2023届新高考开学数学摸底考试卷20

2023届新高考开学数学摸底考试卷20

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={x|2x2-7x-4＜。},8={x料＜3},则AB=()

A.(—2,3)B.(—2,3]C.-,2^jD.--,3j

2.设复数z满足z(6-i)=(l+i)2,则[z|=()

A.—B.—C.也D.1

222

3.关于命题，下列判断正确的是()

A.命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题

B.命题“有一个素数不是奇数”是全称量词命题

C.命题“VxGR,/eR"的否定为'勺/eR,片eR”

D.命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数”

4.已知函数/(x)=,-°/八、，满足对任意内声/，都有‘W-WvO成立,

[a-2)x+3a,(.x＞0)x^-x2

则。的取值范围是()

A.ae(O,i)B.«ejl)C.D.ae|-,2^

5.函数/(x)=，2sinx-l的奇偶性为()

A.奇函数B.既是奇函数也是偶函数

C.偶函数D.非奇非偶函数

_..UUUliuuu

6.已知点P是八43。所在平面内一点，且PA+P8+PC=0，贝I()

21

A.PA=--BA+-BCB.PA=-BA+-BC

3333

1221

C.PA=——BA——BCD.PA=-BA——BC

3333

x-y＜0

7.已知实数X、y满足约束条件,如一yWO,其中机＜一1,若目标函数＞=」一的最大值为2,

,x-m

[x+yW1

则m=（）

313

A.-2B.-2或一一C.一2或一D.一-

222

8.2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A、B、

。三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（）

A.630种B.600种C.540种D.480种

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（王，必），（%,为），…，（乙,练），

则下列说法中正确的是（）

A.由样本数据得到的回归方程$=屏+含必过样本中心G刃

B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C.用相关指数R2来刻画回归效果，肥越小，说明模型的拟合效果越好

D.若变量），和x之间的相关系数为「=-0.9362,则变量y和x之间具有线性相关关系

10.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生

的多面体.如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长

均为。的截角四面体，则下列说法正确的是（）

A.该截角四面体的表面积为7独？

B.该截角四面体的体积为生叵“3

12

11,

C.该截角四面体的外接球表面积为一兀/

2

D.该截角四面体中，二面角A-BC-O的余弦值为工

3

2

11.已知等比数列｛为｝的公比q=—等差数列｛〃｝的首项4=12,若%>%且40>%，

则以下结论正确的有()

A.a9-6Z10<0B.a9>tz10C.Z?10>0D.b9>bl0

12.在平面直角坐标系xOy中，过抛物线/=2)，的焦点的直线/与该抛物线的两个交点为

B(x2,y2),则()

1

A.y,y2=-

B.以AB为直径的圆与直线y=-；相切

c.|OA|+|OB|的最小值W5

D.经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线上

第n卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.的展开式中，常数项为

14.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若/+。2=2〃，则cosA的最小值为

15.过圆0:%2+丫2=，&>0)外一点(2,0)引直线/与圆。相交于A，两点，当八4。3的面

积取最大值时，直线/的斜率等于土立，则，的值为.

3

16.设函数f(x)=^LL,8(外=令，则函数8(幻=-7(%>0)的最大值为_____；若对任意否,

xeex

x,e(0,+8),不等式巨⑴4/GJ恒成立，则正数人的取值范围是

kk+1

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)在八48。中，角A，B，。所对的边分别为c,满足Gc=MsinA+GcosA).

(1)求角B的大小；

(2)若。+。=2,求力的取值范围.

18.(12分)已知各项均为正数的等差数列｛%｝满足q=l,a；l+l=a；+2(an+l+a„).

(1)求｛4｝的通项公式;

1

(2)记"I—/---求数列物,｝的前”项和S.

19.(12分)某行业主管部门为了解本行业疫情过后恢复生产的中小企业的生产情况，随机调查了

120个企业，得到这些企业第二季度相对于前一年第二季度产值增长率y的频数分布表.

y的分组[-0.4,-0.2)[-0.2,0)[0,0.2)[0.2,0.4)[0.4,0.6)

企业数3024401610

(1)估计这些企业中产值负增长的企业比例(用百分数表示)；

(2)估计这120个企业产值增长率的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；

(3)以表中y的分组中各组的频率为概率，某记者要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业

做采访调查.若采访的企业的增长率ye[-0.4,-0.2),则采访价值为1；采访的企业的增长率

ye[-0.2,0),则采访价值为2；采访的企业的增长率ye[0,0.6),则采访价值为3.设选取的两

个企业的采访价值之和为X,求X的分布列及数学期望.

