2024届新高考数学一轮复习配套练习 直线与圆的位置关系

2024届新高考数学一轮复习配套练习专题9.2直线与圆

的位置关系

练基础

1.（福建高考真题（理））直线/丿=丘+1与圆O：/+y2=l相交于两点，贝『%=1"

是“AQW的面积为丄”的（）

2

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要

条件

2.（2018•北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d为点P（cos8,sin。）到直线

x-甲y」2=0的距离，当加变化时，d的最大值为（）

A.1B.2

C.3D.4

3.（2021•全国高二单元测试）已知直线/与直线y=x+l垂直，且与圆V+y2=l相切，切点

位于第一象限，则直线/的方程是（）.

A.x+y-y/2=0B.x+y+l=0

C.x+y-l=0D.x+y+&=0

4.（2020.北京高考真题）已知半径为1的圆经过点（3,4）,则其圆心到原点的距离的最小值

为（）.

A.4B.5C.6D.7

5.【多选题】（2021•吉林白城市•白城一中高二月考）若直线x+y+m=0上存在点P,过点P

可作圆。：/+丫2=］的两条切线以，pB,切点为A,B,且NAP8=60。，则实数机的取

值可以为（）

A.3B.2应

C.1D.-20

6.（2022•江苏高三专题练习）己知大圆。|与小圆。2相交于42,1）,8（1,2）两点，且两圆都

与两坐标轴相切，则1。。』=一

7.（江苏高考真题）在平面直角坐标系宜刀中，圆。的方程为V+y2-8x+15=0,若直线

丁=h-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则Z的最

大值为•

8.（2018•全国高考真题（文））直线y=x+l与圆X2+/+2丁-3=0交于A,B两点,

则|阴=________.

9.（2021.湖南高考真题）过圆炉+丫2-4》=0的圆心且与直线2x+y=0垂直的直线方程为

10.（2020•浙江省高考真题）设直线/：卜=丘+伙&>0）与圆f+y2=i和圆

（%-4）2+丁=1均相切，则a=_______；b=______.

练提升

1.（2020•全国高考真题（理））若直线/与曲线产厶和/+y2="都相切，则/的方程为（）

A.y=2x+1B.y=2x+JC.>,=yx+1D.产Jx+g

2.【多选题】（2021•全国高考真题）已知点P在圆（x-5）2+（y-5）2=16上，点4（4,0）、8（0,2）,

则（）

A.点P到直线的距离小于10

B.点尸到直线A8的距离大于2

C.当NPBA最小时，|PB卜30

D.当NP8A最大时，|P却=30

3.【多选题】（2021•肥城市教学研究中心高三月考）已知圆A:X2+V-2X-3=0,则下列说

法正确的是（）

A.圆A的半径为4

B.圆A截y轴所得的弦长为2石

C.圆A上的点到直线3x-4y+12=0的最小距离为1

D.圆A与圆8:x2+y2-8x-8），+23=0相离

4.（2021•全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为犬+/-8工+15=0,

若直线卜=依-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则％

的取值范围是.

5.（2021.富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））直线了=履+2/>0）被圆Y+y2=4截

得的弦长为26，则直线的倾斜角为.

6.（2021.昆明市.云南师大附中高三月考（文））已知圆O:N+），2=4,以41,6）为切点作

圆。的切线厶，点B是直线厶上异于点A的一个动点，过点B作直线厶的垂线厶，若厶与

圆。交于力，E两点，则4ED面积的最大值为.

7.（2021•全国高三专题练习）已知ABC的三个顶点的坐标满足如下条件：向量O%=（2,0），

&7=（2,2），G4=（V2cosa,Vasina）,则厶。8的取值范围是

8.（2021•全国高三专题练习）己知小ye/?,x2-2x+y2=31^,求国+|乂的最大值与最小

值.

9.（2021•黑龙江哈尔滨市・哈尔滨三中）已知A3C的内切圆的圆心M在＞轴正半轴上，半

径为1,直线x+2y-l=0截圆M所得的弦长为撞.

5

（1）求圆M方程；

（2）若点C的坐标为（2,4）,求直线AC和BC的斜率；

（3）若A,B两点在X轴上移动，且|AB|=4,求A8C面积的最小值.

