2023年高考数学一模试卷（理科）附答案解析

2023年高考数学一模试卷（理科）附答案解析

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，

选出符合题目的一项）

1.设集合力={2,3,a2-2a-3},B={0,3},C={2,研.若8QA,Ad

C={2},则a=（）

A.-3B.-1C.1D.3

2.若复数z=谷，则z的共辗复数W=（）

A.1—iB.-1+iC.-2+iD.2—i

3.已知sina=|,ae兀），tan（?r一夕）=,则tan（a-£）的值为

（）

A2c2-11-11

A•一五B.五C.TD.-T

4.已知a—log3-,fj=2~2,c=（|）s,则（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

5.仇章算术》中有一题：今有牛、马、羊、猪食人苗，苗主责之

粟9斗，猪主日："我猪食半羊羊主曰："我羊食半马马主曰：

"我马食半牛今欲衰偿之，问各出几何？其意是：今有牛、马、羊、

猪吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿9斗粟，猪主人说："我猪所吃

的禾苗只有羊的一半羊主人说："我羊所吃的禾苗只有马的一半

马主人说："我马所吃的禾苗只有牛的一半打算按此比率偿还，牛、

马、羊、猪的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，马主人比猪主人

多赔偿了斗.（）

A.|B.|C.3D.y

x+y-2>0,

6.若％,y满足约束条件2%-y-4<。，则z=%-y的最小值是()

y<4,

A.-6B.-4C.0D.2

7.如图是函数Q(%)的图象的一部分，设函数/(%)=s讥％&(x)=|,

则<?(%)是()

A黑B./(x)g(%)C.f(%)-g(x)D./(%)+g(%)

Bl人)

8.已知函数f(%)=cos2x-sin2%,则()

A./(%)在(*,/)上单调递减B./(%)在(-?*)上单调递增

C./(%)在(0由上单调递减D./(%)在(%答)上单调递增

9.过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载

人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的

耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、

着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.目前庭功能

和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在

相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有()

A.24种B.36种C.48种D.60种

2

10.△ABC的内角4,B,C的对边分别为a,btc满足（s讥B-sinC）=

sin2>l-sinBsinC若4/BC为锐角三角形，且a=3,则4ABC面积最

大为（）

A.1B.：C*D*

2444

11.设双曲线E；——?=1的左、右焦点分别为&月，左顶点为4,

点M是双曲线E在第一象限内的一点，直线MR交双曲线E的左支于点

N,若NAI/MF2,则点M与点N的横坐标的绝对值之比为（）

A・森B.不C.4D.-

12.利用"Inx<x-l"可得到许多与九（九>2且九eN*）有关的结论

_111111

0n（7i+1）<1H--1--F—F-,②"71>-HF—I■一,+

237123zx

1）（1+或）…（1+/）>e,%"+（犷+…+<六,则结论正

确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知6>0,平面向量为=（m2,m+2）,3=（1,1）,若五〃方,则

实数租的值是_____.

14.已知（%+a）5的展开式为P5%5+P4%4-|.P3%3++p、X+p0,

若P3—P4=15,则a=.

15.P为椭圆I+[=1上一点，曲线9+|y|=1与坐标轴的交点为/,

6z乙

B,C,D,若|P4|+\PB\+\PC\+\PD\=4V-6,则P到%轴的距离

为

16."蹴鞠"，又名"蹴球""蹴圆"等，"蹴"有用脚蹴、踢的含

义，"鞠"是最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠"就是指

古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似现在的踢足球活动.已知某"鞠"的

表面上有四个点/,B,C,D，且满足力B=BC=CD=DA=DB=2cm,

AC=3cm,则该"鞠"的表面积为cm2.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，

证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

已知数列｛册｝的前几项和为%,Sn=2an-1.

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)若％=2n+1.求数列｛Onbn｝的前几项和；

18.(本小题12.0分)

携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号

码,就能转换运营商，并享受其提供的各种服务.2019年11月27日，

工信部宣布携号转网在全国范围正式启动.某运营商为提质量保客户，

从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统

计，其中业务水平的满意率为H,服务水平的满意率为|,对业务水平

和服务水平都满意的客户有180人.

(1)完成下面2x2列联表，并分析是否有99%的把握认为业务水平与

服务水平有关；

对服务水平满意人对服务水平不满意人合

数数计

对业务水平满意人数

对业务水平不施息人

数

■

(2)为进一步提高服务质量在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取

2名征求改进意见，用X表示对业务水平不满意的人数，求X的分布列

与期望.