20.（12分）如图所示，四棱锥S—ABCD的底面为梯形，平面SCO_L平面ABC。,

/BAD=ZADC=NSCD=90°,AB=AD=-CD=1.

2

(1)求证：平面SBDJ_平面SBC；

(2)若二面角A-SB-C的余弦值为一哀10,求SC的长度.

20

21.（12分）已知圆耳：（x+iy+y2=产与圆入：（x—］）2+y2=（4—的公共点的轨

迹为曲线E.

（1）求E的方程；

12

（2）设点A为圆O：i+y2=亍上任意点，且圆。在点A处的切线与E交于P，Q两点.试问:

AP-AQ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

InX

22.(12分)已知函数/(x)=——.

x

(1)若直线y=近-1是曲线y=/(x)的切线，求实数&的值；

(2)若对任意xe((),+8),不等式/•(x)<ax—1—生0成立，求实数a的取值集合.

X

2023届新高考开学数学摸底考试卷20

答案

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.【答案】D

【解析】由2/—7x—4W0,即(2x+l)(x—4)40,得—集合A=-1,4,

2L2J

由凶<3,得/<9,即一3<x<3,集合B=(-3,3),

由数轴表示可得AB=故选D.

2.【答案】D

【解析】z(73-i)=(l+i)2=l+2i+i2=2i,

.2i_2i(N+i)「(6+丁/

■'Z_73^i-(V3-i)(^3+i)--2--~2+^

3.【答案】C

【解析】A选项，命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词“每个”，是全称量词命题，故A错;

B选项，命题“有一个素数不是奇数”含有存在量词“有一个“，是存在量词命题，故B错；

C选项，命题“VxeR,x4eR”的否定为“mXowR,x：eR"，故C正确；

D选项，命题“每个整数都是有理数”的否定为“存在一个整数不是有理数”，故D错,

故选C.

4.【答案】C

(八

【解析】由题意，函数/“(%)\对任意的办「看都有/X.)——/(x2)〈。成立，

%一％2

(x<0)

即函数y(x)=<为R上的减函数,

(a-2)x+3a,(x>0)

0<a<l

3

可得」a-2<0,解得0<。"一，故选C.

_4

12a—2+3。

5.【答案】D

兀5

【解析】由2sinx—120,即sinxN，，得函数定义域为2E+三，2E+二兀(ZwZ),

266

此定义域在x轴上表示的区间不关于原点对称.

所以该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数，故选D.

6.【答案】D

一UUUUIUUMl

【解析】由题意，PA-BA=PB，PA+AC=PC<而PA+PB+PC=0，

：,3PA—8A+AC=0,

21

又AC=BC—54，即3PA—2BA+8C=0，=故选D.

7.【答案】A

x-y<Q

【解析】因为实数x、y满足约束条件《nu-y<0f

x+y<l

所以可根据约束条件绘出可行域，如图所示,

1m

其中A

m+1'机+1

因为目标函数zy的几何意义是可行域内的点（x,y）与P（私0）所连直线的斜率,

x-m

m

所以目标函数z=q—的最大值为2,即即A=f+1=2,

1e

x-m--------m

m+1

整理得2加2+3m—2=0,解得加=一2或!（舍去），

2

故选A.

8.【答案】C

【解析】把6名工作人员分成1,1,4三组，

再安排到三个村有写4A；=X3X2X1=90种;

NX]

把6名工作人员分成2,2,2三组，再安排到三个村有A：；=90种;

把6名工作人员分成1,2,3三组,

6x5x4

再安排到三个村有C；C；C；A；=——x3x2x1=360种,

2x1

所以共有90+90+360=540利故选C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.【答案】ABD

【解析】A.由样本数据得到的回归方程§=鼠+务必过样本中心（工亍），故正确；

B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故正确；

C.用相关指数收来刻画回归效果，？越大，说明模型的拟合效果越好，故错误；

D.若变量），和x之间的相关系数为r=T）.9362,r的绝对值接近于1,则变量y和x之间具有线

性相关关系，故正确，

故选ABD.

