江苏专转本高等数学导数计算及应用例题加习题

第二章导数计算与应用

本章主要知识点

•导数定义

•复合函数求导，高阶导数，微分

•隐函数，参数方程求导

•导数应用

一、导数定义

函数丁=/(%)在》=/处导数定义为

1(/+/?)-/•(/)

/f(x)=lim

0h

A/+//)-ya。)

左导数=

“f0+h

右导数/：(%o)=lim/(Xo+)一/(X。)

h

导数/U)存在=/：(X0)，r(X0)有限且咒(Xo)=£(%)

分段点求导必须应用定义。

两个重要变形：

1,r(x0)=lim/⑴一)婚

f0X-XQ

2.若小。)存在,lim小。+曲＞&+叽=(时"口。)

/ifoh

例2.1.f'(l)=-2，求liir/"2仆—湎

h

解：lim'Q—2")-"(/+弘)=(_2_5)/(1)=14

用一。h

/(2x)

例2.2.若r(0)=2"(0)=0,求lim

0s]l-sin(3x)-1

解：lim/”2x)小/耍殴―的丝上幽」八0)二

5Jl-sin(3x)-lX」sin3x3x33

2

例2.3.求广(0)

2x-x,x<0

解：£(0)=Jim"0+0—1⑼=lim"”一°=1

h—>o+h/?—•o+h

.(O)=lim")+/"/(°)=Hm”心=2

20-h〃-。-h

九'(0)0/(0)所以尸(0)不存在.

例24/(%)=2，求/40)

2",x>0

解：/(%)=

2[<0

r/(0+A)-/(0)2h-\eh'n2-l/zln2

f,(0)=lim-.......J''=rhm------=hrm----------=lim-------=ltn2n

A—>0+h用―>0+h//—>o+ho+h

£(。)=1皿穴°+小/(°)=1而==-出2

Zzf0—hhfQ-h

所以尸(0)不存在。

“，”xsin—+sinx2,x^0,„,、

例2.5./(x)={x求/z(0)。

0,x=0

/zsin—+sinh21

解：/,(0)=lim----------------=limsin—=不存在

小。h2。h

所以/'(O)不存在

"(i-x)-y(i+3x)

,九<u

ln(l+x)

例2.6.如果/'⑴=2,分析函数/(x)=<0,x=0在x=0处的连续性。

/(l+x)_/(l-2x)

c7,-A->V/

e2x-11

解：/(0+0)==lim/(1+A)-^(1~2/z)=1(l-(-2))r(l)=|/(1)=3

f(l-^)-/(l+3/0

/(o-o)=lim那迎yf⑴7

/2->0ln(l+/i)

所以f<x>在x=0处不连续。

二、复合函数求导、高阶导数、微分

1.复合函数中的层次关系识别

正确识别复合函数构建的层次是快速准确求导复合函数的关键。下列通过几个例子

来说明复合函数层次识别问题。

sin(cos-)

例2.7.y=ex

由外与里y分为四层：efsinfcos——

x

例2.8.y=lnxsin2x

y分为一层：x

例2.9.y=sin3(sir?%—tan尤)

y分为三层：立方-sinx-—

例2.10.y=Jsin(ln(,2尤+1+x?)

y分为四层：-»sin->In->+

化分清层次的同时,要注意每一层符号下的变量是什么，不可混淆。

2、复合函数的求导原则

我们将求导的所谓“链式规则”等价转化为求导“口诀”：

”外与里；号变号；则用则；层间乘”。

例2.11.、=2)113工,求了，

解:y'=2xsgln2(xsin3x)'

=2gM3xin2Q'sin3x+x(sin3x)')

=2rsin3xln2(sin3x+xcos3x.3)

=2'sin3'In2(sin3x+3xcos3x)

例2.12.y=ea3aB(sin2，)，求y；

解丫,_^arctanfsinlx)2cos2x

：y-l+sin22x

例2.13.丁=&.『,求/；

例2.14.y=sin2(InJ2x+1+x?),求y'

解：y'=2sin(ln(V2x+l+%2))cos(ln(j2x+l+x2)),[------(—，?+2x)

