2024年广东省高考数学一轮复习第2章第11讲：函数的零点与方程的解（附答案解析）

2024年广东省高考数学一轮复习第2章第11讲：函数的零

点与方程的解

【考试要求】1.理解函数的零点与方程的解的联系2理解函数零点存在定理，并能简单应用.

3.了解用二分法求方程的近似解.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.函数的零点与方程的解

(1)函数零点的概念

对于一般函数了=危)，我们把使於日J勺实数x叫做函数y=/(x)的零点.

(2)函数零点与方程实数解的关系

方程_/(x)=0有实数解-函数y=/(x)有塞堂=函数y=/a)的图象与x轴有公共点.

(3)函数零点存在定理

如果函数>=兀0在区间［a,切上的图象是一条连续不断的曲线，且有血)血)<0,那么，函数

y=/(x)在区间鱼」冷内至少有一个零点，即存在cW(a,b),使得/(c)=0,这个e也就是方程

/(x)=0的解.

2.二分法

对于在区间［a,6］上图象连续不断且皿I幽的函数y=4x),通过不断地把它的零点所在区

间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

【常用结论】

1.若连续不断的函数次乃是定义域上的单调函数，则｛x)至多有一个零点.

2.连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(X)

(2)连续函数y=/(x)在区间仅，6)内有零点，则加)•加)<0.(X)

(3)函数>=心)为R上的单调函数，则｛X)有且仅有一个零点.(X)

(4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点.(V)

【教材改编题】

1.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()

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答案A

解析由图象可知，B,D选项中函数无零点，A,C选项中函数有零点，C选项中函数零点

两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A选项中函数零点可以用

二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点.

2.函数歹=3-lnx的零点所在区间是()

x

A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

答案B

解析因为函数的定义域为(0,+°°),且函数y=3在(0,+8)上单调递减；y=-]nx在(0,

x

+8)上单调递减，

所以函数y=3—lnx为定义在(0,+8)上的连续减函数，

x

又当x=2时，In2>0；

当x=3时，1—In3<0,

两函数值异号，

所以函数y=3—Inx的零点所在区间是(2,3).

X

3.函数/(工)=^+3%的零点个数是()

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析由，(x)=e'+3>0,所以兀0在R上单调递增，又八-1)=[一3<0,寅0)=1>0,因此

e

函数兀。有且只有一个零点.

■探究核心题型

题型一函数零点所在区间的判定

例1(1)函数/(x)=lnx+2x—6的零点所在的区间是()

A.(1,2)B.(2,3)

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C.(3,4)D.(4,5)

答案B

解析由题意得，./(x)=lnx+2x-6,在定义域内单调递增，

/(2)=ln2+4—6=出2-2<0,

./(3)=ln3+6—6=ln3>0,

则人2求3)<0,

二零点在区间(2,3)上.

延伸探究用二分法求函数/(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过

次二分后精确度达到0.1()

A.2B.3C.4D.5

答案C

解析•••开区间(2,3)的长度等于1,

每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，

经过〃次操作后，区间长度变为工，

2〃

故有解得"e4,

2"

,至少需要操作4次.

(2)(2023•蚌埠模拟)已知xi+2国=0,X2+logM2=0,3F—四加3=0，则()

A.X\<X2<X3B.X2<X\<X3

C.X\<X3<X2D.X2<X3<X\

答案A

解析设函数T(x)=x+2X,易知兀0在R上单调递增，

1)=—5丸0)=1，即人一I次0)<0,

由函数零点存在定理可知，一

设函数g(x)=x+log2X,

易知g(x)在(0,+8)上单调递增，pg(l)=l,

即£)g⑴VO,

由函数零点存在定理可知，LX2<1,

2

设函数/?(x)=@"—10g2X,

易知〃(x)在(0,+8)上单调递减，/z(l)=1,h(X3)=0,

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因为/J(1)>A(X3),

由函数单调性可知，X3>1,

即一1<X|<O<X2<1<X3.

思维升华确定函数零点所在区间的常用方法

(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y=/(x)在区间[a,0上的图象是否连续，再看是否有

&)•胆)<0.若有,则函数y=/(x)在区间(a,6)内必有零点.

(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.

跟踪训练1(1)(多选)函数/(x)=H—x—2在下列哪个区间内必有零点()

A.(~2,—1)B.(―1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

答案AD

解析-2)=1>0,/(-l)---KO,

e2e

A0)=-l<0,/l)=e-3<0,

7(2)=e2-4>0,

因为人一2)为一l)<0,Xl)7(2)<0,

所以兀0在(-2,一1)和(1,2)内存在零点.

