2021-2023年高考数学真题分类汇编二：函数的概念与基本初等函数Ⅰ选择题

专题02函数的概念与基本初等函数I(选择题)

近三年高考真题

知识点1：已知奇偶性求参数

1.(2023•乙卷)已知/(x)=£-是偶函数，贝ija=()

ellx-1

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】/(》)=4二的定义域为口以*0},又/(X)为偶函数，

二•F(-x)=f(x)，

-xe~xxex

:.ax-x=xr:.a=2.

故选：£).

2.(2023•新高考0)若f(x)=(x+4)/〃1^3为偶函数，贝ija=()

A.-1B.0C.-D.1

2

【答案】B

【解析】由生1>0,得x/或x<—L

2x+l22

由f(x)是偶函数，

.t•f(-x)=fM,

得(-x+d)ln—--=(x+a)ln―—-，

—2,x+12x+1

日口/XJ2x+l.2x—1]..2x—1.2x—1

即(-x+a)ln----=(-x+a)ln(-----)=(x-d)ln----=(x+ci)ln-----

2x-\2x+\2x+12x+1

:.x-a=x+a,得一。=。，

得a=0.

故选：B.

知识点2：函数图像的识别

3.（2023•天津）函数/（幻的图象如图所示，则/（幻的解析式可能为（）

JL

05sinx

B，，i

x+1

C,5（，+",）]口5cosx

V+2x2+1

【答案】D

【解析】由图象可知，“X）图象关于），轴对称，为偶函数，故回错误,

当』时'"Hi'恒大于与图象不符合

,故C错误.

故选：D.

4.（2022•天津）函数/&）=史二U的图像为（

）

X

;

..V

Ju

B.

【解析】函数f（x）=区二U的定义域为（7,0）U（0,+00）,

X

.../(_x)=lrzll

-x

该函数为奇函数，故A错误;

x>0时，x-0,/(x)—>+oo；x=l,/(x)=0；X->4-00,/(尤)f+OO,

故8c错误，O正确.

故选：D.

5.（2022•甲卷）函数/（九）=（3"-3-）cosx在区间［g曰的图像大致为（）

B.

【解析】/(x)=(3r-3-r)cosx,

可知F(-x)=(3-"-3A)cos(-x)=-(3V-3-A)cosx=-f(x),

函数是奇函数，排除即；

当x=l时，f(1)=(3-3-')cosl>0,排除C.

故选：A.

6.(2022•甲卷)函数y=(3、-3-*)cosx在区间［-工，石的图像大致为()

22

y

一三UIAX

22

B.

【解析】/(x)=(3r-3-r)cosx,

可知F(-x)=(3-"-3A)cos(-x)=-(3V-3-A)cosx=-f(x),

函数是奇函数，排除即；

当X=1时，f(1)=(3-3-')cosl>0,排除C.

故选：A.

7.(2022•乙卷(理))如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像，则该

函数是()

B-y=-^-r

jr+1

c2xcosx、2sinx

配kD-y=^—r

x~+\

【答案】A

【解析】首先根据图像判断函数为奇函数,

其次观察函数在(1,3)存在零点，

V3-r

而对于3选项：令y=0,即〒一=0,解得x=0,或％=1或x=T,故排除8选项;

X4-1

C选项：当x>0时，2x>0,x2+1>0,因为cosxw[-l,1],

故丝上之，言=二不，且当x>0时，X+-..2,故二下,,1,

x+1d+1X+1xX+L

XX

而观察图像可知当x>0时，f（x）mix..l,故C选项错误.

。选项，y=学"中，当x=3时，丫=迎”>0,故排除。选项.

x2+\10

故选：A.

8.（2021•天津）函数/（》）=空高的图象大致为（）

【解析】根据题意，/■（x）=gl且，其定义域为{X|XK0},

x+2

有/（-X）=啰8=/（X）,是偶函数，排除AC,

厂+2

在区间（0,1）上，ln\x\=bvc<0,必有/（x）vO,排除£）,

故选：B.