V2X+1+X22y/2x+l

分段函数求导时，要切记对于分段点的导数要用定义。

例2.15.y（x）=<,求/'（%）

'）［4+羽%<0J、）

3%2+1,%>0

解：r（x）=<

—3/+1,%<0

(0)h^+h

力（。）=图二lim-----二11

h/z->0+h

“MT⑼-hi+h,

尸（0）=修=lim-------二1

hh^0-h

八0）=1,

3x2+1,x>0

综合得,/'(x)=1,x=0o

—3x~+1,x<0

例2.16.〃%)=2i，求/'(同

2-",x〉a

解：/(x)=1l,x-a

2a-\x<a

,12Fn2,x>a

f\x)=\

-2a-xln2,x<a

£，(、］.f(a+h)-f(a)2h-l

A(〃=lim-------------=lim------------=In2,

'7h^o+h。+h

"\f(a+h)-f(a)2^-1

/.(〃)=rlim----------------=lim-------------=-m2

'/hf。-h力一>。一h

所以/'(a)不存在。

.1.

x2sin—+sinx,%w0

例2.17.已知〃%)=<x

0冗=0

⑴求/'(%)；⑵研究/'(%)在x=0处的连续性。

11-1

解：(1)fr(x)=2xsin—+%2cos------+cosx,

XXX

/'(%)=2%sin--cos—+cosx(%w0)

/z2sin—+sinh

小)-〃叽lim

〃°)=罂h=l+lim/zsin—=1。

h/；->ohh—°h

〔2〕lim/'(%)=lim2xsin--limcos—+1

x—0')xf0九0JQ

不存在,

7=l-limcos—,

x-0、X

故/'(尤)在x=0处不连续，且为n类间断。

3.高阶导数与微分

(1〕高阶导数

几个常用公式

])(')_(-1)"«!

⑴I-/,\n+1

ax+b

[2)(sinx)”

(5)莱伯尼兹公式①)⑺=E>")V(T

1=0

例2.18.>=泥3,求y"(0)

2x2x

解：y'=e-+x(-2)e-

y'=e2x(l-2x)

yrr=-2e-x+(l-2x)e-2x(-2)

y"=e2x(-4+4%)

y"(0)=T

例2.19.y-x2eT,求y0°)

解：严）=I）

y（10）=xex+2Gxex+90—

1

例2.20.求再

了一（2x-l）（x+2）

1

解：y=

（2x-l）（x+2）

1（2x-l）-2（x+2）

­?,（2x-l）（x+2）

1

5x+252x-l

n

11⑺,a1（）1（-Ifn!2（-l）"n!

y⑺=।・2〃

5lx+251215（x+2-5（2x-l）n+l

例2.21.丁=111（2》+1）,求）"）

2

解：y=

2x+l

2（—1严/—l）!（_1厂2〃。-1）!

/）一,乙—，（在2）

（2x+l）n（2x+l）n

例2.22./（%）=cos?%,求/（5°）（0）

解：f（x）=cos2%=--c；s2”

/W（）=-1.2M-cosf2x+n7r

x=_2”Tcos2XH-----

~2I2

，（5。）（0）=_2,9cos（25»）=249

例2.23./（x）=sin5xcos2x，求（x）

解：/（sin7%+sin3%）

/(〃)(x)=g.7〃sin(7x+rur-^-3/2sinf3x+rur

~2~2

(2)一阶微分

定义：对于函数y=/(x),如果存在常数A,使得:

/(x0+Ax)=/(x0)+AAX+6>(AX)

则称/(x)在％=/处可微。

成立：/(x)在x=%0可导O可微，且办=r(Xo)dx。

dy=/'(x)公可作为微分求解公式。

例2.24.y=xsin2x,求力|冗

x=­2

解：y=sin2x+2xcos2x

=sin〃+〃cos7i--7i

dy=y,(j^)dx--7idx。

,.…sin2%47

例r2.25.y=-------，求力。

X

2%cos2x-sin2x2%cos2x-sin2x

解：y'=dy=dx

x2x2

・X2

2--三八

例2.26./(%)=<,xe2,龙〉0,求力k0

xsinx,x<0

解：力(0)=lim/(/Q-/(0)

h^0+h

h2

h2e2

=lim-------=0,

20*h

，(/①)一〃。)〃

ff_(c0\)=lVim=rlim---s-i-n-h-=0,

、7h^0~hh^0~h

故/(0)=0,所以4Lo=O•公=0。

例2.27.利用微分近似计算e°05。

解：令Ax=0.05,x()=0,/(x)=e",

则e°05=心。屋。+f'(x0)Ax0=l+lx0.05=1.05。

4、求导中若干特别问题

〔1)奇偶函数导数

结论：奇(偶)函数的导数为偶(奇)函数。

例2.28.fix)为奇函数,7'(—2)=5,/'(—5)=(5)。

例2.29.f<x>为可导函数，则〃x)-/(—X)的导数为(偶函数)。

(2)JlnlJ=—tfx

X

(ln(x+yjx2+a))，=/J

yjx2+a

〔3)/(x)=(x-«n(x—a)"1,("为奇)，在x=a导数最大阶数等于m+n-1.

