四川省德阳市2023届高三第一次诊断考试数学（文）试题（解析版）

德阳市高中2020级第一次诊断考试

数学试卷（文史类）

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1已知集合P=kGNk词，Q={L3},则P'Q=（）

A.QB.{—3,—2,—1,0,1,3）

C.PD.{-3,-2,-1,2}

K答案，A

K解析2

K祥解H化简集合，然后根据交集的定义运算即得.

K详析H因为尸={X∈N.≤9}={（M,2,3},又Q={l,3},

所以PQ={1,3}=Q.

故选：A.

2.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的是（）

A.样本数据9、3、5、7、12、13、1、8、10、18的中位数是8或9

B.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化

C.利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型

的拟合精度较高

D.调查影院中观众观后感时，从15排（每排人数相同）每排任意抽取一人进行调查是系统抽样法

R答案』C

K解析D

K祥解》按照中位数，平均数和方差的计算方法判断选项A,B的正误，根据残差图的含义判断选项C的

正误，区分不同抽样方法的概念判断D的正误.

K详析2对于A,样本数据1、3、5、7、8、9、10、12、13、18的中位数为旦2=8.5,A错误；

2

对于B,每个数据都减去同一个数后，平均数也应为原平均数减去这个数，B错误；

对于C,残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则拟合精度高，C正确；

对于D,每排任意抽取一人应为简单随机抽样，D错误；

故K答案H为：C.

3.复数工的共拢复数是()

i-2

A.2+iB.-2+iC.-2-iD.2-i

K答案，B

R解析，

R祥解11根据复数的除法运算化简工，根据共轨复数的概念可得K答案》.

1-2

K详析H2=5(-L2)=_2T,

1-25

故7⅛的共辗复数为一2+i，

故选：B

4.已知等比数列｛4｝的前n项和为S“，且S5=5,Sg=30,则%=.

A.90B.125C.155D.180

K答案，c

K解析H

K样解》由等比数列的性质，S”,S2”-S”,S3“-S2”成等比数列，即可求得S”一Sg,再得出K答案』.

K详析』因为等比数列｛%｝的前〃项和为S,,,根据性质所以S5,SK)-S5,九一SH)成等比数列，因为

S5-5,510=30,所以S]o—S5=25,S∣5—S1o=25x5=125,故S纥=125+30=155.

故选C

In点石成金口本题考查了等比数列的性质，若等比数列｛α,,｝的前〃项和为S.,则S,,,S2z,-SK,S3“—S2n也

成等比数列，这是解题的关键，属于较为基础题.

x+2y≤l

则上的最小值为(

5.已知x、y满足约束条件,2x+y÷l≥0,T)

Cx+2

X-y<0

1

A.1B.—C.—D.——

735

K答案』D

K解析》

K祥解U由约束条件作出可行域，数形结合求出二一的最小值.

x+2

由约束条件作出可行域如图，幽表示可行域内的点与点（-2,0）连线的斜率，

X=V11fl∩1V

联立方程:∙ι八，得交点坐标（一个-P,由图得,当过点-彳,一彳时,斜率最小为—-，所以—

2x+y+l=033k33）5x+2

的最小值为-

故选：D.

6.已知QA="，OB=3，点M关于A的对称点为S,点S关于B的对称点为N,那么MN=（）

A.2a-2bB.2a+2bC.-2a-2bD.-2a+2h

K答案DD

K解析H

R祥解》根据点对称关系，结合向量中点公式进行化简即得.

K详析D因为点M关于A的对称点为S,点S关于B的对称点为N,

所以OΛ∕+OS=2OA,ON+OS=2OB>

所以ON—OM=2OB-2OA,又OA=n，OB=b，

所以MN=ON-OM=2b-2a-

故选：D.