附…再就篝翳E"a+"c+d

Pg>k)0.100.050.0250.0100.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910,828

19.(本小题12.0分)

如图，在三棱柱48C-4当。1中，底面△4BC为等腰直角三角形，侧

面力41底面ABC,。为4C中点,AB=BC=<1,力力］=屋.

(1)求证：BD1A±D;

(2)再从条件0、条件②区两个条件中选择一个作为已知，求二面角4-

CQ-B的余弦值.

条件⑦：/〔CiJ.;条件②：力力1—/C

AI£

Bi

20.(本小题12.0分)

在直角坐标系%。y中，动点M到定点尸(1,0)的距离比到y轴的距离大1.

(1)求动点M的轨迹方程;

(2)当％>0时，记动点M的轨迹为曲线C,过尸的直线与曲线。交于P,

Q两点，直线。p,OQ与直线％=1分别交于4,B两点，试判断以4B为

直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

21.(本小题12.0分)

已知函数/'(%)=2/—alnx2.

(1)讨论/(%)的单调性；

(2)若/(%)>2a-^a2,求a的取值范围.

22.(本小题10.0分)

在极坐标系中，圆C的极坐标方程为P=2「sin(6+9，直线珀勺极坐

标方程为ps讥(。+?)=4.以极点为坐标原点，以极轴为%轴的正半轴，

建立平面直角坐标系%。y.

(1)求圆c及直线珀勺直角坐标方程；

(2)若射线。=a(p>0)分别与圆C和直线/交于P,Q两点，其中aG

(°弓)，求^的最大值•

23.(本小题12.0分)

已知a>0,b>0，函数/(%)=|2x+a\+\2x-b\+1的最小值为3.

⑴求a+b的值；

(2)求证：b+log竦+/N4-a.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：集合力={2,3,02一2a-3},B={0,3},C={2,a},BQA,

anc={2},

a2—2a—3=0

a'—2a—3Wa,

aW3

解得a=-1.

故选：B.

利用子集、交集定义、集合中元素的性质直接求解.

本题考查子集、交集定义、集合中元素的性质等基础知识，考查运算求解

能力，是基础题.

2.【答案】A

【解析】解：2=营=5=需七=1+1，

则z=1—i.

故选：/.

根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共粗复数的定义，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及共扼复数的定义，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】

【分析】

由条件利用同角三角函数的基本关系求得位九a的值，利用诱导公式求得

tan.,再利用两角差的正切公式，求得要求式子的值.

本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式的应用，属于

基础题.

【解答】

解：：已知sina=。，aeG，TT),cosa—71—sin2a=--z

525

sina3

:，tana=

cosa4

•••tan(7T-^)=1=Ta邛，•"a邛=—J则tan(a-0)=黑鬻

2

一五，

故选：/.

4.【答案】D

【解析】解：a=log3;<log3l=0,0<b=2~l=（芋<（芋=c,

故c>b>a.

故选：。.

先确定与中间量。的大小关系，再利用指数函数的单调性来比较大小.

本题考查三个数的大小的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意对数

函数和指数函数的性质的合理运用.

5.【答案】B

【解析】解：由题意得：猪、羊、马、牛的主人赔偿的粟斗数成等比数列，

公比为2,

设猪的主人赔偿的粟斗数为工,

则%+2%+4%+8%=9,解得:x=-,

故马主人赔偿的粟斗数为4%=y,

所以马主人比猪主人多赔偿了斗数为号-|=1.

故选：B.

问题可转化为等比数列进行求解，设出未知数，列出方程，求出马主人比

猪主人多赔偿了斗数.

本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题.

6•【答案】/

【解析】解：作出％,y满足的可行域如下所示，

2x^-4=。

开y-2=0

联立｛江72=°,解得％=-2,y=4,即4(-2,4),

z=x—y可化为y=x—z,

当直线y=%-z经过点/时，有4=-2-z,所以z=-6,即z的最小值

为-6.

故选：，.

根据不等式组作出可行域，把目标函数z=%-y转化为y=汽-z,再结

合其几何意义，得解.