10.（2021•新疆乌鲁木齐市•乌市八中高二期末（文））已知直线/：4x+35-+10=0,半径为

2的圆C与/相切，圆心C在x轴上且在直线/的上方

（1）求圆C的方程；

（2）过点M（l,0）的直线与圆C交于A,B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存

在点N,使得x轴平分NAM3?若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

练真题

1.（2021•山东高考真题）“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（）

A.充分没必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也没必要条件

2.（2021•北京高考真题）已知直线＞="+，”（，”为常数）与圆x?+y2=4交于点N,

当A变化时，若IAWI的最小值为2,则机=

A.+1B.±y/2C.+y/iD.±2

3.（2020•全国高考真题（理））已知。朋丁+/一2%—2）,一2=0,直线/：2x+y+2=（）,

P为/上的动点，过点P作。"的切线PAP3,切点为A,B,当最小时，直

线的方程为（）

A.2x-y—l=OB.2x+y-1=0C.2x-y+l=OD.2x+y+l=0

4.【多选题】（2021•全国高考真题）已知直线/:依+切-/=0与圆。:—+丫2=产，点441），

则下列说法正确的是（）

A.若点A在圆C上，则直线/与圆C相切B.若点4在圆C内，则直线/与圆C相离

C.若点A在圆C外，则直线/与圆C相离D.若点A在直线/上，则直线/与圆C相切

5.（2021•山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆/+，"）产-6机-7=0的圆

心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于.

6.（2019•北京高考真题（文））设抛物线/=4x的焦点为E准线为，.则以尸为圆心，且

与/相切的圆的方程为一一专题9.2直线与圆的位置关系

练基础

,-丿

1.（福建高考真题（理））直线/：y=厶+1与圆O:/+y2=i相交于A,8两点，则県=1"

是“AQ4B的面积为丄”的（）

2

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要

条件

【答案】A

【解析】

由女=1时，圆心到直线/：y=x+l的距离4=与.所以弦长为逝.所以

S"=-xy[2x—=-.所以充分性成立，由图形的对成性当左=一1时，\OAB的面积为

A。"222

丄.所以不要性不成立.故选A.

2

2.（2018•北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d为点尸（cosdsin。）到直线

%一利-2=（）的距离，当6、加变化时，d的最大值为（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

【解析】

Qcos20+sin28=1,P为单位圆上一点，而直线x—冲一2=0过点A（2,0）,

所以d的最大值为。4+1=2+1=3,选C.

3.（2021•全国高二单元测试）己知直线/与直线y=x+l垂直，且与圆x?+y2=l相切，切点

位于第一象限，则直线/的方程是().

A.x+y--s/2=0B.x+y+l=O

C.x+y-1=0D.x+y+&=0

【答案】A

【分析】

根据垂直关系，设设直线/的方程为x+y+c=o(c<o),利用直线与圆相切得到参数值即可.

【详解】

由题意，设直线/的方程为x+y+c=0(c<0).

圆心(0,0)到直线X+y+C=0的距离为裳=

1,

得。=-&或c=0(舍去)，故直线/的方程为x+y-&=0.

故选：A

4.(2020•北京高考真题)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值

为().

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】

求出圆心C的轨迹方程后，根据圆心M到原点。的距离减去半径1可得答案.

【详解】

设圆心C(x,y),则J(x-3『+(y_4)2=1,

化简得(x—3y+(y-4)2=l,

所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，

所以|OC|+12|OM1=7?7^=5,所以|OC|25-1=4,

当且仅当C在线段QM上时取得等号,

故选：A.

5.【多选题】（2021.吉林白城市.白城一中高二月考）若直线x+y+，〃=0上存在点人过点尸

可作圆。：/+丁=1的两条切线小，PB,切点为A,B,且NAPB=60。，则实数机的取

值可以为（）

A.3B.242

C.1D.-2叵

【答案】BCD

【分析】

先由题意判断点P在圆F+y2=4上，再联立直线方程使判别式ANO解得参数范围，即得

结果.

【详解】

点尸在直线x+y+”，=O上，ZAPB=60°,则ZAFO=NOP8=30°,

X2+=4

故联立方程丿一八，得2/+2g+〃-4=0,有判别式ANO,

x+y+m-Q

即4病-4X2（〃-4）20,解得_2&4加42血，故A错误，BCD正确.

故选：BCD.

6.（2022•江苏高三专题练习）已知大圆。|与小圆O?相交于42,1）,8（1,2）两点，且两圆都

与两坐标轴相切，则|。。|=一

【答案】4拒

【分析】

由题意可知大圆Oi与小圆。2都在第一象限，进而设圆的圆心为3a）（。＞0）,待定系数得

”=5或4=1,再结合两点间的距离求解即可.