9.（2021•浙江）已知函数/（》）=9+1,g（x）=sinx,则图象为如图的函数可能是（）

A.y=/(x)+g(x)-1B.y=/(%)-g(x)-7

44

C.y=f(x)g(x)D.y=

f(x)

【答案】D

【解析】由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数，

因为/(x)=V+J■为偶函数，g(x)=sinx为奇函数，

4

函数y=/(尤)+g(x)-L=x2+S皿%为非奇非偶函数，故选项A错误；

4

函数y=/(x)-g(x)-工一sinx为非奇非偶函数，故选项3错误；

4

函数V=/(x)g(x)=(丁+；)sinx,则/=2xsinx+(%2+；)cosx>0对xw(0,()恒成立，

则函数y=/(x)g(x)在(0二)上单调递增，故选项C错误.

4

故选：D.

知识点3：函数的实际应用

10.(多选题)(2023•新高考I)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强

弱，定义声压级4=20x/g2,其中常数为(为>0)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表

为不同声源的声压级:

声源与声源的声压级

距离ImIdB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽1050〜60

车

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10〃?处测得实际声压分别为四，p2,p3,

则()

A.pv.p2B.p2>10p3C.p3=100p()D.PinIO。，？

【答案】ACD

9

【解析】由题意得，6滕如/g旦90,1000〃溪归咛区,

P。

5滕加欣&60,1。5〃0领aI。。。死，

Po

20/gB=40,〃3=lOO〃o，

Po

可得P[..P2，A正确；

p2„10ft=1000p（）,5错误；

p3=100p（）,C正确；

95

pa5Po=100x10%100p2,pt„100p2,。正确.

故选：ACD.

11.（2021•北京）某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水

平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：相心）.24〃降雨量的等级划分如下：

等级244降雨量（精确到0.1）

——

小雨0.1〜9.9

中雨10.0〜24.9

大雨25.0〜49.9

暴雨50.0〜99.9

——

在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200僧〃，高为300〃"〃的圆锥形雨量器.若

一次降雨过程中，该雨量器收集的24/7的雨水高度是150加〃（如图所示），则这24〃降雨量

的等级是（）

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

【答案】B

【解析】圆锥的体积为丫=1助='/》/2,

33

因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半,

所以圆锥内积水部分的半径为L1x200=50帆m,

22

将厂=50,〃=150代入公式可得V=125000^-（W）,

图上定义的是平地上积水的厚度，即平地上积水的高，

平底上积水的体积为V=S〃，且对于这一块平地的面积，即为圆锥底面圆的面积，

所以S=乃•（,x200f=10000万（〃?加）,

2

则平地上积水的厚度h==12.5（/M/M）,

10000万

因为10<12.5<25,

由题意可知，这一天的雨水属于中雨.

故选：B.

12.（2021•甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用

五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足

L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约

为（1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

【解析】在L=5+/gV中，乙=4.9,所以4.9=5+/gV,即/gV=-0.1,

解得V=10M）1=-=—7==-—a0.8,

10°'啊1.259

所以其视力的小数记录法的数据约为0.8.

故选：C.

知识点4：基本初等函数的性质：单调性、奇偶性

13.（2023•北京•统考高考真题）下列函数中，在区间（0,内）上单调递增的是（）

A.f（x）=-lnxB.f（x）=—­

C./（%）=--D./（x）=3lv-11

X

【答案】c

【解析】对于A,因为y=lnx在（0,+8）上单调递增，y=-X在（o,y）上单调递减，

所以〃x）=-Inx在（0,+8）上单调递减，故A错误；

对于B,因为y=2*在（0,+8）上单调递增，y=:在（0,+8）上单调递减，

所以在(°，同上单调递减，故B错误；

对于C,因为y=g在(。,+8)上单调递减，丁=一%在(0,+纥)上单调递减，

所以“x)=-g在(0,+巧上单调递增，故C正确：

对于D因为吗)=3切=33=5/(1)=3M=3°=1,/(2)=3|2-'I=3,

显然〃月=3斤”在(O,y)上不单调，D错误.

故选：C.