本题考查线性规划，熟练掌握目标函数的几何意义是解题的关键，考查逻

辑推理能力和运算能力，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：由于函数/(%)=s讥%和g(%)=挪是奇函数，它们的图象关

于原点对称，

由QQ)的图象可得QQ)是奇函数，结合所给的选项，

缁="讥%是偶函数，故排除/;/(加(%)=?是偶函数，故排除8,

而/(%)-g(%)=sinx-J当x＞。且%趋于。时，函数的值趋于负无穷大，

故排除。；

/(%)+g(%)=sinx+:是奇函数，

故选：D.

根据Q(%)的图象可得Q(%)是奇函数，根据Q(%)在。点右侧的函数值，结合

所给的选项，得出结论.

本题主要考查函数的奇偶性，奇函数与偶函数的图象特征，属于中档题.

8.【答案】C

【解析】解：/(x)=cos2x-sir?%=cos2x,周期丁=n,

・••/Q)的单调递减区间为际(+E](kEZ),单调递增区间为甘+

kn,Ti+kn](kEZ),

对于a,/(%)在(一?-0上单调递增，故/错误，

对于B,/(%)在(-%。)上单调递增，在(0*)上单调递减，故8错误，

对于C,f(%)在(。,今上单调递减，故u正确，

对于。，/(%)在(N)上单调递减，在G，5上单调递增，故。错误，

故选：C.

利用二倍角公式化简得/(%)=COS2X,周期丁=7T,根据余弦函数的单调

性可得/(%)的单调递减区间为生"(+皿@eZ),单调递增区间为g+

kn,n+k〃](keZ),进而逐个判断各个选项的正误即可.

本题主要考查了二倍角公式，考查了余弦函数的单调性，属于基础题.

9.【答案】B

【解析】解：②若失重飞行安排在第一天则前庭功能安排第二天，则后面

三天安排其他三项测试有题=6种安排方法，

此情况跟失重飞行安排在第五天则前庭功能安排第四天安排方案种数相

同；

②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有6种选择，超重耐力在第四、

第五天有戏种选择，剩下两种测试全排列看,则有废废心=8种安排方

法，

此情况与失重飞行安排在第四天方安排方案种数相同；

③若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有废种选择，超重耐力在第一、

第五天有0种选择，剩下两种测试全排列掰，则有废©花=8种安排方

法；

故选拔测试的安排方案有6x2+8x2+8=36种.

故选：B.

根据特殊元素"失重飞行"进行位置分类方法计算，结合排列组合等计数

方法，即可求得总的测试的安排方案种数.

本题考查排列组合的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题.

10.【答案】D

【解析】解:(sinB-sinCy=sin24—

sinBsinC,

：.(b—c)2=a2—be,即匕2+c2-a2=be,

b2+c2-a2_be_1

•••cosA

2bc2bc2

0<A<TI,

vva=5.-s-in-B-=--s-in-C-=-s-i-n-A-=zv3,

:.b=2y[~3sinB,c=2y/~~3sinC,

:.S^ABC=|besinA=?x12sinBsinC=?x12sinBsin(^--B)=

?x(6y/~3sinBcosB+6sin2B)=?x(3V~^si7i2B+3—3cos2B)=

早x[6sin(2B-,)+3]=年sin(2B—0+学，

：

■0<B<-2',0<3--B<-2,'

...2B—音仁潦)，

」•S*BC=零sin(2B—+亨工学，当且仅当2B七=J，即B=g时

，6440乙◊

等号成立，即44BC面积最大为空I.

4

故选：D.

根据已知条件结合正弦定理以及余弦定理，即可求解cos4，结合4的范围

可求/,结合正弦定理以及三角函数的恒等变换公式，三角形的面积公式

即可求解.

本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形

中的应用，考查转化能力，属于中档题.

11.【答案】B

根据题意可知后(—2,0),F2(2,0),力(—1,0),

设,N(%2，V2)，由M4〃MF2可知：

|F]N|_|F]A|_c-a_1

|F]M|-I&F2I-2c-4

所以耳标=4居R,即(%i+2,%)=4(&+2,乃)，

。

Er-pi(^l+2=42+2)6

所以t%=4y2＜：:r

所以(4%2+6)2—用=1,联立媛—[=1,解得犯=；

7

所以%I=4%2+6=Z,

点M与点N的横坐标的绝对值之比为".

故选：B.

根据题意可得&,F2,4三点坐标，由N/〃MFZ可利用相似比得

I:：：:+6,代入“，N两点坐标并联立，解之即可求得结果.

本题考查双曲线的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题.