【详解】

由题知，大圆。I与小圆。2都在第一象限，设与两坐标轴都相切的圆的圆心为3幻（。＞0）,

其方程为(x-a)2+(y-a)2=/,将点程为或(2,1)代入,解得”=5或4=1,

22

所以«:(x-5)2+(y-5)2=25,02:U-l)+(j-l)=1,可得旦(5,5),。式1,1),

所以10021="+4、=40.

故答案为：4拒

7.(江苏高考真题)在平面直角坐标系xOy中，圆。的方程为/+/一8》+15=(),若直线

y="-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则女的最

大值为.

4

【答案】-

3

【解析】

:圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,整理得：(x-4)2+y2=l,即圆C是以(4,0)为圆心，1为

半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公

共点，••・只需圆C'：(x-4)?+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可.设圆心C(4,0)到直线

第一2|44

y=kx-2的距离为d,d=匕=丄«2即3kW4k,；.0WkW—,故可知参数k的最大值为一.

V1+F33

8.(2018•全国高考真题(文))直线y=x+l与圆d+y2+2y—3=0交于A,B两点,

则|蝴=.

【答案】2&

【解析】

根据题意，圆的方程可化为V+(>+1)2=4,

所以圆的圆心为(0,-1),且半径是2,

!0+1+”-Q

根据点到直线的距离公式可以求得“=

结合圆中的特殊三角形，可知|AB|=2"^=2jL故答案为

9.(2021・湖南高考真题)过圆Y+y2-4x=0的圆心且与直线2x+y=0垂直的直线方程为

【答案】x-2y-2=0

【分析】

根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为-1求出所求直线的斜率，再由

点斜式即可得所求直线的方程.

【详解】

由*2+'2_4乂=0可得(1_2)2+；/=4,

所以圆心为（2,0）,

由2x+y=0可得y=-2x,所以直线2x+y=0的斜率为一2,

所以与直线2x+y=0垂直的直线的斜率为3，

所以所求直线的方程为：y-0=i（x-2）,即x-2y-2=0,

故答案为：x-2y-2=0.

10.（2020•浙江省高考真题）设直线/：y=H+b（k>0）与圆f+y2=i和圆

（%-4）2+丁=1均相切，则“=_______；b=______.

【答案】昱一空

33

【解析】

2

设a:丁+y2=1,C2:（X-4）+/=1,由题意，G，G到直线的距离等于半径，即

宀=1,总

所以|川=|4%+4，所以左=0（舍）或者厶=一2厶，

解得％=^-,b26)

3

故答案为：立.「空

33

练提升

一-

1.（2020•全国高考真题（理））若直线/与曲线产厶和*2+y2=:都相切，则/的方程为（

)

A.y=2r+lB.y=2x+；C.y-^x+\D.尸

【答案】D

【分析】

根据导数的几何意义设出直线/的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.

【详解】

设直线/在曲线y=«上的切点为卜。,"），则%>0,

函数y=«的导数为）'=*,则直线/的斜率氏=去，

设直线/的方程为y—寓=万友(x—x°),即x-2爲y+%=0,

1JV1

由于直线/与圆Y+y2=?相切，则［°丁=~^,

5，1+4%。5

两边平方并整理得54-4%-1=0,解得%=1,x0=-1(舍)，

则直线/的方程为x-2y+l=0,即y=gx+；.

故选：D.

2.【多选题】(2021•全国高考真题)已知点尸在圆(x-5y+(y-5)2=16上，点4(4,0)、8(0,2),

则()

A.点P到直线A3的距离小于10

B.点尸到直线A8的距离大于2

C.当NPBA最小时，|尸却=3竝

D.当NPBA最大时，|即=30

【答案】ACD

【分析】

计算出圆心到直线4B的距离，可得出点尸到直线AB的距离的取值范围，可判断AB选项

的正误；分析可知，当NP8A最大或最小时，P8与圆M相切，利用勾股定理可判断CD选

项的正误.

