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文档简介

涡旋运动的基本概念和涡量输运方程流体运动中速度环量的变化对于理想正压流体，体积力有势，则沿任一封闭物质线的速度环量和通过任一物质面的涡通量在运动过程中恒不变，称此为开尔文(Kelvin)定理涡旋运动的基本概念和涡量输运方程Kelvin定理的推论(Lagrange涡保持定理)：理想正压流体，体积力有势，如果初始时刻在某部分流体是无旋的，则在以前或以后任一时刻中这部分流体始终无旋；反之，若初始时刻该部分流体是有旋的，则在以前或以后任一时刻中，这部分流体始终有旋。我们称之为漩涡不生不灭定理。涡面保持定理：理想流体正压、体积力有势时，则在某时刻组成涡面的流体质点在前一或后一时刻也永远组成涡面。证明：设初始时刻t=t0

，流体中有一涡面，在涡面上任取一面积S，则通过S的涡通量，在以前及以后任一时刻，组成涡面S流体质点构成面S*，根据Kelvin定理，有。由于S的任意性，有，即在面S*上，，即S*为涡面。同理可证，涡管保持定理：理想流体正压、体积力有势时，则在某时刻组成涡管的流体质点在前一或后一时刻也永远组成涡管。涡旋运动的基本概念和涡量输运方程涡线保持定理：理想流体是正压的，体积力有势，则在某时刻组成涡线的流体质点在前一或后一时刻也永远组成涡线。证明：由于涡线可视为两个涡面的交线，由涡面保持定理可推出涡线保持定理。可见，理想流体正压、体积力有势时，涡面、涡管、涡线都具有保持性，它们通常称为亥姆霍兹第一定理。证明：由开尔文(Kelvin)定理：涡管强度即可证涡管的强度在运动过程中保持不变。亥姆霍兹涡管强度保持定理(亥姆霍兹第二定理)：理想正压流体，体积力有势，则任何涡管的强度在运动的全部时间内保持不变。涡旋运动的基本概念和涡量输运方程【例5-4】对无粘性密度为常值的流体，在体力有势条件下作定常运动，试证明：(a)若做平面运动，则沿流线，涡量保持不变；(b)若做的轴对称运动，则沿流线，保持不变。证明

(a)在平面运动中，满足

在流动平面(xy平面)上任取一小流管，如图，并在此流管中作面积为A1微元的涡管(注意现在的涡管是和xy平面垂直的)。由于定常运动，迹线和流线是一致的，在某一时刻t，组成流管的微元沿流线运动到2处，面积为A2，根据亥姆霍兹涡管强度保持定理，有由于微元和时间t的任意性，可以推导出沿流线保持不变。其中分别为截面上的涡量，根据连续性方程，有涡旋运动的基本概念和涡量输运方程(b)若做的轴对称运动，则，于是涡量这说明涡的方向是方向，即与子午面(rz平面)是垂直的，在子午面上任取一小流管，如图，在流管中做截面积为的涡管(是半径为的环状管)，由于定常运动，此微元涡管随流体质点沿流管运动，在某一时刻t，组成流管的微元沿流线运动到2处，构成截面积为的涡管，根据亥姆霍兹涡管强度保持定理，有其中分别为截面上的涡量，根据连续性方程，有由于微元和时间t的任意性，可以推导出沿流线保持不变。涡旋运动的基本概念和涡量输运方程(b)若做的轴对称运动，则，于是涡量

(1)在平面运动中，满足

作业5.1求下列流场的涡量场和涡线。(1)

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