12.【答案】C

【解析】解：令/(%)=%-1，则/(%)=1-,

当％>1时，/(%)>o,当oV%V1时，/(%)<o,

故f(%)=%-1-上%在(。,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

故f(%)=%-1-仇%在％=1处取得极小值，也时最小值，/㈤加n=0,

故仇》<x-l,当且仅当％=1时，等号成立，

对于。，令％=1+11,所以ln(l+》<l+；—l=l

故ln(l+1)+ln(l+}+••・+ln(l+：)<1+1+…+：，

其中ln(l+;)+ln(l+|)H-----Fln(l+：)二上2—Ini+ln3—ln2+—t-

ln(n+1)—Inn=ln(n+1)—Ini=ln(n+1),

所以ln(n+l)Vl+：+：+—+；,故⑦正确；

对于②,将配％<%—1中的%替换为1一x,可得ln(l—%)<1—%—1=

—x,x<l,

当且仅当％=。时等号成立,

令％=(w0,可得<-i,

所以"71—ln(n—1)>^,

古攵ZTI2—Ini+ln3—ln2+,,,+Inn—ln(n—1)>5+1+…—,

其中"2—Ini4-ln3—ln2+—FInn—ln(n-1)=Inn—Ini=Inn

111

所以"九>-+-+•-•+-,故②正确;

11

对于③，将配％<X-1中的%替换为1+-,显然1+乔H1,

则ln(l+/)<1+/T=t

故ln(l+|)+ln(l+京)+…+ln(l+表)V卜+<+…+*=、：_黑=

2

i-14<1,

2n'

故(1+1)(1+京)…(1+/)Ve,故型昔误；

对于④，将比％<%-1中的%替换为，其中ie/V*,nGN*,则In：<^-l,

则九"：<i-n,故<A,当且仅当：=九时，等号成立,

则(9"+(令n+…+(彳严<e1-n+e2f+…+en-n=。1丁)=

当〈三，故④正确.

e-1e-1

故选：C.

先证明出仇》<X-1,当且仅当％=1时，等号成立，对于⑦，令％=1+

91,得到ln（l+》<1+；-1=）累加后得到⑦正确；对于②，推

导出ln（l-%）<-%,%<1,当且仅当％=。时等号成立，令％=，H0,

可得ln（l-6<累加后得到②正确；对于③，推导出皿1+表）<1+

/-1=/累加后得到型昔误；对于④，将仇工4%-1中的%替换为:,

推导出九历;二一叫故《产<,当且仅当i=九时,等号成立，累加

后得到④正确.

本题主要考查归纳推理不等式的证明，导数的应用考查逻辑推理能力，

属于难题.

13.【答案】2

【解析】解：血>0,平面向量五=（m2,m+2）,3=（1,1）,

a//b,可得Tn?=m+2,解得m=2（-1舍）,

即实数加的值是2.

故答案为：2.

直接根据向量共线的性质即可求得结论.

本题主要考查向量平行时的坐标关系，属于基础题.

14.【答案】|或-1

【解析】解：（％+展开式的通项公式为7>+1=C^x5-rar^=0,1,

2,3,4,5,

令r=2,则&—3a2=10a2%3,即p?=10a2,

令r=1,贝!]72=C^x4a=Sax4,即—5a,

由题意可得10a2-5a=15,即2a2—a—3=0,解得a=|或a=—1,

故答案为：|或-1.

利用二项式定理即可得解.

本题考查二项式定理，属于基础题.

15.【答案】等

【解析】解：曲线1fl+|y|=I与坐标轴的交点为/.B,C,D,则不妨设

力(-2,0),B(2,0),C(0,-l),D(0,l),

22

则4,B为椭圆.+5=1的焦点，

oZ

\PA\+\PB\=2V-6,

又|P/|4-\PB\+\PC\+\PD\=4V-6,则|PC|4-\PD\=2V-6,

且|CD|=2<\PC\+\PD\,

2a=2V-6"—

・••p在以c、。为焦点的椭圆上，且c=1，解得：=X,

k2=a2-b23=’5

22

...p为椭圆+亍=1上一点，

5o

(X2y21

联立—解得V号,则仅|=*

I56

故P至此轴的距离为等，

故答案为：等.

首先表示出4,B,C,。的坐标,依题意得|PC|+\PD\=2A/~6,即可得

22

到P为椭圆会+《=1上一点，联立两椭圆方程，求出炉，即可得出答案.

56

本题考查椭圆的性质，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运

算能力，属于中档题.