【详解】

圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为M(5,5),半径为4,

直线AB的方程为［+］=］,即x+2y-4=0,

圆心M到直线AB的距离为［5,2x5^=J1=>4,

#+22V55

所以，点尸到直线AB的距离的最小值为丄6-4<2,最大值为生6+4<10,A选项正确，

55

B选项错误；

如下图所示：

~0-----------K--------------*8

当NPH4最大或最小时，P8与圆M相切，连接VP、BM,可知丄P8,

\BM\=^（0-5）2+（2-5）2=>/34,\MF\=4,由勾股定理可得忸P|=_|朋评=34,

CD选项正确.

故选：ACD.

3.【多选题】（2021•肥城市教学研究中心高三月考）己知圆A:/+y2-2x-3=0,则下列说

法正确的是（）

A.圆A的半径为4

B.圆A截》轴所得的弦长为26

C.圆A上的点到直线%-4），+12=0的最小距离为1

D.圆A与圆与：/+/—8x-8y+23=0相离

【答案】BC

【分析】

将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A；利用几何法求出弦长可判断B；求出

圆心A到直线的距离再减去半径可判断C；求出圆B的圆心和半径，比较圆心距与半径之和

的大小可判断D,进而可得正确选项.

【详解】

对于A：由V+y2-2x_3=0可得（x-iy+y2=4,所以A的半径为r=2,故选项A不正

确；

对于民圆心为（i,o）到y轴的距离为d=i,所以圆A截y轴所得的弦长为

2\lr2-d2=2物_『=2>/3>故选项B正确：

对于C：圆心（1,0）到直线3x-4y+12=0的距离为岩争=3,所以圆A上的点到直线

3x-4），+12=0的最小距离为3—r=3—2=1,故选项C正确；

对于D：由丁+丁-8尤一8》+23=（）可得（了-4）2+（丫-4）2=9,所以圆心3（4,4）,半径/?=3,

因为48=，（4-1）2+（4-0）2=5=，+/?,所以两圆相外切，故选项D不正确；

故选：BC.

4.（2021•全国高三专题练习）在平面直角坐标系xQv中，圆C的方程为『+9-8*+15=0,

若直线y=^-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k

的取值范围是.

4

【答案】0<^<|

【分析】

求出圆C的圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离小于或等于两圆的半径之和即可求

解.

【详解】

由炉+V-8x+15=0可得（X-4。+y：=1,

因此圆C的圆心为C（4,0）,半径为1,

若直线^=履-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，

14A：-21

只需点C（4,0）到直线广质―2的距离1=第溟^1+1=2,

即（2&-1）241+公,所以次2.4ZV0,解得0J彳,

4

所以A的取值范围是

4

故答案为：0<^<-.

5.（2021・富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））直线了=履+2/>0）被圆x?+y2=4截

得的弦长为26,则直线的倾斜角为.

【答案】60

【分析】

由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得女,然后利用斜率等于倾

斜角的正切值求解.

【详解】

,直线y=h+2仏>0）被圆f+V=4截得的弦长为2g,

所以，圆心0（0,0）到直线依一y+2=0的距离d=J?一（6）2=1,

解得k=百任>0）.

设直线的倾斜角为。（04"180）,则tand=6,则。=60.

因此，直线y=Ax+2伏>0）的倾斜角为60.

故答案为：60.

6.（2021•昆明市・云南师大附中高三月考（文））已知圆O:N+），2=4,以A（l,石）为切点作

圆。的切线厶，点B是直线厶上异于点A的一个动点，过点B作直线厶的垂线厶，若，2与

圆。交于。，E两点，则.,.4E£>面积的最大值为.

【答案】2

【分析】

由切线性质得OA〃/2，。到直线4的距离等于A到4的距离，因此岳，比=$8£,设。到厶

距离为d,把面积用d表示，然后利用导数可得最大值.

【详解】

根据题意可得图，OA丄4,所以。4〃厶，因此O到直线&的距离等于A到4的距离，

S：ADE=5ODE>

过点。（0,0）作直线4的垂线，垂足为F,记|OF|=d（2>d>0）,则弦|£>E|=2x/4-d2，设三

角形ADE的面积为S,所以S=q".2^/Z彳，

____114-2d2

将S视为d的函数，则工戸+5”,//"-24）=万K，当0<“<友时，£>（）,

函数S（d）单调递增；当&<d<2时，S'<0,函数S3）单调递减，所以函数S3）有最大值，

当"=友时取到最大值，S（d）a=2,故.AED面积的最大值为2.

故答案为：2.