7.德阳市文庙广场设置了一些石凳供游人休息，这些石凳是由正方体形石料（如图1）截去8个一样的四

面体得到的（如图2）,则下列对石凳的两条边AB与CD所在直线的描述中正确的是（）

①直线48与CO是异面直线②直线AB与CO是相交直线

③直线AB与CQ成60°角④直线AB与CQ垂直

A.①③B.①④C.②③D.②④

R答案UC

R解析D

K祥解》根据异面直线和异面直线所成角的定义判断即可.

如图所示，延长A3、OC和正方体的一条边，会交于点E,所以直线AB与CD是相交直线，故①错，

②对；

连接AD，设正方体的边长为1，所以AD=DE=AE=g,即三角形ADE为等边三角形，所以直线AB

与CO成60°角，故③对，④错.

故选：C.

22

8.已知某曲线方程为三-----J=I,则下列描述中不正确的是()

m+32m-1

A.若该曲线为双曲线，且焦点在X轴上，则”2∈(g,+α))

B.若该曲线为圆，则，"=4

C.若该曲线为桶圆，则其焦点可以在X轴上，也可以在)，轴上

D.若该曲线为双曲线，且焦点在y轴上，则me(-8,-3)

K答案，B

K解析，

"羊解Il根据双曲线的标准方程结合条件可判断AD,根据圆及椭圆的方程结合曲线方程可判断BC.

+3>O1

R详析力对于A,若该曲线为双曲线，且焦点在X轴上，贝NCC，解得加>3，故A正确;

2∕n-l>02

对于B,若该曲线为圆，则m+3=l-2m>0,即m二-2,故B错误；

3

21

对于C,由机+3>1—2租>(),可得——<m<一,此时该曲线为椭圆，且焦点在X轴上；

32

2

由1-2加>加+3>O,可得一3<加<一§,此时该曲线为椭圆，且焦点在y轴上；故C正确;

∕∏+3<O

对于D,该曲线为双曲线，且焦点在y轴上，贝,解得加<一3,故D正确.

2m-∖<Q

故选：B.

K答案》A

K解析U

R祥解》根据函数的奇偶性和符号判断.

X+1厂+1(r)+1X÷1

.∙./(Λ)是奇函数；

令g(x)=2x+sinx'则有g'(x)=2+cosx>0,g(x)是增函数,

当x>0时，g(x)>g⑼=0,即/(x)>0；

故选：A.

10.如图是旌湖边上常见的设施，从两个高为1米的悬柱上放置一根均匀铁链，让其自然下垂轻触地面(视

为相切)形成的曲线称为悬链线(又称最速降线).建立恰当的直角坐标系后，其方程可以是

y=∣(e'+e-jr+φ那么两悬柱间的距离大致为()(可能会用到的数据缜25°3.49,elj5≈3.86)

A.2.5米B.2.6米C.2.8米D.2.9米

K答案，B

K解析，

K祥解11根据条件建立直角坐标系，可得y=∕(x)=g(e*+e7-2),根据条件结合参考数据可得

1.25<x0<1.35,进而即得.

K详析?因为y=/(x)=g(e'+e-，+f),f(-x')=^(ex+ex+t)=f(x),

所以函数为偶函数，如图建立直角坐标系，

则X=O时，y=0,所以;(2+r)=0,即/=—2,

所以y=/(Λ)=l(ex+e-i-2),

由题可设A(X°/)，/(Λ0)=1,

又/(1.25)=；(y5+er3_2)<1,/(1.35)=∣(el35+e^l∙35-2)>l,

由题可知x>0时函数单调递增，

所以1.25</<1.35,2.5<2x0<2.7,

所以两悬柱间的距离大致为2.6米.

故选：B.

II.已知奇函数/O)的定义域为R,其图象是一条连续不断的曲线.若∕∙(-2)=∕(l)≠0,则函数/(χ)在区

间(-2,2)内的零点个数至少为()

A.IB.2C.3D.4

K答案UC

K解析D

K祥解Il根据奇函数/(X)的定义域为R可得/(O)=O，由/(—2)=/⑴≠0和奇函数的性质可得

/(2)/(1)<0^/(-2)/(-1)<0,利用零点的存在性定理即可得出结果.