(2)若a<b<c,则函数/(X)=(R—。)・(工-b)+(x—b)(x—c)+(x—c)(x—〃)的两个零点分别位于区

间()

A.(a,b)和(b,c)内

B.(—8,〃)和(a,b)内

C.(bic)和(c,+8)内

D.(—8,a)和(c,+8)内

答案A

解析函数y=/(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于av*c,贝《a—6<0,a—

c<0,b—c<0,因此J[a)=(q—b)(a—c)>0,大b)=(b—c)(b—a)<0,J(c)=(c—a)(c—b)>0.

所以/(〃)/S)<0,W(c)<o,

即人x)在区间(a,b)和区间(b,c)内各有一个零点.

题型二函数零点个数的判定

例2(1)若函数/㈤=卜|,则函数y=/(x)—log】R的零点个数是()

2

A.5B.4C.3D.2

答案D

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解析在同一平面直角坐标系中作出/(x)=|x|,g(x)=log］|x|的图象如图所示，则y=/(x)一

2

log］凶的零点个数，即/(X)与g(x)图象的交点个数，由图可知选D.

2

(2)已知在R上的函数/(x)满足对于任意实数x都有/(2+x)=/(2—x),/(7+x)=/(7—x),且在

区间［0,7］上只有x=l和x=3两个零点，则兀0=0在区间［0,2023］上根的个数为()

A.404B.405C.406D.203

答案C

解析因为./(2+x)=/(2—x),.危)关于直线x=2对称且y(5+x)=/(—x—l)；

因为负7+》)=火7—x),故可得｛5+x)=/(—x+9)；

故可得(—x+9),则加r)=/(x+10),

故人x)是以10为周期的函数.

又危)在区间［0,7］上只有x=1和x=3两个零点，

根据函数对称性可知，/(x)在一个周期［0/0］内也只有两个零点，

又区间［0,2023］内包含202个周期，

故/(x)在［0,2020］上的零点个数为202义2=404,

又危)在(2020,2023］上的零点个数与在(0,3］上的零点个数相同，有2个.

故於)在［0,2023］上有406个零点，

即/(x)=0在区间［0,2023］上有406个根.

思维升华求解函数零点个数的基本方法

(1)直接法：令大x)=0,方程有多少个解，则人劝有多少个零点；

(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；

(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点

个数.

跟踪训练2(1)(2022•泉州模拟)设定义域为R的函数Hx)=则关于x的

~x2—2x,xWO,

函数y=4(x)-3/(x)+l的零点的个数为()

A.3B.7C.5D.6

答案B

解析根据题意，令2产(工)-3/0+1=0,

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得/(x)=l或/(x)=Q.

作出y(x)的简图如图所示,

由图象可得当/(x)=l和时，

分别有3个和4个交点，

故关于x的函数y=2Ax)-3/仁)+1的零点的个数为7.

(2)函数4)=[36—x2，cosx的零点个数为.

答案6

解析令36一炉》0,解得一6WxW6,

.•成x)的定义域为[-6,6].

令./(x)=0得36—/=0或cosx=0,

由36—N=0得》=±6,

由cosx=0得x=匹+标，AGZ,

2

又xd[—6,6],的取值为一豆，

2222

故於)共有6个零点.

题型三函数零点的应用

命题点1根据零点个数求参数

例3(2023•黄冈模拟)函数=,xW2,g(x)=b—34,

若函数Hx)与g(x)的图

llog3(X—1),x>2,

象有三个交点，则实数”的取值范围为()

A.(2A/2-6,0)B.(2-^3-6,0)

C.(-2,0)D.(2A/5-6,0)

答案D

4—x2

解析作出函数｛》)=♦''的图象，如图所示,

Jog3(x—1),x>2

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设与y=4-x2相切的直线为I,

且切点为尸(XO,4一高)，

因为。=-2x,所以切线的斜率为"=-2x0,

则切线方程为y—4+x8=-2xo(x—xo),

因为g(x)=b—3A过定点(3,0),且在切线/上，

代入切线方程求得xo=3—4或xo=3+/(舍去)，

所以切线的斜率为左=2#—6,

因为函数O)与g(x)的图象有三个交点，

由图象知，实数力的取值范围为(2贴一6,0).

命题点2根据函数零点的范围求参数

例4(2023•北京模拟)已知函数/(x)=3,一比丝.若存在xoe(—8,

1),使得兀3=0,则

实数。的取值范围是()

BP胃

C.(一8,0)DE+T

答案B

解析由y(x)—y—1^ax—o,

可得a=y——,

Xx

令g(x)=3*—L其中xW(—8,—1),

x

由于存在xoW(—8,—1),使得/(xo)=O,

则实数”的取值范围即为函数g(x)在(一8,—1)上的值域.