16.【答案】y7T

【解析】解：由已知得△48。,△CBD均为等边

三角形，如图所示，

设球心为。，△BCD的中心为。"取8。中点F,连

接4F,CF,OB,O'B,A0,

则4F1BD,CF1BD,而4FdCF=F,BD1平面4CF,

且求得4F=CF=yTlcm，而AC=3cmcos^AFC=.二一；=_二

2Xy3Xv32

则上4/。=120°,

在平面4FC中，过点/作CF的垂线，与CF的延长线交于点E,

由BD1平面4CF,得BD14E,故/£!平面BCO,

过点。作。G14E于点G,则四边形。EG。是矩形，

而。'B=BCsinGO°x-=cm,O'F=-O/B=—cm,

3323

2

设球的半径为R,00'=x（cm）,则由007+O7B2=OB2.0A2=AG2+

GO2,

得%2+；R2,（|_©2+（?+?）2=R2,

解得％=lcm,R=,

故三棱锥力-BCD外接球的表面积为S=4nR2=y7T（cm2）.

由题意画出图形，可得△ABD,△CBD均为等边三角形，设球心为。,△BCD

的中心为。’，取BD中点尸,连接”,CF,0B,0'B,A0,构造直角三角

形，利用勾股定理求解棱锥外接球的半径，再由球的表面积公式求解.

本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考

查运算求解能力，是中档题.

17.【答案】解：(l)Sn=2an-l.

71N2时，an=Sn-SnT=2an—1一(2an_i-1).化为：an=2an_r.

n=1时，的=S]=2al-1,解得%=1.

••数列5｝是等比数列,公比为2.

・•.an=2九一1.

(2)bn=2n+1.

n-1

•••anbn=(2n+1)-2.

;数列5匕｝的前几项和〃=3+5x2+7x22+……+(2九+1)•2…,

•••2〃=3X2+5X22+……+(2九-1)-2n-1+(2n+1)-2n,

n

相减可得：—Tn=3+2(2+2?+……+2"-1)—(2n+1),2=3+2x

2(2；；1)-(2九+1).2",

解得〃=1+(2n-1)-2n.

【解析】(l)Sn=2an-1.71>2时，an=Sn-Sn_],n=1时，的=S[=

2的-1,解得出利用等比数列的通项公式即可得出.

n

(2)bn=2n+l.anbn=(2n+1)-2利用错位相减法即可得出.

本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法,

考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

18.【答案】解：(1)有题可得对业务水平满意的有30。xIf=260人，对

服务水平满意的有300x|=200人，得2x2列联表

对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计

对业务水平人数18080260

对业务水平不满意人数202040

200100300

300X(180X20-80X20)275_

经计算得不----------------=一七5.769<6.635,

200x100x260x4013

所以没有99%的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关;

(2)X的可能值为0,1,2,

又「侬=°)=悬=签，P(X=1)=^=^P(X=2)=悬=^，

所以X的分布列如下：

X012

3163219

P

49599495

则X的期望E(X)=0x费+1X邕+2x葺=，

【解析】(1)利用题意可完成列联表，然后根据公式求出K2,再对照临界

值表即可得出结论；

(2)根据题意结合超几何分布求分布列和期望.

本题考查独立性检验原理的应用，离散型随机变量的分布列与期望的求解,

属中档题.

19.【答案】证明：(1)因为4B=BC,。为"中点，

所以BD1AC,

又因为面441cle1面ABC,面力41clen面ABC=AC,BDu面力BC,

所以BD1平面44停1。，

又4Du平面/MiQC,所以BD1A±D;