例2.30./(x)=C?—2x—3)|(x—3)(x+l)3|导数最大阶数为(1阶)。

[4)(u(x)vM)'=(evlnM)'=u(x)vM(MIn〃+㈣)

u

例2.31.y=(sin%)二求y'

解：y'=(sinx)x(lnsin%+%cotx)

[5)符号型求导

例2.32.y=/(/(/)),求了。

解：y'^f'(f(x2))-f'(x2)-2x

三、隐函数、参数方法求导

1.隐函数求导

由方程方（无,y）=0确定的函数y=y（%）,隐函数求导可看成复合函数求导的特例。

例2.33.由xy2+ey+sin（3%+2y）=%确定隐函数y=y（%），求电。

dx

解：方程两边对犬求导得

y1+x-2yyf+e'y'+cos（3x+2y）（3+2yf）=1

,1-y2-3cos（3x+2y）

y-

2xy-\-ey+2cos（3x+2y）

例2.34.由方程sin（2x+y）+y2=1确定隐函数）=＞（x）,求

解：sin（2x+y）+y2=1

方程两边对x求导，得：cos（2x+y）（2+y'）+2W=。（*）

y'=-2cos（2x+y）,⑴式再对工求导，得：

2y+cos（2x+y）

-sin（2x+y）（2+y）2+cos（2x+y）-yn+2（/）2+2yy,r=0

〃sin（2x+y）（2+yr）2-2（/）24y2sin（2x+y）-4cos2（2x+y）

2y+cos（2x+y）[2j+cos（2x+

例2.35.已知y=y（x）由方程（y-De*+x*=2ex确定，求y'（0）.

解：将x=0代入（y—1）/+xe-P=2",得到y=3。

方程两端对X求导，得，(y—1)+y'e'++xexy(y+xy')=2e”,

2"-(y-盯*，仆2-2-1]

y=--------访千--------，y(0)=]-=-1。

2.参数方程求导

x=%⑺

问题：＜求电也

j=y(0dx，dx2'

dyE包、

dydt_yid2y(V)；

求导公式:==

2

dxdxx't'dxdxxt'

dtdt

4x=ln(l+r)dyd2y

例2.36.已知<求—,—•

y=t-arctan?dxdx~

,，1-----

dyJ=1+产J

解:

dxx't2t2

1+t2

dx2dx2t47

dt1+r2

例2.37.已知/='sm'+2，求半，并给出=工时丁=近幻的切线法线方程.

y=2+/cos^dxdx2

a碧

dy_y\__cos%—Isinld2y_力dx_产

解:

r23

dxxtsin^+^cos/dxdx(sinZ+^cosZ)

dt

71

斜率左=电「an%=必=3+2,为=山

~2,=£-2,

dxt二122

2

7T7T

切线方程为y—2=—](x—2)。

227t

法线斜率左=—,法线方程为：y-2=-(x---2)

71712

例2.38.已知y=y(x)由‘X1确定，求立。

[xt+ye'=1dx

解：将方程中尤,y分别看成为f的函数，分别对1求导得

2x3+2a+2=0

<dtdt

dxdy,_

t----1-x+et—+ey=0

、dtdt

解得：

dx_-te'+xy+y2e'dy_t~—x1-xye1

dtxe'-ty'dtxef-ty

22

ceH,dydyIdtt-x-xye'