7.（2021•全国高三专题练习）已知ABC的三个顶点的坐标满足如下条件：向量d=（2,0），

OC=(2,2)'8=(0cosa,夜sina),则厶03的取值范围是

7C5乃

【答案】

【分析】

先求出点A的轨迹是以C(2,2)为圆心，加为半径的圆.过原点。作此圆的切线，切点分别

为M、N,如图所示，连接CM,CN,得到(烟船ZNOB.所以NBOM=15°,NBON=75。,

即得解.

【详解】

由题得|4|=/砺cosa)2+(Vasina)2=0

所以点A的轨迹是以CQ2)为圆心，血为半径的圆.

过原点。作此圆的切线，切点分别为M、N,

如图所示，连接CM,CN,

则向量&与方的夹角。的范围是NM。磁BNNOB.

—>—>1—>

•••Iob|=2夜，由ICM1=1CN1=/1OCI知NCOM=NCON=30°，

N3OM=45°-30°=15°,ABON=45O+30°=75°.\5°^075°.

故ZAOB的取值范围为｛附5。《"75。｝.

故答案为:"5。4。475。｝或有豊

8.(2021•全国高三专题练习)已知x、yeR,f_2x+y2=3时，求同+|乂的最大值与最小

值.

【答案】最小值是1,最大值是1+2行

【分析】

根据V—2x+V=3表示圆(x-iy+y2=4,设可+|乂表示关于原点、x轴、y轴均对称的

正方形，然后由直线与圆的位置关系求解.

【详解】

Y-2x+y2=3的图形是圆(x-l)2+)a=4,既是轴对称图形，又是中心对称图形.

设W+|y|=b,由式子W+例的对称性得知N+|y|=b的图形是关于原点、x轴、y轴均对称

的正方形.

如图所示：

当。变化时，图形是一个正方形系，每个正方形四个顶点均在坐标轴上,

问题转化为正方形系中的正方形与圆有公共点时，求b的最值问题.

当力＜1时，正方形与圆没有公共点；

当6=1时，正方形与圆相交于点(TO),

若令直线)，=—+〃与圆(x—庁+9=4相切，

则＞।=2,解得/,=]+2\f2，

所以当b=l+2&时，正方形与圆相切；

当1+20时，正方形与圆没有公共点，

故W+|y|的最小值是1,最大值是1+2收.

9.(2021•黑龙江哈尔滨市・哈尔滨三中)已知A3C的内切圆的圆心M在＞轴正半轴上，半

径为1,直线x+2y-l=0截圆M所得的弦长为述.

5

(1)求圆M方程；

(2)若点C的坐标为(2,4),求直线AC和8c的斜率；

(3)若A,8两点在X轴上移动，且|AB|=4,求,A8c面积的最小值.

【答案】⑴x2+(y-l)2=l；(2)2土|百;(3)y.

【分析】

(1)设A8C的内切圆的圆心M(0,。)，先求得圆心到直线x+2y-1=0的距离，再根据直

线截圆M所得的弦长为逑求解；

5

(2)当直线AC和BC的斜率不存在时，设直线方程为x=2,易知不成立；当直线AC和BC

的斜率存在时，设直线方程为y-4=z(x-2),然后由圆心到直线的距离等于半径求解；

(3)根据|AB|=4,设A(r,0),B(t+4⑼(-4<r<0),进而得到直线AC和直线BC的斜率，写

出直线AC和BC的方程，联立求得点C的坐标，进而得到坐标系的最小值求解.

【详解】

(1)设A8C的内切圆的圆心M(0,b),b>0,

圆心到直线x+2y-l=0的距离为“=口”，

>/5

又因为直线截圆M所得的弦长为拽，

解得匕=1，

所以圆M方程—+(k1)2=1；

(2)当直线AC和BC的斜率不存在时，设直线方程为x=2,

则圆心到直线的距离J=|0-2|=2^r=l,不成立，

当直线AC和BC的斜率存在时，设直线方程为y-4=Z(x-2),

即依一〉一2%+4=0,

圆心到直线的距离丑

解得k=2±;

3

(3)因为|AB|=4,设A&0)I(i+4,0)(-4</<0),

2

—?/

所以直线AC的斜率为：k=tan2ZMAO=-L-=,

AC11t-1

1一戸

_2

同理直线BC的斜率为：県=~,

1-1(，+4-1

r

2/

所以直线AC的方程为：y=-^-(x-t)f

r-1

-2(r+4)/、

直线BC的方程为：y=7--4),

(r+%4)-1丿；。

2f+4

x=

/+41+1

由，,解得■

-2(f+4)2r2+8r

y=(x-/-4)y=

(r+4『-1Z2+4Z+1

即d2+4-+82

即1+4，+17+务+1丿’

2r+8/_2c2

又y=---------=2—；------=2----------—

人'f2+4/+1「+4，+1（,+2）2-3'

Q

当r=-2时，点C的纵坐标取得最小值：，

所以说面积的最小值.S"=34x|号.