由于函数y=3*,y=一1在区间(-8,一1)上均单调递增，

X

所以函数g(x)在(一8,—1)上单调递增.

当工£(—8,—1)时，

1_4

g(x)=3'--<g(-l)=31+1=彳，

x3

又g(x)=3"—L>0,

x

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所以函数g(x)在(一8,—1)上的值域为I0'3)

因此实数a的取值范围是D

思维升华根据函数零点的情况求参数的三种常用方法

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合

求解.

跟踪训练3(1)函数1x)=2*-2-a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()

X

A.0<(7<3B.1<a<3

C.\<a<2D.

答案A

7

解析因为函数y=2*y=-—在(0,+8)上单调递增，所以函数/)=2，-2一。在(0,+8)

xX

上单调递增,

0

由函数危)=2、_4一”的一个零点在区间(1,2)内得，Xl)X/(2)=(2-2-tz)(4-1-a)=(-a)

x

X(3-a)<0,解得0va<3.

Inx

---,x>0,

(2)(2023•唐山模拟)已知函数人工)=，x---------------若g(x)=/(x)一。有3个零点，则实数〃

x2+2x,-WO,

的取值范围为()

f-i,q

A.(-1,0)Blej

Fo,i][o,q

c.ejD.leju{-l}

答案B

解析设Mx)=^(x>0),

X

„,i,,/、1—Inx

则h'(x)=---,

X2

令(x)>0,得O〈x〈e,

令/?'(x)vO,得x>e,

所以函数〃(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减.

所以〃(X)max=〃(e)=L

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因为函数g(x)=/(x)-a有3个零点，

所以方程(0=〃有3个解.

作出函数y=/(x)和y=a的图象如图所示,

所以”的取值范围为1a

课时精练

应基础保分练

1.(2022•焦作模拟)设函数外)=2*+：的零点为xo,则xo所在的区间是()

A.(-4,-2)B.(-2,-1)

C.(1,2)D.(2,4)

答案B

1711

解析易知y(x)在R上单调递增且连续，_/(—2)=)—,0,7(—1)=鼻一]>0,所以x()e(—2,

-1).

2.用二分法研究函数/(x)=x5+8x3—1的零点时，第一次经过计算得/(0)<0,/。5)>0,则其

中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为()

A.(0,0.5),/(0.125)B.(0,0.5),,/(0.375)

C.(0.5,1),/0.75)D.(0,0.5),负0.25)

答案D

解析因为犬0求0.5)<0,

由函数零点存在定理知，零点回右(0,0.5),

10+0.5]

根据二分法，第二次应计算/〔2J,即人0.25).

3.函数兀0=,'、'的零点个数为()

log2X_3x+4,x>0

A.1B.2C.3D.4

答案C

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解析当xWO时，令/（x）=x2-2x-3=o,

得X=—l（x=3舍去），

当x>0时，令兀r）=O,得log2X=3x—4,

作出y=log2X与P=3x—4的图象，如图所示,

由图可知，y=log以与y=3x—4有两个交点，

所以当x>0时，加0=0有两个零点，

综上，鱼）有3个零点.

4.已知函数｛x）=log2（x+l）-l+机在区间（1,3］上有零点，则实数机的取值范围为（）

X

AH0］

r-oo,-q

B.l3ju（0,+8）

If—8,--5］

c.l31U（o,+8）

「54

D.L3J

答案D

解析由于函数y=log2（x+l）,y=加一］在区间（1,3］上单调递增，

X

所以函数/（X）在（1,3］上单调递增，

由于函数/（X）=log2（x+1）--+/H在区间（1,3］上有零点，

,pn<0,

则位“即加+5>。

加）20,卜+产，

解得一’WMVO.

3

因此，实数冽的取值范围是［常°）

0—x<0>

5.已知函数危）=,若函数g（x）=/（x）—用有三个零点，则实数用的取值

u+|x-l|,x20,

范围是（）

A.（1,2］B.（1,2）

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C.(0,1)D.[1,+°°)

答案A

解析因为函数g(x)=/(x)—m有三个零点，

所以函数./)的图象与直线y=w有三个不同的交点，

作出函数兀0的图象，如图所示，

由图可知，即机的取值范围是(1,2].

6.已知函数y(x)=x—4(x>0),g(x)=x+e\A(x)=x+lnx(x>0)的零点分别为x1，X2,X3,则()

A.X1<X2<X3B.X2<X1<X3

C.X2<X3<X\D.X3<X\<X2

答案c

解析函数Xx)=x—4。>0)，8打)=》+d,/?(》)=》+111》。>0)的零点，即为y=x与y=4(x>0),

y=—ev,y=-lnx(x>0)的交点的横坐标，

作出y=x与y=4(x>0),y=—ev,y=-lnx(x>0)的图象，如图所示.