解:(2)选⑦，取4cl的中点E,连接当£,CE,

则4E〃。恒4送=DC,

所以四边形410CE为平行四边形，所以&D〃CE,

因为儿旦=BG,E为&G的中点,

所以4G1BrE,

又AiQ1B1C,B]CAB]E=Bx,BrC,BrEu平面CB1？,

所以&C1-L平面CBiE,

又/C〃&G,所以4C1平面C&E,

又CEu平面CBiE,所以"1CE,

因为&D〃CE,所以AC1AXD,

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，

7八

__与___C,

'B

y

由=BC=yT2.,AA1=V_5，得4c=2,A1D=2,

则。(0,0,0),5(0,1,0),C(-l,0,0),Q(-2,0,2),则福(1,1,0),鬲二

(-1,0,2),

因为BQ1平面441QC,

所以加=(0,1,0)即为平面441QC的一条法向量,

设平面BCG的法向量为元=(%,y,z),

n-CB=x+y=0—TE——_、

则有一一,'，可取元=(2,—2,1),

n-CCr=—x+2z=0

则cos伍，砺〉=隘=潦=一|,

由图可知，二面角力—CC-^—B为锐二面角,

所以二面角力-CG-B的余弦值为|；

选②,取力的中点E,连接,CE,DE,

则且4透=DC,

所以四边形4DCE为平行四边形，所以力道〃CE且&D=CE,

因为的£7/。。且GE=DC,

所以四边形4DCE为平行四边形，所以BD〃BR且BDBiE,

又因为BD1A.D,所以CE1B.E,

又44i=BXC=S,BD=BtE=1,

所以CE=2,则力iD=CE=2,

在aADA^,因为力。2+力1。2=

AIA2,

所以/D1ArD,

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，

F同选侬勺答案.

【解析】（1）根据面面垂直的性质可得BD1平面/41CiC,再根据线面垂直

的性质即可得证；

（2）选。，取力1的的中点E,连接BiE,CE,证明/C14D,再以点D为原

点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；

选②，取的中点E，连接,CE,DE，利用勾股定理证明力。1,

再以点D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

本题考查了线线垂直的证明和二面角的计算，属于中档题.

20.【答案】解：（1）动点M到定点F（l,0）的距离比到y轴的距离大1,

当％＞。时，动点M到定点”1,0）的距离等于到％=-1的距离，轨迹为抛

物线，

设抛物线方程为必=2px,

则卜1,所以P=2,

所以V=4%,

当％＜。时，y=0满足条件.

综上所述，轨迹方程为：％20时，y2=4%;%V0时，y=0,(%<0);

(2)设直线PQ的方程为％=my+l,PQq,%),<?(%2，丫2),

联立方程修

*22

整理得：y—4my—4=0,/=16m+16>0,%+%=4m,yty2=

—4,

直线。p的方程为y=^x=~x1同理：直线。Q的方程为y=F%，

xiyiyz

令％=1得,

±±

yi+y2

设718中点T的坐标为Qr，y?),则%r=I,yT=='八十枕)——2m»

2y1y2

所以7(1,—2m).|阴=|±—±|=空呻=Z++犷-4加2=

yiy2|y02l4

V16m2+16,

圆的半径为r='M16:2中11,

2

所以力B为直径的圆的方程为(％-1)2+(y+2m)2=4m2+4,

展开可得(％-I)2+y2+4my=4,

令y=0,可得(久—=4,解得汽=3或%=—1.

所以以4B为直径的圆经过定点(-1,0)和(3,0).

【解析】(1)考虑%>。和％<。两种情况，x>0时确定轨迹为抛物线，根

据题意得到:=1，得到答案；

(2)设直线PQ的方程为％=my+1,联立方程，根据韦达定理得到根与系

数的关系，计算中点坐标为7(1,-26)，半径为r=数标+1，得到圆

方程为(％-I)2+/+4my=4,取丫=。得到定点.

本题主要考查了求动点轨迹方程，考查了直线与抛物线的位置关系，属于

中档题.

21.【答案】解:(1)/(%)的定义域为(—8,0)U(0,+8).

当％e(0,+8)时,/(%)=2x2-2alnx,则/(%)=4%-^=①

当a<。时/(%)>0,可知/(%)在(0,+8)上单调递增,

当a>0时，令/(%)>o,得％,学，今/(%)<o,得o<%?.

因为/(-%)=/(%),所以/(%)为偶函数，

所以当a<。时，/(%)的单调递增区间为(0,+“)，单调递减区间为(-启0)；

当a>0时，/Q)的单调递增区间为(-子,0)，(分,+2,单调递减区

间为(—%—手)，(0,手)；

(2)令/=t(t>0),可得/(%)=2t—alnt,

令g(t)=2t-alnt，则g篁)=2-/=字.

当a=0时，g(t)=2t>0,g(t)>2aa?显然成立.

当a<0时,g^t)>0,g(t)在区间(0,+8)上单调递增，若0<t<,

由噤<0,可得°<e噂<i，

(加2)2(a-2}2

有g(t)=2t—alnt<2—alnt<2—alne2a=2—ax=2a—

|a2,与g«)N2a-浮矛盾.

当a>0时，令g算)>0，可得t>£，可知函数9«)的单调递减区间为(。，》，

单调递增区间为G，+2,

可得