10.（2021•新疆乌鲁木齐市•乌市八中高二期末（文））已知直线/：4x+3y+10=0,半径为

2的圆C与/相切，圆心C在x轴上且在直线/的上方

（1）求圆C的方程；

（2）过点M（l,0）的直线与圆C交于A,8两点（A在X轴上方），问在X轴正半轴上是否存

在点N,使得x轴平分厶N8?若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）x2+y2=4；（2）存在,N（4,0）.

【分析】

（1）设出圆心坐标C（a,0）,根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，由此求解

出。的值（注意范围），则圆C的方程可求；

（2）当直线A2的斜率不存在时，直接根据位置关系分析即可，当直线A3的斜率存在时，

设出直线方程并联立圆的方程，由此可得48坐标的韦达定理形式，根据以结合韦

达定理可求点N的坐标.

【详解】

解：⑴设圆心c（“,o）,

•.,圆心C在/的上方，

•*.4（7+10>0>BP6!>——,

2

•.•直线/：4x+3y+10=0,半径为2的圆C与/相切,

：.d=r,即色誓=2,

解得：〃=0或。=—5（舍去），

则圆C方程为一+丁=4；

（2）当直线45丄x轴，贝！］x轴平分NANB,

当直线A3的斜率存在时，设A8的方程为丫=耳%-1）,N«,（））,A&，X），e（x,,y2）,

由卜+「=4得，（公+1卜2-2/彳+公一4=0,所以为+%=¥-,x門

j=Z（x-l）'丿1-k2+\-k2+l

若x轴平分NAA®,则3v=-&班，即"火（％一|）=0,

王一£9一/

整理得：2Al々-。+1）&+々）+2/=0,即2俨二4）_2.（r+l）+2,=0,解得：,=4,

k2+\k2+l

当点N（4,0）,能使得厶NM=N&VM总成立.

练真题

1.（2021•山东高考真题）“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（）

A.充分没必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也没必要条件

【答案】C

【分析】

由直线与圆相切的等价条件，易判断

【详解】

由于“圆心到直线的距离等于圆的半径"直线与圆相切”，因此充分性成立；

“直线与圆相切”n“圆心到直线的距离等于圆的半径”，故必要性成立；

可得“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件

故选：C

2.（2021•北京高考真题）已知直线）=履+加（”?为常数）与圆x?+y2=4交于点〃，N,

当％变化时，若IMNI的最小值为2,则机=

A.±1B.士近C.±6D.±2

【答案】C

【分析】

先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出机

【详解】

由题可得圆心为（0,0）,半径为2,

则圆心到直线的距离d

则弦长为|MN|=2

则当％=0时，弦长MM取得最小值为27?二U=2,解得机=±6.

故选：C.

3.(2020•全国高考真题(理))已知。M丁+/一2%一2,一2=0,直线/：2x+y+2=0,

产为/上的动点，过点P作。."的切线PA,PB,切点为A,B,当IPMHABI最小时，直

线AB的方程为()

A.2x—y-1—()B.2,x+y—1—0C.2x—y+1=()D.2x+y+1=0

【答案】D

【解析】

，点”到直线/的距离为。=B42］二石〉2,

圆的方程可化为(x—I)?+(y—I)?=4

722+12

所以直线/与圆相离.

依圆的知识可知，四点AP,民"四点共圆，且A3丄儿庐，所以

\PM\-\AB\=4SPAM=4x|x|PA|x|AM|=4|PA|,而归川=,

当直线MP丄/时，|班仆=6，|尸4而=1,it匕时最小.

=11

MP:y-l=即y=gx+g,由＜y­x4—x=-l

22解得,

y=0

2x+y+2=0

所以以MP为直径的圆的方程为(x-l)(x+l)+y(y—l)=0,即x2+y2_y—i=o,

两圆的方程相减可得：2x+y+l=0,即为直线AB的方程.

故选：D.

