；①微分基本公式（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）.②函数的和、差、积、商的微分法则设可导，则（1）；（2）；（3）；（4）.③复合函数的微分法则设及都可导，则复合函数的微分

.由于，所以复合函数的微分也可以写成.微分的形式不变性例3

求函数的微分.例4

求函数的微分.例5

求函数的微分.二、微分在近似计算中的应用由微分的定义可知，函数在某一点处的微分值，就是自变量改变量时，函数改变量的近似值，即，变形得近似计算公式.例6

计算的近似值.例7

已知一个球的外直径为10cm，球壳的厚度为cm，求球壳体积大约为多大？例8

计算的近似值《经济应用数学教程——微积分》《经济应用数学教程——微积分》作业练习2-8：1，（1）（3）

3，（1）

练习2-81.求下列函数的微分.（1）；（2）；（3）；（4）2.求方程所确定的函数的微分.3.求下列各式的近似值.（1）；（2）.4.某厂生产扇形板，半径mm，要求中心角为55°，产品检验时，一般是量弦长L，如果测量弦长的误差mm，问由此而引起的中心角的计算误差是多少.5.设球的直径为10cm,如果计算球的体积要求精确到1%，那么度量球的直径时允许的最大误差是多少？第九节

微分学在经济分析中的应用举例

导数是经济分析中非常重要的数学工具，本节介绍边际分析和弹性分析.一、边际函数

什么是边际分析：边际分析在经济学上是一种对增量进行分析的方法，它在一定程度上背离了传统的分析方法，指出阐明各种生产要素的新增量所带来的生产效率和经济效益才是最有意义的.

边际分析的重要性：边际分析法是经济学的基本研究方法之一，不仅在理论上，而且在实际工作中起着十分重要的作用，它被认为是打开经济决策王国的钥匙，通常与管理决策优化密切相关.函数边际函数

边际函数是指单位数量的产品变动时经济函数相应的改变量，即经济函数的瞬时变化率.

边际函数值表示在处，当x改变一个单位时（增加或减少），函数y近似地改变了个单位.边际函数值1.边际成本

总成本函数的导数称为边际成本函数.其经济意义为：当产量为x时，再生产一个单位产品所增加的成本.边际成本近似地等于第个单位产品的成本。2.边际收入总收入函数的导数称为边际收入函数.其经济意义为：在销量q为时，再多销售一个单位产品所增加的收入.近似地等于第个单位产品的收益.3.边际利润

总利润函数的导数称为边际利润函数.其经济意义为：在销量q为时，再多销售一个单位产品所增加的利润.近似地等于第个单位产品的利润.

利润等于总收入与总成本之差，即，则，

边际利润等于边际收入与边际成本之差.4、边际需求

边际需求为需求函数的导数.在经济学中解释为：边际需求是当价格为p时，需求量对价格的变化率（需求量单位/单位价格）.可近似理解为：当价格为p时，价格上涨（或下降）1个单位需求量将减少（或增加）的数量.例1

设某产品产量为x吨时的总成本（元）求：产量为100吨时的总成本、平均成本及边际成本.例2

设某产品的需求函数为，求：

（1）边际收入函数；

（2）20、50和70时的边际收入.二、函数的弹性

边际是函数的绝对变化率(如边际成本、边际收益、边际需求等)，但是在实践中，仅仅研究函数的绝对变化率是不够的，还需要研究函数的相对变化率.例如，商品甲：每单位价格为10元，涨价1元；商品乙：每单位价格为100元，也涨价1元。商品甲涨了10%商品乙涨了1%给定变量，它在某处的变化量（增量）称作绝对改变量，绝对改变量与变量在该处的值之比称作相对改变量.

定义2.9.1（函数在点处的弹性）设函数，当自变量x在点有增量时，函数有相应的增量，将比值称为自变量的相对改变量，将称为函数的相对改变量.如果极限存在，那么称此极限为函数在点处的弹性，记作，即

定义2.9.2（弹性函数）对于函数，如果极限存在，则称此极限为在点x处的弹性，记为，即也称为函数的弹性函数.弹性分析研究的是函数的相对改变量的比率，它是经济分析中常用的一种方法，主要用于对生产、供给、需求等问题的研究.

弹性是经济学中的另一个重要概念,用来定量地描述一个经济变量相对于另一个经济变量变化的快慢程度，更具体的来说，它指的是一个经济变量变动百分之一时会使另一个经济变量变动百分之几.弹性函数反映了随x的变化，变化幅度的大小，也就是对x变化反应的灵敏度.即当x改变时，近似地改变.对于需求函数，由定义得需求弹性

.需求弹性表示某种商品需求量Q对价格p变化的敏感程度.需求弹性一般为负值，其经济意义为：当某种商品的价格下降（或上升）时，其需求量将增加（或减少）.当时，称为单位弹性当时，称为富有弹性当时，称为缺乏弹性商品需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等，此价格是最优价格.商品需求量的相对变化大于价格的相对变化，此时价格的变动对需求量的影响较大.换句话说，适当降价会使需求量较大幅度上升，从而增加收入.