所以==-----=----：--------T--o

dxdx!dt-te+xy+ye

四'导数应用

〔a）斜率和几何应用

1b）洛必达法则求极限

[c）函数单调性,凹凸性，极值与拐点，渐近线

[d）最大值，最小值与实际应用

[e）微分中值定理的应用

[f）证明不等式

1.斜率与几何应用

函数y=y（九）在x=/处导数y\x）为切线斜率左，即k=y'（x），过点的

切线方程为y—/（%）=/（%）（工一/）。法线方程为y—/（%）=—总二（x—x。）。

/（%）

例2.39.y=求过（1,1）的切线方程。

解：v=|«，左=v（i）=m

切线方程为y—l=：3（x-1）。

例2.40.过点（0,0）引抛物线y=l+x2的切线，求切线方程。

解：设切点为（如1+君）,因y'=2x,

左=,'(•%)=2%,

切线方程为y=2/%,

==

1+XQ2XgXg,XQ1,XQ=±1,

所以，切线方程为y=±2x。

例2.41.问函数y=，（x>0）哪一点

X

上的切线与直线y二X成60°角？

女］一女21-%2

解：设切线斜率为&<o,丁=%，占=1，tan(z=

1+左1左21+左2

解得：鼠=-y'y=-2土解得：x

x

2.洛必达法则

洛必达法则是导数对极限的应用，归结为求极限问题的题型六。它是求极限问题非常重要

的一个题型。

洛必达法则：若山11/（%）=0,111118（%）=0,且在4的邻域附近8。），8（；0可导。如果

x—>ax—>a

成立=则lim1^二A。

fg〈x）-g（x）

注：①洛必达法则处理的形式必须是未定式9,双。对于0・8,00-8等必须变形为

000

汇形式。

②洛必达法则是一个充分性的法则，若lim华^不存在，则说明此方法失效。

』g(%)

③洛必达法则只要前提正确，可重复使用。

④一般而言，洛必达法则和求极限题型五配合使用效果会更佳。

错误!注意其和连续，可导概念结合的综合题。

行cc「%-sinx

例2.42.lim---------------

%-。tan%sinx

x-sinx[.1-cosx1.21

解：原式=lim=lim-----；—=lim,=—

0x3%一。3x%一。3x6

例2.43.lim(----------)

x->oxe*—1

px—1—Yex—1—xex-lx1

解：原式已鸣曾=lim-——=hm——=一

ET2

x22xx2x2

例2.44.limx2Inx

x-»0+

Inx1Y2

解：原式：呼”=阴不=lim—=0

x—>o—2

例2.45.limxe~x

X—>00

x1

解：原式=lim==lim——-=0

28g'Xf82X(；'

例2.46.lim(二----

fxsinx

(sinx-x)(sinx+x)

解：原式=lim

x—>0x2si•n2x

_1%2

sin九一xsinx+x2.cosx-11

；=2lim-2--二

=lim3=21im------—

x—>0Xx%一。3x…3x3

例2.47.lim(--------------)

%-。xtanx

._ht,an2x—x2.t,an2x-x2

解：原式=hm----------=hm

xtanx3X4

tanx-xtanx+xsec2x-12-tan2x2

=limlim二21im------T——=—lim——--

%fox3%fox。3x3一。x3

x+sinx

例2.48.lim

x-smx

解：由罗必塔法则源式=limL*H=不存在

fol-cos犬

这不说明原式不存在，仅说明洛必达法则对此题无效。

,sinx

1+------

原式二lim——\=1

X—>00sinx

x

例2.49.lim(l+xlnx)cscx

%fO+

J.

1nx

解：limlim——=lim告=lim(-x)=0

%fO+%fO+1%fO+—1%fO+

]Axlnxcscx

------limInx

原式=lim<(1+xlnx)x1nxI=ex^°+=0

xfo+

例2.50.lim%]

x->0+

tlimxlnx八

解：原式=山11/皿=65+=e°=l

.v->0+

例2.51.lim@*

%”X

解：原式=lim=lim(/3)'=lim^(Inx+l)=oo

%—>()+1x—>0+x—>0+

2MXHO

例2.52.设/(x)有二阶连续导数，且/(O)=O,g(x)=x'

J'(O)=O,x=O

证明：g(x)有一阶连续导数。

解：当Xw0时,g'(x)=对'⑴U(x),g，⑺在％w0处连续

以h),

g,(。)=lim皿他=1而「()=lim-W：

-oh—0h—0斤

一♦㈤—八0)CW)，'(0)