K详析》奇函数/(X)的定义域为R,其图象为一条连续不断的曲线，

得了(0)=0,由/(—2)=/(1)≠0得-/(2)=/(D≠0,

所以/(2)/(1)<0,故函数在(1,2)之间至少存在一个零点，

由奇函数的性质可知函数在(-2,-1)之间至少存在一个零点，

所以函数在(-2,2)之间至少存在3个零点.

故选：C

12.已知a、b、C是正实数，且e?"-2e"+''+e"c=0，贝∣J〃、b、C的大小关系不可能为()

A.a=b=CB.a>h>cC.b>c>aD.b>a>c

K答案HD

工解析H

R祥解》根据指数函数的性质结合条件逐项分析即得.

K详析H因为e?〃一2e"+"+e%'=0,八氏C是正实数，

所以e2°—ea+b+eb+c-ea+b=e"(ea-eft)+eh(ec-eo)=0,eβ>l,efc>l,er>1,

对于A,若α=b=c,则e"-e"=e'-e"=0,满足题意；

对于B,若a>b>c,则e"-3>O,e'-e"<0,满足题意；

对于C,若b>c>a,则e"-e"<O,e'-e">0,满足题意；

对于D,若b>α>c,则e"—e"<0,e'-e"<0,不满足题意.

故选：D.

第∏卷(非选择题共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、

23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将K答案D填在答题卡上.

13.设函数〃力=,；：KjT)"<1,则/[/(O)]=.

R答案，2

K解析》

K样解》将O代入函数K解析』式，根据分段函数的K解析』式计算结果.

K详析』由题，因为/(0)=1+嘎22=2,

所以["0)]="2)=22T=2,

故K答案H为：2.

14.已知°,A是单位向量，且a∙∕j=O,若C=九?+(1-2)/j,那么当C-L(a-b)时，4=.

R答案Xɪ##0.5

K解析H

K祥解力根据4,。是单位向量，且4为=0设向量4,〃的坐标，进而表示出C的坐标，由C，(a一4列

出方程，解出；L的值.

K详析Il因为a，8是单位向量，且a∙8=0,设a=(l,O),h=(0,l),

由C=/Ia+(1—(Z)Z?得C=(Zl—%),

当c_L(Q-/?)时，c∙(a-h)=(∕l,l-2)∙(1,-1)=24—1=0,

得；ι=L

2

故K答案』为：ɪ.

15.已知函数/(x)=sin(3x+0)(0>0,I同)的部分图象如图所示，则/(x)=.

R答案，Sinl2x+：J

K解析H

TT

R祥解Il由函数图象得函数的最小正周期，求得。，再由函数在X=一时取最大值，求得9,得函数K解

8

析』式.

12ππ（π）

R详析H由函数图象得ZX同=§一［一§｝因为。＞（），所以。=2,

TT1LJI

又由图象知当X=一时函数取最大值，所以2x—+9=—+2E,keZ,

882

因为阀＜］，所以e=：，所以f（x）=sin（2x+：）.

故K答案』为：Sin［2无+；）.

16.如图，矩形48Cf）中，AC是对角线，设∕8AC=α,已知正方形5ι和正方形S2分别内接于RtAACD和

正方形Sl的周长

RtΔABC,则的取值范围为

正方形S?的周长

K解析，

R祥解11设两个正方形边长分别为。，。，用。，。表示AC建立方程，将两个三角形的周长比表示为a的

三角函数，求取值范围.