14.(2023•新高考I)设函数/(幻=2"“)在区间(0,1)单调递减，则。的取值范围是()

A.(-co,-2JB.1-2,0)C.(0,2]D.[2,+oo)

【答案】。

【解析】设r=x(x-a)=x2-6，对称轴为*=且，抛物线开口向上，

2

y=2'是f的增函数，

要使/(x)在区间(0,1)单调递减，

则/=V-以在区间(0,1)单调递减，

即幺..1,即a.2,

2

故实数。的取值范围是[2,+00).

故选：D.

15.(2023•上海)下列函数是偶函数的是()

A.y=sinxB.y=cosxC.y=x3D.y=2V

【答案】B

【解析】对于A,由正弦函数的性质可知，y=sinx为奇函数；

对于8,由正弦函数的性质可知，y=cosx为偶函数；

对于C,由塞函数的性质可知，y=V为奇函数；

对于。，由指数函数的性质可知，y=2"为非奇非偶函数.

故选：B.

16.(2021•全国)下列函数中为偶函数的是()

A.y=/g(x-l)+/g(x+l)B.y=|sinx+cosx|

I

C.y=x^D.y=(x4-2)2+(2x-1)2

【答案】D

【解析】对于A,丫=卜(》-1)+a(》+1)的定义域为(1,+00),不关于原点对称，故A不正确；

对于8,y=/(x)=|sinx+cosx|的定义域为R,但/1(-x)x/(x),故3不正确；

对于C,y=/(x)=3的定义域为R,/(-%)=-/«-f(x)为奇函数，故C不正确；

对于。，y=/(x)=(x+2)2+(2x-l)2=5d+5,满足f(-x)=f(x),故y=/(x)为偶函数,

故。正确.

故选：D.

27.(2021•全国)函数y=log2(l-x2)的单调递减区间是()

A.(-<»,0)B.(0,+oo)C.(-1,0)D.(0,1)

【答案】D

【解析】设Fl-x"(-1<X<1),

则y=log,/)

由y=log,t为增函数，

即函数y=log2(l—f)的单调递减区间是函数r=l-Y,(-1<%<1),的减区间，

又函数f=l-d,(-1<X<1),的减区间为(0,1),

即函数y=log«-V)的单调递减区间是(0,1),

故选：D.

28.(2021•北京)设函数f(x)的定义域为［0,1］,则“f(x)在区间［0,1］上单调递增”是

“/(X)在区间［0,1］上的最大值为/(1)”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若函数/(x)在［0，1］上单调递增，

则函数f(x)在［0,1］上的最大值为/(1),

若/(x)=(x—g)2,则函数f(x)在［0,1］上的最大值为/(1),

但函数/(X)在［0,1］上不单调，

故选：A.

19.(2021•上海)以下哪个函数既是奇函数，又是减函数()

3A

A.y=—3xB.y=xC.y=log3xD.y=3

【答案】A

【解析】y=-3x在R上单调递减且为奇函数，A符合题意；

因为y=V在/?上是增函数，3不符合题意；

y=log,x,y=3"为非奇非偶函数，C不符合题意；

故选：A.

20.(2021•甲卷)下列函数中是增函数的为()

A./(x)=-xB.f(x)=(|)xC.f(x)=x2D.f(x)=也

【答案】D

【解析】由一次函数性质可知/(x)=-x在R上是减函数，不符合题意；

由指数函数性质可知/(x)=($,在R上是减函数，不符合题意；

由二次函数的性质可知f(x)=/在R上不单调，不符合题意；

根据黑函数性质可知/(x)=也在A上单调递增，符合题意.

故选：D.

21.(2021•甲卷)设,f(x)是定义域为R的奇函数，J3./(l+x)=/(-x).若/(_$=：,则

W)=(

A.--B.--C.-D.-

3333

【答案】C

【解析】由题意得/(-%)=-/⑴，

又/(I+X)=/(-X)=-/(X),

所以/(2+x)=/(x),

又/(_g)=g，

则吟=/(2-§=/(4=;.

故选：C.

22.(2021•乙卷)设函数〃x)=上三，则下列函数中为奇函数的是()

1+X

A./(x-l)-lB./(x-l)+lC./(x+l)-lD.f(x+1)+1

【答案】B

【解析】因为/（1=上三=一（叶1）±2=_1+二_,

1+xl+xX+1

所以函数/（X）的对称中心为,

所以将函数/（X）向右平移一个单位，向上平移一个单位,

得到函数、=/U-D+1,该函数的对称中心为（0,0）,

故函数y=/（x-l）+l为奇函数.