二lim-----------------=lim---------=---------

小。2h2。22因

limg'(x)=lim—)2~~~~——lim~~—~-lim~~~~—■~~~~

0.0x—>01hr。2x022

所以limg'(x)=g'(0)=，故g'(x)在=0处连续。

%一。2

综上所述g<x>有一阶连续导数。

3.函数单调性、凹凸性、极值、拐点与渐进性

a、单调性

如果/⑴>0,xe/则f(x)在/上严格单调增加，尸(x)<0,xe7，则/(%)在I上严格

单调减少。

满足/'(x)=0的点称为驻点。

b、极大值，极小值

判别I:如果在x=%的附近，当x</，“X)单调增加，1>/,/(%)单调减少，则

f(x)在尤=X。取得极大值，反之取极小值。

判别II：如果/(%)在X=X。邻域存在两阶导数，且尸'(不)〉0取极小值，尸'(％)<0取

极大值。

极值点可能出现在驻点或导数不存在的点上。

C、凹凸法

f“(x)在/上存在，如果/〃(%)>0,xe/,则/(%)在/上向上凹；/"(无)<0,尤e/,则

/(x)在/上向上凸。

d、拐点

凹凸性发生改变的界点称为拐点。它可能出现在/〃(x)=0的点或/〃(x)不存在的

点。

e、渐进线

如果limf(x)=A,则y=A为y=/(%)的水平渐近线；如果lim/(x)=8,则x=a

为y=/(x)的垂直渐近线。

有了以上的准备知识，分析函数的单调性，凹凸性，极值，拐点，的问题流程为

（1）求定义域，渐近线；

（2）计算y',/；

（3）求y'=O,y'=O的点和找出使y',y"不存在的点，设为玉,々,…,天；

（4）列表分析；

（5）结论。

例3.53.分析函数〉=配一"的单调性,凹凸性，极值，拐点与渐近线。

解：(1)定义域为xeH,

X1

渐近线：因limxe~x=lim——=lim——二0

Xf+00X—>-K»0%X—>+X>/

、=0,即左轴为水平渐近线

[2)=(1-x)e~x

y"=-le-x+(1-x)(—De-*=(x—2)”工，由V=0得1=1,由y〃=0得％=2

⑶列表分析

X(-oo,l)i(1,2)2(2,+s)

y'+—

y"+

极大值拐点

y

Tn乂1）=/JnJ（2）=2e-2Ju

[4）y=%"工在（-oo,l）上单调上升向上凸,（1,2）上单调下降,向上凸,（2,+oo）上单调下降,

向上凸，（he-1）为极大值点，[2,2*2）为拐点。

14-T2

例2.54.分析y=——r的单调性,凹凸性，极值，拐点，与渐近线。

1-X

解：（1）定义域xw±L

1+J

因lim——7=-1,所以y=-l为水平渐近线。

X-口I—X

1+/

因lim——-=8,所以x=±1为垂直渐近线。

z±l1-X2

,_2x(1-x2)3*-(1+x2)(-2x)_4x

2>=(i-x2)2=(i-x2)5

_4(1一/)—4x.2(l—%2)(一2%)_4+12%2

(^4=F45

由V=0得X=O；当％=±1,1，胃不存在。

列表分析

X(-00,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+°0)

y—++

y"++

极小值

y拐点拐点

JnJuy(o)=iTn

2

1+Y

函数二^在(7,-1)上单调下降，向上凸；在(-1,0)单调下降晌上凹；

1x

(0,1)单调上升向上凹；(1,00)单调上升向上凸。｛0,1｝为极小值点,％=±1处为拐点。

例2.55.已知函数/(x)=alnx+bx2+x在％=1与％=2处有极值，试求a,Z?的值，并求

/(%)的拐点。

解:r(x)=q+2bx+l,题意知尸⑴=0,/'(2)=0,得：

。+26+1=0

'@+46+1=0

12

21

解得：a=—,b=—,

36

/"=—「+2人=白—；=0,解得x=土后(负号舍去)。

当0<x〈后，/(x)>0,向上凹，当x>五时,/〃(x)<0,向上凸,

故％=行为/(x)的拐点。

4.最大值、最小值与实际应用

将导数应用到实际问题的最大、最小或更广泛的最优问题的求解中是非常重要的考

点。是考查考生实际应用能力的一个很重要的知识点，它可能涉与到几何、物理学、经济

学等方面的内容。

分析问题的流程为：

11)适当假设求解变量X。

(2)函数关系y=y(x)确定；

(3)y'=0求解，交待y最大、最小的理由；

(4)合理分析。

注：第二步是整个问题的关键步骤,(3)中的理由部分可能是容易疏忽之处。

例2.56.〔几何问题〕半径为R的半圆内接梯形,

(1)何时面积最大？

(2)何时周长最长？

解：设上底长度为2x,即=

如图所示=Y,

图示2.2

〔1)S(x)=(2x+2R)』R?-尤2/2=(九+R)^R2-X2

S\x)=」R2+(x+R)2x=——x(x+R)