K详析员设两个正方形S∣,邑边长分别为“，b,

则在ACD中，有AC=--——bα+αtan0,

tana

bb,abb

在RJ4BC中，有AC=-----+--,--所--以------∖-a+atana-------1-----

SinaCosatanasinacosa

11

λ---------1---------.

c,,,tt1..,,,ttl...I.4。SinaCC)qasina+cosa

Sl的周长与S,的周长比为-T=SInaCOSC=--------------------

4"tanα+!+l1+sιnσc0sa

tana

设f=sine+cosa=y∣2Sin(O+—),

4

因为aOq,所以f=V5sin(a+：)e(l,V^],

sina+cosa_t_2/_2

则l+sinacosat2-1t2+1-1，

1+------1+—

2

1∖(d/zɔSina+cosa22√2ɔ

因为y=r+∙L在(1,、历］上单调递增，所以r+-∈2,得一:~~:-----=~re

1+sin<2cosaZ-H—13)

所以周长比为

2√2、

故R答案』为:,

~r/"

In点石成金IU注意到(Sina+cosa)-=1+2SinaCoSa的关系，换元用/=sinα+coso表示SinaCos。，

注意换元后新未知数的取值范围.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

,、S

17.已知等差数列｛4｝的首项为1,公差dWO,前〃项和为S“，且寸为常数.

(1)求数列｛a,,｝的通项公式；

(2)若a=2"T∙α,,,求数列｛0,｝的前〃项和北.

K答案，(1)all=2n-l

n+,,

(2)Tn=n.2'-3.2+3

R解析H

SS

"羊解》(I)根据条件知WL1=不1，据此求出4；

(2)运用错位相减法求和

K小问1详析』

Sl=S]a,a+a1_2+d

由题意知:即——l2

^2^4+a2ai+a2+ai+a42+厂4+6d

化简得：d(d—2)=0,d≠Q,.'.d—2,a“=l+2(〃-1)=2〃—1；

成立•

经检验,q

2

S2n4n

K小问2详析』

由(1)知：2=(2〃一1卜2'1,7；=1+3X2+5X2?+7x23+∙..+(2“一1卜2'1…①,

27；,=2+3×22+5×23+7×24+∙+(2〃—1卜2”…②，

①-②得：

-7；,=l+2×2+2×22+2×23++2×2π^l-(2n-l).2z,=l2×2χ(2∏-I).2,,

+1-2

=-n∙2"+'+3∙2"-3，

.∙.T;=〃・2"M—3・2”+3；

综上，%=1+2("-1)=2〃—1,7；=小2田一3・2"+3.

hcosB+1

18.在AABC中，边a、b、C对应角分别为A、B、C,且一=

aʌ/ɜsinA

(1)求角3的大小；

(2)从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知条件，使得AABC存在且唯一，求AC边上的高.

条件①：cosA=——，h=l；

3

条件②：b=2,c=2√3;

条件③：α=3,c=1.

注：若选多个条件分别作答，则按第一个解答给分.

TT

K答案，(1)-

3

(2)R答案H见K解析H

R解析』

"羊解II(I)利用正弦定理边化角，然后整理计算可得K答案1；

(2)若选择条件①：由三角形的三角一边可得aABC唯一确定，再利用正弦定理计算求K答案X；若选择

条件②：根据正弦定理计算得SinC>1,得到AABC不存在；若选择条件③：由三角形的两边及其夹角确

定可得aABC存在且唯一，再利用正弦定理计算求K答案》.

K小问1详析》

sinBcosB+1

由正弦定理边化角得京7,

.∙.sinθ=cosB+1>得Sin（B一弓）=；，

Cπ_π5π

0<Brl<π,:.——<B——<——，

666

K小问2详析》

若选择条件①：CoSA=Yb=l,B=^,

33

.∙.O<A<ɪ,.∙,sinA=近■>

23

则AABC中NA,NB,NC均唯一确定，乂b=T,则AABC存且唯一,

_c_b_1_2

由正弦定理SinAsinCsinBs∣nλ∕3

、3

.∙,.2sinλ2X76=272；

√3√333

若选择条件②：b=2,c=2√3-8=方

由正弦定理」b得SinC=X=空X立=2>1,

sinCsinBb222

Z∖A8C不存在;