4.【多选题】(202卜全国高考真题)己知直线/:以+历，-产=0与圆。：/+>)2=/，点43加，

则下列说法正确的是()

A.若点A在圆C上，则直线/与圆C相切B.若点4在圆C内，则直线/与圆C相离

C.若点A在圆C外，则直线/与圆C相离D.若点A在直线/上，则直线/与圆C相切

【答案】ABD

【分析】

转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与

圆的位置关系即可得解.

【详解】

2

圆心c(o,o)到直线/的距离〃=

yla2+b2

若点A®b)在圆C上,则所以d=

y/a'+b-

则直线/与圆C相切，故A正确;

2

若点在圆C内，则/+从<戸，所以d=:>内

yja'+b-

则直线/与圆C相离，故B正确；

若点A(a㈤在圆C外,则/+厶2>/，所以d=

y]a2+h2

则直线/与圆C相交，故C错误;

若点A(a,b)在直线/上，贝I」/+〃一/=o即“2+〃=产,

所以d=//,=卜|,直线/与圆C相切，故D正确.

yla2+b2

故选：ABD.

5.(2021.山东高考真题)已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆/+机)产-6机-7=()的圆

心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于.

【答案】2币

【分析】

由于丁+啊2-6%-7=0是圆,可得〃?=1,通过圆心和半径计算a,b,c,即得解

【详解】

由于x?+〃?)>2-6m-7=0是圆，m=1

即：圆X?+丁-6x-7=0

其中圆心为(3,0),半径为4

那么椭圆的长轴长为8,即c=3,a=4,%=_。2=翅,

那么短轴长为2近

故答案为：2近

6.(2019•北京高考真题(文))设抛物线，=4x的焦点为此准线为，则以厂为圆心，且

与丿相切的圆的方程为.

【答案】(^-1)V=4.

【解析】

抛物线”=4*中，2尸4,片2,

焦点尸（1,0）,准线/的方程为产T,

以尸为圆心，

且与/相切的圆的方程为（尸1）2+4=2；即为（『11+"=4.

专题9.3椭圆

练基础

一浙江高考真题）椭圆不小1的离心率是‘）

好25

氏--

A.3C.3D.9

X~v~1

2.（2019•北京高考真题）已知椭圆j+'=l（a>6>0）的离心率为一，则（）

a~b~2

A.界26B.3^=4Z?2C.a=2bD.3寸46

22

3.（上海高考真题）设。是椭圆三+2=1上的点.若6，鸟是椭圆的两个焦点，则

2516

|P£|+|P闾等于（）

A.4B.5C.8D.10

22

4.（2020•四川资阳。高三其他（理））已知椭圆C：0+3=1（。>。>0）经过点（1,

且。的离心率叫，则。的方程是（）

22

A.+—B.

~4386

222

X~+£

C.=1D.—*।.—y_—i1

~4284

r2v2

5.（2020•河北枣强中学高三月考（文））已知椭圆C的方程为T+方=1（。>6>0）,焦

距为2c,直线/：y=与x与椭圆C相交于A,B两点，若|AB|=2c,则椭圆C的离心率

为（）

J3311

A.—B.-C.-D.-

2424

6.（2021.全国高三专题练习）已知K，乃分别是椭圆$+《=1的上、下焦点，在椭圆上

111,,,,

是否存在点P,使西，兩，两成等差数列？若存在求出归用和P目的值；若不存

在，请说明理由.

22

7.（2021•全国高三专题练习）设尸是椭圆三+二=1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同

76

的点a（i=l,2,...）,使|3|,尸耳，|F用，…组成公差为4的等差数列，求a的取值

范围.

8.（2021♦全国高三专题练习）已知定点4（-2,2）,点F?为椭圆[+卷=1的右焦点，点M在

椭圆上移动时，求|A"|+|M闾的最大值；

9.（2021•云南师大附中高三月考（理））椭圆C:「+马=1（。>6>0）的离心率是巫，且

Q-h-2

点A（2,1）在椭圆C上，O是坐标原点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线/过原点，且/丄。4,若/与椭圆C交于B,力两点，求弦8。的长度.

10.（2021.南昌大学附属中学髙二月考）已知月（-2,0"（2,0）是椭圆力方=1（°”>0）

两个焦点,且5巒=9乩

（1）求此椭圆的方程；

（2）设点P在椭圆上，且/耳尸鸟=5，求的面积.

练提升

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