由S'(x)=O解得x=R/2(x=—H舍去)

D

因为％=—为唯一驻点，即为所求〔或S，(H/2)<0]

2

此时5„^=3氏近氏/2=2氏2

mdx24

⑵/(x)=2x+2R+2BC=2(x+R)+2^CF2+BF2

=2(%+R)+2西2__+(R_X)2

=2(尤+R)+2^2R2-2Rx

j.-2R2R

X—+202R2-2Rx——」2R2—2Rx'

由/'（x）=0得x=R/2。

因x=R/2为唯一驻点，即为所求（或/‘‘（夫/2）＜0）,

Max=2(1+R)+2,2玄_夫2=5R。

例2.57.〔几何问题）半径为R的圆板，剪下圆心角a围成一个圆锥漏斗，问a为何角度时,

使得漏斗的容积为最大？

解：设圆锥漏斗的下底半径为无，

2

V（x）=-SH=-mJ.2

33

22

V'（x）=-7r（2x^R-x+x2~2X）

3

1,-----------2

=-=XQJF—炉_r)

3

由V'(x)=O解得x=（负号舍去）

所以，符合题意的驻点是唯一的x=，gR,

即为所求1或V"（《R）＜0）,

图示2.4

例2.58.（几何问题）设计一个容积为V=16〃（n?）的立方

体的有盖圆锥贮油桶，已知单位面积造价：顶、侧面、底面为

1:2:3,问贮油桶的尺寸如何设计使造价最低？

解：设该圆柱形底面半径为厂，高为/1,

顶单位造价为/（元/平方米），

由"/人=丫,得丸===?,

兀丫r

总造价函数A/=7rr23l+Inrh-21+7ir2-I=4兀l(r?+—),

r

M，=4»/(2一与二0,

r

解得：r=2；唯一驻点，即为所求〔或M"⑵>0),

V

此时h-——-=4o

TIT

例2.59.已知某厂生产工件产品的成本为。(x)=25000+200x+，2〔元［，产品产量x

与价格P之间的关系：P(x)=440--%〔元)

20

求：(1)要使平均成本最小,应生产多少件产品？

12)当企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润？

解：(1)平均成本

方，、C(x)2500”八1

C(x)=------+200+—x

xx40

-,、25001八

C(zX)=-----H--------=0

%240

解得:X=1000(件)，因。”(1000)〉。

所以x=1000(件)，平均成本3(x)最小，盘n=300〔元/件)

⑵利润函数

1,1

Q(x)=尸(x)-C(x)=440x-—%2-25000-200x--x29

3,

=--x2+240x-25000,

40

Q'(x)=—£x+240=0得：x=1600(件)，

40

唯一驻点，即为所求,0^=1270001元)。

例2.60.一租赁公司有40套设备要出租。当租金每月每套200元时，该设备可以全部

租出；当租金每月每套增加10元时,租出的设备就会减少1套；而对于租出的设备，每

月需要花20元的修整费。问：租金定为多少时，该公司可获最大利润？

解：设每月每套租金定为(200+10。则租出设备总数为40%,每月的毛收入为

(200+10x)(40-x)；维护成本为(40-%>20,于是利润为

L(x)=(200+10x)(40—x)=7200+220x-10%2(0<x<40),

L'(x)=0=>%=11

比较£(11),£(0),£(40)处利润:£(11)>L(0)>£(40)；

所以,租金为(200+10x11)=310元时，利润最大。

5.罗尔定理、微分中值定理与其应用

Rolle定理：如果/(x)在(。/)可导，在［a,切上连续，且/(a)=/S),则存

在,使得尸0=0。

Lagrange中值定理：如果/(x)在(a,6)可导，在［a,切上连续,则存在Je(a,b),使得

例3.53.问下列函数哪个函数不满足拉格朗日中值定理条件：〔)

A)y=sinx,xe［一万,万］,B)y=x|x|,-l<x<1

C)y=A/X,-1<X<1,D［y=x2+1,-1<x<1

解：选择C,因为y=正在x=0处导数不存在。

例2.61已知/(x)=arctanx,xe［-1,1］Lagrange中值定理中的J。

解：/(D-/(-l)=2/©=工=

1+JVn

例2.62.证明/。)=犬—8x+a在［0,1］上不可能有两个零点.