若选择条件③：a—3,c—2,B=

TT

由α=3,c=2,8=§可得△?!BC存在且唯一，

由余弦定理b"—a"+c?—2QCCOS5=9+4—2×3×2×-=7,则b=,

品得SmC=T2√3√3

由正弦定理一ʒ:

SinC

•••AC边上的高为αsinC=3χg=主巨；

√77

19.买盲盒是当下年轻人的潮流之一，每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、

影视作品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性，

某礼品店2022年1月到8月售出的盲盒数量及利润情况的相关数据如下表所示：

月份/月12345678

月销售量/百个45678101113

月利润/千元4.14.64.95.76.78.08.49.6

(1)求出月利润y(千元)关于月销售量X(百个)的回归方程(精确到0∙01);

(2)2022年“一诊”考试结束后，某班数学老师购买了装有“五年高考三年模拟”和“教材全解”玩偶的

两款盲盒各3个，从中随机选出3个作为礼物赠送给同学，求3个盲盒中装有“五年高考三年模拟”玩偶的

个数至少为2个的概率.

参考公式：回归方程y=a+bx中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：

∑(-v,∙-jt)(x∙->')∑⅜x∙-^>,

…“∙T———,⅛=y-⅛L

IXXi-X)-nx

Z=IZ=I

88

参考数据：E>,2=580,459.5.

Z=IZ=I

K答案H(1)y=L38+0.64x

⑵?

R解析】

"羊解D(1)将表格数据代入公式，计算回归方程；

(2)列举从6个盲盒中抽取3个的所有结果，由所有基本事件个数和“五年高考三年模拟”玩偶个数至少

为2个的基本事件个数，求得概率.

R小问1详析』

-1

由题，X=WX(4+5+6+7+8+10+11+13)=8,

=-×(4.1+4.6+4.9+5.7+6.7+8.0+8.4+9.6)=6.5,

y8

8___8_2

所以ZXjyj-8x.y=459.5-8x8x6.5=43.5,Ex；-Sx=580-8×82=68,

i=∖i=l

435

b=--≈0.64tz=6.5-0.64×8=1.38,

Oof

所以回归方程为y=1.38+0.64x∙

K小问2详析》

记装有“五年高考三年模拟”玩偶的3个盲盒为％,生，。3，

记装有“教材全解”玩偶的3个盲盒为白，b2,b3,

从中选出3个，共有：(αl,α2,α,),(ai,a2,bi),(即生也)，(a1,¾,⅛),

(α∣,g,4),(4，火也)，(如生也)，(4,4也)，(4力也)，(《,也也)，

(a2,α3,Z>l),(a2,a3,b2),(¾,oj,⅛),(外,伪也)，(出,乙也)，(&也也)，

3,4也)，(a3,bi,b3),(%也也)，(伪也,4)共20个基本事件，

其中，“五年高考三年模拟”玩偶个数至少为2个的基本事件有10个，

故所求事件发生的概率P=W=_L.

202

20.已知函数=g%3.aX(CI>0)

(1)求函数/Cr)的极值；

(2)当”>1时，记/(x)在区间《一1,2》的最大值为M,最小值为办己知M+me(g,∙∣).设/(x)

的三个零点为XI,X2,X3,求/(χX2+X2■λ⅛+Λ⅛Λi)的取值范围.

K答案U(1)极大值为一/H---Cl2,极小值为-------Cl;

6262

⑵125,一曲

K解析》

K祥解H(I)求导，根据单调性得到当X=时取得极大值，X=I时取得极小值，然后代入求极值即可;

⑵根据/(x)在［T2］上的单调性得到〃，m,然后列不等式得到。的范围，令/(χ)=0,结合韦达

定理得到£玉=-3a,x2=0,最后根据“的范围求/(—3a)的范围即可.