10.【答案】ABC

【解析】如图所示：

s

由正四面体S—NP。中,

题中截角四面体由4个边长为。的正三角形，4个边长为。的正六边形构成,

故S=+4x6x且a?=76。2,A正确；

44

；棱长为a的正四面体的高力=逅“，

3

.»\6…瓜c、,1G2指23723Dp论

••V——•—(3〃)(3Q)—4,一•—a--------ci，B」E确；

34334312

设外接球的球心为o，AA5C的中心为O',的中心为。〃，

•.•截角四面体上下底面距离为几-迈a=友。，

33

222

yj^-O'C+y]R-O"H=a，=J/??一3+=^-a，

’火2_/手"_而不.•./?2_[=|/+★_/_乎。.^7^,

R2=—a2,S=4nR~=—7ta2,C正确；

82

易知二面角S—BC—A为锐角，所以二面角A—5。一。的余弦值为负值，D错误，

故选ABC.

11.【答案】AD

2

【解析】数列｛为｝是公比q为的等比数列；｛4｝是首项为12,公差设为"的等差数列,

则49="1(­§)8,"10=6(―§)9，，偈，。10=。「(―§)”<0，故A正确；

正负不确定，故B错误;

正负不确定，，由4o>%),不能求得"o的符号，故C错误;

由佝>4且40>4o,则4(—)8>12+8〃,4(—)9>12+9d,

可得等差数列{2}一定是递减数列，即d<0,即有为>狐，故D正确,

故选AD.

12.【答案】ABD

【解析】抛物线的焦点为(0,；］,设直线AB的方程为丁=丘+；，

,1

y=kx+—「….

联立2,可得/一2日一1=0，所以％+/=2&,XjX2=-1,

X2-2y

%+%=左(％+/)+1=2后?+1,%>2=H+4=k"X[X2+22(玉+/)+[=W

故A正确;

X+%必+%、,即I加+万卜

以AB为直径的圆的圆心为

22)

半径为用二千=皿,

1,11

所以圆心到直线y=--的距离为k2+-+-=k2+l,等于半径,

所以以A3为直径的圆与直线y=-；相切，即B正确;

当直线4?与1轴平行时，|。4|=|08|=等，］。4|+|。叫=6<2C,

所以|。4|+|。目的最小值不是2a,故C错误;

直线办的方程为>=}=A与x=4的交点坐标为

因为苧=一；，所以经过点B与x轴垂直的直线与直线。4交点在定直线y=--±.,

故D正确,

故选ABD.

第n卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.【答案】60

［解析］二项式(六一目的展开式通项为加=晨［｛一=(-l)r-26-2r

3

令］―3=0,解得厂=2，

则常数项为(一1»22.或=60,故答案为60.

14.【答案】!

2

N22c2221

【解析】cosA=C~~C，~>'=-^=->当且仅当。=c=a时等号成立,

故答案为万.

15.【答案】6

［解析】SAAOB=5|OA||。即sinZAOB=-r2sinNAOB,

当NAO3=90°时，AAO3的面积最大，此时圆心。到直线AB的距离d，

2

性一交

设直线AB方程为y=%(x—2),k2=-,则dL

庐TTT

所以孚二=_1,，再将％2=_1代入，求得r=&.

k2+l23、

故答案为6.

16.【答案】一，kN---

e2e-l

【解析】g(x)=W(x>0)，.•.g'(x)=^-^~=

由g'(x)>0,可得0<x<l,此时函数g(x)为增函数;

由g'(x)<0,可得x>l,此时函数g(x)为减函数,

.•.g(x)的最大值为g⑴=L

e

若对任意匹，々e(0,+8),不等式他恒成立,

kk+\

k

则等价为<恒成立,

fM

/(尤)当且仅当％=,，

即x=1时等号成立,

XX\XX

即/(X)的最小值为2，且g(x)的最大值为g(l)=

e

则亚I的最大值为e=_L,

f(x2)22e

k1I

则由——>—,得乂20—1)Z1,即ZN------

Z+l2G''2e-\

故答案为」，ZN」一

e2e-l

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【答案】(1)B=~(2)/?G[1,2).

【解析】(1)由后二人卜inA+百cosA),得QsinC=sinBsinA+百sinBcosA，

/.sin(A+B)=sinBsinA+V3sinBcosA,

>/3sinAcosB+A/3COSAsinB=sinfisinA+GsinBcosA，

所以gsinAcos8=sinAsin8，tan5=V3，

,:Be(0,7t),8=W・

兀

(2)•.•Q+C=2,B=一

3

b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac

2

a+c

二(q+-3QC=4-3ac>4-3I=1（当且仅。二。时取等号）,

又b<a+c=2,・,・人£[1,2).

18.【答案】(1)《,=2〃-1；(2)S=，2〃+1-1

"2

【解析】（1）由题意，得q*-q；=2（a,用+。“），

即(4+i+%)&+「4)=2(4+]+%)，

又数列｛%｝的各项均为正数，即an+l+a,产0,则an+l-an=2,

・•・｛〃〃｝的公差为2，而q=1,故。“=2〃-1.