故选：B.

知识点5：函数的定义域

23.（2022•上海）下列函数定义域为R的是（）

A.y=x^B.y=x-'C.y=D.y=x2

【答案】C

【解析】y=x2——j=>定义域为{x|x>0},

y=x~]=—,定义域为{X|XH0},

x

y=x3=l/x,定义域为R,

y=x2=\[x,定义域为{x|x..O}.

.•.定义域为R的是y=

故选：C.

知识点6：函数性质的综合运用

24.(2022•乙卷)已知函数,f(x),g(x)的定义域均为R,且,f(x)+g(2-x)=5,

22

g(x)-/(x-4)=7.若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4,则攵)=(

k=\

)

A.-21B.-22C.-23D.-24

【答案】D

【解析】y=g(x)的图像关于直线x=2对称，则g(2-x)=g(2+x),

/(x)+g(2-x)=5,.-.f(-x)+g(2+x)=5,:.f(-x)=f(x),故/(x)为偶函数,

g(2)=4,f(0)+g(2)=5,得f(0)=l.由g(x)-f(x—4)=7,得g(2-x)=f(-x-2)+7,

代入/(x)+g(2—x)=5,得/(x)+/(—x—2)=—2,故f(x)关于点(一1,一1)中心对称，

■■-f(l)=/(-1)=一1，由/(x)+f(—x—2)=—2，/(-x)=/(x),得/(x)+/(x+2)=—2,

.'./(x+2)+/(x+4)=-2,故f(x+4)=/(x),f(x)周期为4,

由f(O)+y(2)=-2,得f(2)=一3，又/(3)=/(-I)=f(1)=-l,

22

所以2,伏)=6/(1)+6f(2)+5f(3)+5/(4)=llx(-l)+5xl+6x(-3)=-24,

*=!

故选：D.

25.(2022•新高考H)已知函数/(x)的定义域为R,且/(x+y)+f(x-y)=/(x)/(y)./(1)

22

=1，则2"Z)=()

k=\

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

［解析］令y=l,则/(x+l)+/(x_l)=/(x),BP/(%+1)=/(x)-/(x-l))

.-./(x+2)=/(x+l)-/(x),/(x+3)=/(x+2)-/(x+l),

.•./(x+3)=-/(x),则/(x+6)=-f(x+3)=/(x),

.•"(x)的周期为6,

令x=l,y=O得/(1)+f(1)=f(1)x/(O),解得/(O)=2,

X/(x+l)=/(x)-/U-l),

：.f(2)=/(1)-/(O)=-l«

/(3)=/(2)-/(1)=-2,

f(4)=f(3)-f(2)=-l,

/(5)=f(4)-f(3)=1,

/(6)=/(5)-f(4)=2,

6

Z/W=lT-2-l+l+2=0,

k-\

22

=3X0+/(19)+/(2O)+/(21)+/(22)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=—3.

k=l

故选：A.

26.(2021•新高考H)已知函数f(x)的定义域为R(/(x)不恒为0),f(x+2)为偶函数,

/(2x+l)为奇函数，则()

A./(—)=0B./(-1)=0C.f(2)=0D.f(4)=0

【答案】B

【解析】函数/(x+2)为偶函数,

:.f(2+x)=f(2-x),

/(2x+l)为奇函数，

.■./(l-2x)=-/(2x+l),

用x替换上式中2x+l,得/(2-幻=—/(幻，

.■.f(2+x)=-f(x),f(4+x)=-f(2+x)=f(x),即〃x)=f(x+4),

故函数f(x)是以4为周期的周期函数，

,y(2x+i)为奇函数，

/(I-2x)=-f(2x+1),即f(2x+1)+/(-2x+1)=0,

用x替换上式中2x+l,可得，/(x)+/(2-x)=0,

.•./(X)关于(1,0)对称,

又，f(1)=0,

.-./(-1)=-/(2+1)