R小问1详析H

/'(X)=X2+(a-l)x—a=(X-I)(X+a),

令∕qx)>0,解得。或x>l,令/'(x)<0,解得一α<x<l,

所以/(x)在(-8,-α),(1,M)上单调递增，在(一。,1)上单调递减,

当尤=~a时取得极大值，力及大值=f——/H—Ω3—a^+a2=-∏3H—a^,

、32262

当X=I时取得极小值,为小值==，

所以/(χ)的极大值为极小值为一！—_1_&

6262

K小问2详析』

因为α>l,所以/(x)在(一1,1)上单调递减，(1,2)上单调递增，/〃=/(1)=—t一3。,

3592-23S

因为〃一1)=5八"2)=----2a<-,所以朋=/(-1)=-∏--

3326

113

—<---------aH——a--<-,解得0<ɑ<°,

36226333

令/(x)=X∣x2+ɪ(tz-l)x-α

xl<x2<xi,=C),所以=O,ɪɜɪj=-3。，

/(玉々+%2左3+∕X∣)=/(-3«)=

22

Qa/45、OQf40

3

y=-cι'—/在一,一上单调递减，当—a—ci'∈-25,-----

22\33/2213

ΛA

所以/(XIX2+W3+七I)的取值范围为1-25,-岑).

21.已知函数/(x)=J］，x∈(0,+∞).

(1)判断函数/(χ)的单调性；

(2)证明：—<∕(x)<l.

e+1

K答案U(1)/(X)在(0,+8)上单调递减，理由见K解析』;

(2)证明见K解析》.

K解析H

K祥解Il(I)求出函数的导数，构造函数“。)=(1一力6‘一1(%>0)利用导数判断函数的单调性，从而判

断原函数导数的正负，进而即得；

1Y

(2)将不等式转化为F—<-一<1,然后构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而证明不等式.

e+1e-1

R小问1详析』

函数在给定区间内单调递减，理由如下：

因为函数/(X)=J],xe(0,+°o),

所以r(x)=J(X>O),

(e-O

设“(%)=(I-X)e'-l(x>O),贝!]∕(x)=-xe*<O,

所以U(X)在区间(0,+∞)上单调递减,

故M(X)<u(0)=O,即∕,(x)<O,

所以函数f(χ)在区间(0,+8)上单调递减；

R小问2详析)

---<∕(Λ)<1<≠>—J—<X<1,x∈(0,+∞),

ev+l八7e'+lev-l',

先证x∈(0,÷w)时，-^-<1,即e*-χ-l>O,

设g(x)=e*-x-l,x∈(0,+∞),则炉(X)=e*-l>e°-l=O,

所以g(x)在区间(0,+∞)上单调递增，

所以g(x)>g(O)=O,BP∕(x)<l:

再证x∈(0,÷w)时，J]</(尤),即(X-I)e'+x+l>O,

设〃(X)=(X-I)e*+x+l(x>0),贝Ij(X)=Xe'+1>O,

所以h(x)在(0,+∞)上单调递增，

所以〃(X)>〃(0)=0,

所以一7½<∕(x);

e+1

综上，-7½<∕(-^)<l∙

e+1

Kr点石成金口方法『点石成金］：利用导数证明不等式问题，方法如下：

(I)直接构造函数法：证明不等式〃χ)>g(χ)(或/(%)<g(χ))转化为证明〃x)-g(x)>O(或

/(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数〃(X)=/(ɪ)-g(ɪ):

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

请考生在22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第

一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22.在平面直角坐标系中，曲线G的方程为(尤-jʧ=:!,曲线C2的参数方程为GC

为参数)，直线/过原点。且与曲线G交于A、B两点，点P在曲线C2上且。P_LA8.以。为极点，X轴正

半轴为极轴建立极坐标系.

(1)写出曲线G的极坐标方程并证明IQ4∣∙IO用为常数；

(2)若直线/平分曲线Ci,求△/¾B的面积.

K答案D(I)22-2PCoSe-2√⅛sinO+3=O,证明见K解析U

⑵2百

K解析D

K样解》(1)写出Cl的极坐标