基于边界域的多粒度粗糙集及其相关度量

基于边界域的多粒度粗糙集及其相关度量粗糙集理论作为处理不确定性的重要数学工具之一,主要利用上下近似算子来描述未知知识的最大可能性和最小必然性.因此,在该理论的各种模型推广中,保留这些最基本的性质也是模型构造的重要目标之一.为此,本文尝试从首先给出不确定性边界出发,考虑了基于边界域的关系单粒度和覆盖单粒度粗糙集及其相关性质.在单粒度边界域粗糙集相关研究的基础上,讨论了基于边界域的不同类型多粒度粗糙集及其相关度量.主要研究成果和创新点如下:首先,提出了基于二元关系的边界算子,引进了基于该边界域的上下近似集合,讨论了它们的相应性质及其公理化特征,并与相同背景下的经典粗糙集进行了比较研究,探讨了二者之间的主要联系和区别,给出了它们之间完全等价的充要条件.由于二元关系和覆盖之间的紧密联系,同样首先引入了论域上一般覆盖下的边界算子.以它为基础,给出了相应的基于覆盖的上下近似算子.通过证明发现,这种先定义边界域的基于覆盖的粗糙集和Zakowski提出的一类覆盖粗糙集完全等价.同样地,深入讨论了它们之间相应的边界算子,上下近似算子及其性质和公理化特征.Bartol等人的研究表明,一个基于相容关系的粗糙集可以产生一类覆盖形式下的粗糙集.针对基于覆盖和二元关系的广义粗糙集,本文从边界域的角度也给出了它们之间的相关联系.即,边界域下基于任意二元关系的广义粗糙集等价于一个基于覆盖约简的广义粗糙集.同时,边界域下的基于覆盖的广义粗糙集等价于对应的基于相容关系的广义粗糙集.此外,借助边界域,也给出了基于二元关系和覆盖之间的广义粗糙集的公理化特征联系.对于这些单粒度粗糙集的不确定性度量,在已有度量方案的基础上,改进了当前知识粒度的公理化定义.基于边界域的方法,给出了一个具体的,更合理的知识粒度的表达式.无论是基于划分还是覆盖的近似空间,新的知识粒度都要比以往的度量更具广泛性和高效性.对单个对象集,为了区分相同边界时,上下近似集合对不同对象集产生的不同影响,引进了更为细致的内部和外部度量的一些相关刻画.其次,在单粒度粗糙集边界域方法的基础上,考虑了基于边界域的各种不同类型多粒度粗糙集及其相关性质.多粒度粗糙集主要分为乐观多粒度和悲观多粒度.该课题讨论了关系单粒度之间的交和并所形成的相应多粒度粗糙集,从而对乐观多粒度,悲观多粒度,交多粒度和并多粒度粗糙集及其性质给出了进一步的探讨.结果发现,交多粒度粗糙集比乐观多粒度粗糙集更为乐观,并多粒度粗糙集实际上对应于论域上的悲观多粒度粗糙集.因此,多粒度粗糙集可以分为三种,交多粒度粗糙集,并(悲观)多粒度粗糙集和乐观多粒度粗糙集.而且,交多粒度粗糙集和并多粒度粗糙集分别对应于论域上一个关系单粒度粗糙集.然而,乐观多粒度粗糙集一般不会对应于论域上任何关系单粒度粗糙集.因此,基于边界域的交多粒度和并多粒度粗糙集的相关性质完全类似于相应的关系单粒度粗糙集.而基于边界域的乐观多粒度粗糙集的性质却不对应于论域上任何关系单粒度粗糙集的性质.基于边界域的这些多粒度粗糙集具有共同的性质是,它们都保留了经典粗糙集最基本的一些性质,比如任何未知对象集总是介于其最大可能性与最小必然性之间.上述多粒度粗糙集作为单粒度粗糙集特殊的融合策略,这里也考虑了它们融合前后的性质功能等比较研究.此外,给出了基于边界域的这三类多粒度粗糙集与对应的原来三类多粒度粗糙集之间分别完全等价的充要条件.最后,在上述结论的基础上,回顾了粗糙集已有不确定性研究中的一些重要度量方法.对多粒度粗糙集,进一步比较了并,交,乐观,悲观多粒度粗糙集之间相互的本质区别与联系.值得注意的是,基于等价关系的并,交多粒度实质上具有一些本质上的不同.由于等价关系的交仍然是一个等价关系,但等价关系的并则不一定还是一个等价关系,至多是一个自反关系.因此,交多粒度粗糙集其实对应于一个经典的粗糙集模型,而并多粒度粗糙集对应的是基于自反关系的广义粗糙集模型.鉴于并多粒度粗糙集本质上是悲观多粒度粗糙集,从而一般在研究其结构性质时,实际上只需考虑交,悲观以及乐观多粒度粗糙集这三种模型.为探索它们的理论基础,给出了这三种多粒度粗糙集模型的公理化特征.对于多粒度粗糙集的不确定性度量,由于它本身即是一种融合机制,自然地,即有相关的信息熵,粗糙熵,知识粒度等度量结构.通过一些例子,分析了已有这些度量结构在多粒度近似空间中的优势和不足.其不足主要是偏序关系自身的局限性产生的.这种局限在刻画各种大量不同粒度的不确定性时尤为明显.为了克服这些不足,在多粒度近似空间中,引进了粒度之间的一种新的全序关系.在刻画隐藏在这些不同近似空间中的不确定性时,该全序关系明显优于原来的偏序关系.由于原来的不确定性度量方案不具有单调性,即使在该全序关系的基础上,在有些特殊情形,也并不能很好的区分和刻画其相关的不确定性本质.因此,提出了该全序关系基础上改进的信息熵,粗糙熵以及融合知识粒度的公理化定义等度量方