可知X2<X3<X1.

7.(多选)函数y(x)=sinx+2|sinx|,xC[0,2树的图象与直线y=A的交点个数可能是()

A.1B.2C.4D.6

答案ABC

解析由题意知，

/(x)=sinx+2|sinx],[0,2TI],

3sinx,xG[0,it],

fix)=-

—sinx,xW(兀，2n],

在坐标系中画出函数加)的图象如图所示.

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由其图象知，直线y=左与y=/（x）的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.

8.（多选）（2023•南京模拟）在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般

不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔（L.E.J.Brouwer）,简单地讲，就是

对于满足一定条件的连续函数存在一个点xo,使得火xo）=xo,那么我们称该函数为“不

动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是（）

A.fix）=2x-\-xB.y（x）=x2—x—3

c.+iD.y（x）=|iog2x|-i

答案BCD

解析选项A,若兀⑹=X0,则2*。=0,该方程无解，

故该函数不是“不动点”函数；

选项B,若＞（xo）=xo,则就一2xo—3=0,

解得xo=3或刈=-1,故该函数是“不动点”函数；

।

选项C,若兀切=祝，则京+1=xo,

可得端―"3xo+1=0,且xoel,

解得x0=止故该函数是“不动点”函数；

2

选项D,若危0）=必,则|logMo|—l=xo,

BP|log2Xo|=xo+l,

由图可知，方程|logK|=x+l有实数根刈，

即存在XQ,使|log2X（）|—1=xo,

故该函数是“不动点”函数.

9.已知指数函数为兀0=41则函数y=加）一的零点为.

答案1

解析由/（工）-2/1=4，一2/|=0,得2气2"-2）=0,x=1.

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10.(2023•苏州质检)函数/(x)满足以下条件：①/(x)的定义域为R,其图象是一条连续不断的

曲线；②VxGR,«X)=;(-X)；③当XI，X2G(0,+8)且X|#X2时，/1)一人“2)>0；颁X)恰

X\—X2

有两个零点，请写出函数兀0的一个解析式.

答案/(x)=》2—1(答案不唯一)

解析因为VxdR,人x)=A—x),所以40是偶函数，

因为当X|,X2d(0,+8)且X|WX2时，曲)一火.)>0,

X\-X2

所以人X)在(0,+8)上单调递增，

因为Xx)恰有两个零点，

所以/(X)图象与x轴只有2个交点，

所以函数/(x)的一个解析式可以为./(x)=N-1(答案不唯一).

11.已知函数X>0>且关于x的方程/(x)+x—。=0有且只有一个实根，则实

y,启0,

数。的取值范围是.

答案(1,+8)

解析方程外)+x—。=0有且只有一个实根，即7(x)=—x+a有且只有一个实根，

即函数y=7(x)的图象与直线y=-x+“有且只有一个交点.

如图，在同一直角坐标系中分别作出》=%0与了=-x+a的图象，其中。表示直线y=-x+

由图可知，当aWl时，直线y=-x+a与y=/(x)有两个交点，

当a>l时，直线y=-x+a与y=/(x)只有一个交点.

故实数。的取值范围是(1,+8).

j2工一11.W1

12.已知函数/(1¥)=,''函数y=/(x)—Q有四个不同的零点为，X2，X3，X4，且

(X—2>，X>1,

2"+2叼

X1-，则-------=_________.

X3+x4

答案-

2

解析歹=/3)一。有四个不同的零点XI,X2,X3,X4,

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即方程/(x)=a有四个不同的解，

即y=/(x)的图象与直线y=a有四个交点•

在同一平面直角坐标系中分别作出y=/(x)与y=a的图象，如图所示,

2项+2»1

所以2为+2号=2,故勺十二二].

x3+x42

综合提升练

13.已知函数次x)=|e'—1|+1,若函数ga)=[/(x)]2+S—2)/(x)—2a有三个零点，则实数。的

取值范围是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

答案A

解析令，=/(x),则函数g(/)=/2+(a-2"-2a,由F+g—2)，-2。=0得，/=2或/=-a.

e',x20,

y(x)=|er—1|+I='''作出函数y(x)的图象，如图所示，由图可知，当f=2时，

2—^',x<0,

方程於尸⑹一1|+1=2有且仅有一个根，则方程小)=⑻一1|+1=-a必有两个不同的实数

根，此时由图可知，1<—a<2,即一2<av—1.

1

14.已知函数/(x)=-----sinx—1,—4兀,0)U(0,471],则函数,/a)的所有零点之和为