1_1+

（2）由（1）知我

+Ja〃+]y/2n—l+12几+12

S〃=b、+++"〃=—1）+++（,2〃+1—,2〃—1）]

J2J+1—1

----------.

2

23

19.【答案】（1）45%；（2）0.02；（3）分布列见解析，y.

30+24

【解析】（1）估计这些企业中产值负增长的企业比例为二——x100%=45%.

120

（2）这120个企业产值增长率的平均数

一1

y=—(-0.3x30-0.1x24+0.1x40+0.3x16+0.5x10)=0.02.

(3)依题意可得ye[—0.4,0.2)的概率为二30匕=上1，

1204

ye[-0.2,0)的概率为2志4=21，

40+16+1011

ye[0,0.6）的概率为

12020

X的所有可能取值为2,3,4,5,6,

P(X=2)=-X1=—；P(X=3)=2X，XL-!-；

44164510

p(X=4)=2xlx—+lxl=—:P(X=5)=2xix—=—；

4205520052050

P(X=6)」第=以

2020400

则X的分布列为

X23456

116311121

P

161020050400

故£(X)=2xL3J+4xg+5xll+6x巴)

\'1610200504005

20.【答案】(1)证明见解析；(2)3.

【解析】(1)由题意，在底面梯形ABC。中，

因为N84Z>=NADC=90°且AB=4)=1，CD=2,可得BD=BC=6,

又由CO=2,所以8。2+8。2=。2,所以

又因为平面SCDJ•平面A3CO,平面SC。平面A」BCD=CD,

且SC_LCZ),SCu平面SCO,所以SC_L上平面ABC。，

又由BDu平面ABC。，所以8DLSC,

因为SC8。=。且5。,5。€平面58。，所以B。，平面SBC,

又因为BDu平面S3。，所以平面S8£)_L平面SBC.

(2)由(1)知SCJ_平面4BC。，

以C为坐标原点，CO所在直线为x轴，在平面ABC。内垂直于CO的直线为3轴，CS所在直线

为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(2,1,0),8(1,1,0),0(2,0,0),

设SC=〃优>0),所以S(O,O,/z),可得BA=(1,0,0),8s=(-1,一1,〃)，30=(1,-1,0),

由(1)得80,平面S3C,所以平面S3C的一个法向量为3。=(1,一1,0),

设平面ABS的法向量为n=(x,y,z),

n-BA=0[x=0

则V,可得〈,八，令Z=l，可得〃=(0,/2,1),

n-BS=O[-x-y+hz=O

-h空°,解得SC=3,即SC=3.

则cos〈〃,BD}=—~.

V2-V1+A220

22

rvI?

21.【答案】(1)—+2_=1；(2)是，一一.

437

【解析】⑴设公共点为P，则归耳|='，归闾=4一r,|P£|+|PR|=4>|耳闾,

即公共点P的轨迹为椭圆，且2a=4,...a=2,

22

又C=l,，〃=？，故曲线E:工+E=1.

43

(2)方法一:

当直线PQ斜率不存在时，PQ:x=±A,

12

代入后得了=,故APAQ=——，易知OPLOQ；

7

当直线尸。斜率存在，设PQ：y=^+/〃，P。与圆。相切，-Jd==r=>w2

y/k2+l

将PQ方程代入E，得(4公+3)d+8kmx+4w2-12=0,

.8km4m2-12

..%!+X—―，X,X=----

9一4公+312-4r+3

2

OPOQ-+X%=%为2+(依+〃?)(3+m)=(k+1)玉工2+krn(x]+x2^+m'

二伴+1乂4川-12）8/加।为=7上―12（公+1）

4^+34r+3m~4k2+3

12

将>=亍（尸+1）代入，得OPOQ=O,即"_LOQ,

综上，恒有QP'QQ,AP-AQ=-\AP\-\AQ^=-\O^=-^.

法二：

当直线P。斜率不存在时，PQ:x=土后,代入£得、=土后

APAQ=—卜4|闻=—同=_J2.

当直线尸。斜率存在，设PQ:y=^+机，

|7%|12

•「PQ与圆。相切，/.I■—r,KPITL~——（Ar+1）.

VF+17\>

将PQ方程代入E,得（4二+3）d+8kmx+4m2-12=0,

712k2

2

故恒尸||42|=1五，??X|X2+ZTM（演+々）+

出8km4