2023年高中数学向量法求空间角学案

高中数学向量法求空间角

【考试要求】能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题

的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用.

・落实主干知识

佚口识梳理】

1.异面直线所成的角

若异面直线八，，2所成的角为仇其方向向量分别是“，V,则cos6>=|cos〈"，v>|=.

2.直线与平面所成的角

如图，直线48与平面a相交于点8,设直线N8与平面a所成的角为仇直线N8的方向向量为“，平面a的

法向量为"，贝sin(9=|cos(u,n)|=l|w||n|l=_________.

A

3.平面与平面的夹角

如图，平面a与平郦相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90。的二面角称为平面a与平面

£的夹角.

若平面a,4的法向量分别是和〃2,则平面a与平面£的夹角即为向量小和小的夹角或其补角.设平面a

与平面口的夹角为仇则COS(9=|COS〈"1,〃2〉|=.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“义”)

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()

(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()

(3)两异面直线所成角的范围是(°，zJ,直线与平面所成角的范围是一仇d.()

(4)直线的方向向量为〃，平面的法向量为〃，则线面南。满足sin8=cos〈〃，〃〉.()

【教材改编题】

1.已知向量"，，"分别是直线/和平面a的方向向量和法向量，若cos{m,">=—L则直线/与平面a

2

所成的角为()

A.30°B.60°

C.120°D.150°

2.已知直线/i的方向向量si=(l,0,l)与直线子的方向向量$2=(-1,2,-2),则直线/i和上所成角的余弦

值为()

3.平面a的一个法向量为旭=(1,2,-2),平面0的一个法向量为"=(2,2,1),则平面a与平面少夹角的正切

值为()

A4R9「4圾场

A—B—C.--------D.------

94654

■探究核心题型

题型一异面直线所成的角

例1(1)若正四棱柱/8CO—的体积为S，/8=1,则直线与CG所成的角为()

A.30°B.45°C.60°D.90°

(2)(2022・杭州模拟)如图，已知圆锥CO的截面△/BC是正三角形，AB是底面圆O的直径，点。在筋上,

且NAOD=2/BOD,则异面直线与8c所成角的余弦值为()

C

AB

3

113

-C-D-

一B

A.

听4244

激-S:

思维升华用向量法求异面直线所成的角的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系.

(2)用坐标表示两异面直线的方向向量.

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.

(0-

(4)注意两异面直线所成角的范围是I2,即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对

值.

跟踪训练1(1)有公共边的△NBC和△BCD均为等边三角形，且所在平面互相垂直，则异面直线N5和

CD所成角的余弦值为.

(2)如图所示，在棱长为2的正方体中，E是棱CG的中点，AF=L4D(O<A<1),若异面直

线。E和4厂所成角的余弦值为需，则力的值为.

题型二直线与平面所成的角

例2(12分)(2022•全国甲卷)在四棱锥P-48CQ中，PD_L底面/BCD,CD//AB,4D=DC=CB=1,AB

=2,DP=E

(1)证明：8力，〃；［切入点：由等腰梯形的性质求8。长］

(2)求尸。与平面R15所成的角的正弦值.［关键点：建立空间直角坐标系求法向量］

2

思路分析

(1)由等腰梯形的性质求

8。一勾股定理证明8O1AO

—BD1平面PDA.

(2)建立空间直角坐标系~

点坐标一平面PAB的法向量

一由向量法求解.

-<D处求8。长

-所以432+BD2=AE2,所以8DJ_AD2［3分］*—②处证明BD4.4。

因为P。J.平^ABCD.BDC平面4BCD,所以PD1,BD,

又「。04。=。,尸。,4。匚平面/14。，

所以BDJ.平面PAD侬［5分］<……③处证明±平面PA。

又因为PAU平面户所以BO1PA.［6分］

(2)解由(1)知D4,DB,DP两两垂直，

如图,以。为原点建立空间直角坐标系.④［7分］«④处建立空间直角坐标系

则仙(0,0,0)，(1,0,0)/(0,伍0),尸(0,0两F［8分1*■■⑤处求点坐标

则祚(-1,0,周，乔=(0,-值⑶，诉=(0,0,73).

设平面户AB的一个法向量为n=(x,.y,z),

思维升华

3

跟踪训练2如图，在六面体刃C8D中，△以8是等边三角形，平面R18与平面所成角为30。，PC

=AB=：4D=@BD=^AC=~\fiBC=4.

(1)证明：ABLPD；

(2)若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面PAB所成角的正切值的最大值.

题型三平面与平面的夹角

例3(2023・泰安模拟)如图，在五面体Z8CDE中，已知4CJ_平面BC。，ED//AC,且力C=8C=2EZ)=2,

DC=DB=S.

(1)求证：平面/8£_L平面/8C；

(2)求平面/8E与平面BEC夹角的余弦值.

思维升华利用空间向量计算平面与平面夹角大小的常用方法

(1)找法向量：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大小.

(2)我与棱垂直的方向向量：分