X=

证明：反证法。如果在［0,1］上有两个零点西,々〈不妨设玉<%2>，即/(l)=/(.X2)0-

y(x)在满足定理条件，所以存在Je(0,1)时，3J2-8=0,故矛盾，原命题得证.

例2.62.设/(x)可导，求证/(x)的两个零点之间定有寸(刈+r(x)的零点.

证明：构造辅助函数E(x)=/(x)炭”.

设司为了(X)的两个互异零点，不妨假设玉<々，且/(^i)=/(x2)=0

所以尸(x)在值,9］上满足罗尔定理条件，故存在Jw(石,龙2)使得

尸0=40号+FC)e延=0。

所以/'e)+^e)=o,命题得证.

例2.63./(X)在也a］上二阶可导，/(a)=0,设尸(x)=(x—b)2/(x),证明：存在

、€(伍4),使得歹方修)=0.

证明：由于F(b)=0,F(a)=0且F(x)在［b,a］上二阶可导，所以F(x)在［b,a］满足罗尔

定理,故存在,e(b,a)使得F&)=0,k(x)=2(x-b)f(x)+(x-b)2f'(x)

知F'(b)=0。

现在考虑g(x)=〃(x),xeg,如,其在［仇哥满足罗尔定理条件，所以存在

4^(44)匚(仇0),使得尸〃4)=0。

例2.64.证明方程/+4%-3=0只有一个正根.

证明：［1)根的存在性

令f(x)=x4+4x-3,x^［0,1］,/(0)==2>0,由于/(幻在闭区间［0,1］上连

续，故由闭区间连续函数介值定理知，存在Je(0,1),使得/C)=0,

即，方程/。)=/+4*—3=0有正根.

⑵根的唯一性

应用反证法。设有两个不同根石,々，(玉<%2)，则/(%)=犬+4%-3在［再,％2］上满足

罗尔定理条件，所以，存在Je(%,%)，使得/'4)=4(f+4=0,这不可能，故矛盾,所以根

是唯一的。

综合原命题成立。

例2.65.证明：方程sinx=x有且仅有一实根。

证明：x=0是方程的一个根。

对Ix|>1,方程无根，只要考虑%e［-1,1］,4

/(%)=sinx-x,/(0)=0,/'=cosx-l,当xe|-l,0)时,/'(x)>0,/(%)严格单调上

升,7(x)<0,当xe(0,1］时,_f(x)>0,f(x)严格单调上升,/(x)>0，总之，方程仅有一实

根0。

注：注意上述两例的区别。

例2.66.设函数/(%)在(0,c)上具有严格单调递减的导数/'(%),/(%)在兀=0处连续且

/(0)=0,试证：对于满足不等式0<a<Z?<a+〃<c的a力均有下式成立：

f(a)+f(b)>f(a+b).

证明：/(x)在［0,a］上满足拉格朗日的定理条件，故存在5e(0,a)使得

/(a)-/(0)=/^)a,

由/(0)=0,所以7•(a)=r©)a；

/(x)在(仇a+3上满足拉格朗日的中值定理条件,故存在5G(b,a+b)使得

/(«+b)-f(b)=/©)(a+b-b)=/(殳)a

由于《<a<6<$,而/'(x)是单调下降的函数，故/'&)>f'&)；

所以/(口+与―/3)</(«)成立，即/(a+b)</(a)+/(b),原命题得证。

例2.67./⑴在［0,a］上连续，且(0,。)内可导,/(a)=0。

证明：存在Je(0,a),使得/©+犷©=0。

证明：构造F(x)=xf(x),xG(0,61),

F(x)在(0,a)上可导,［。,a］上连续，且F(0)=0,F(a)=af(a)=0,

故F(x)在［0,a\上满足罗尔定理,故存在。e(0,«)，使得

尸'©=步'©+/©=0,

即原命题得证。

例2.68.设/(x),g(x)在上存在二阶导

数,g\x)丰0,/(«)=f(b)=g(a)=g(b)=0,证明:存在自e(a,b)使/经=

g(J)g©

证明：构造p(x)=/(x)g'(x)-/'(x)g(x),由条件