2021版新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

第2讲充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

QQ知识，®6回顾理教初•夯实必备如択.

一、知识梳理

i.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p0q,则〃是”的充分条件,°是〃的必要条件

p是q的充分不必要条件p0q且q*p

p是q的必要不充分条件p*q且q=p

p是q的充要条件p0q

p是q的既不充分也不必要条件且*p

I注意］不能将“若p,则q”与“p=q”混为一谈，只有“若p,贝觴”为真命题时,

才有才有q",即“p=q”才“若p,则q”为真命题.

2.全称命题和特称命题

(1)全称量词和存在量词

量词名称常见量词符号表示

全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等V

存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等3

(2)全称命题和特称命题

名称

全称命题特称命题

形

结构对M中任意一个x,有p(x)成立存在M中的一个年,使p(%)成立

简记XxRM、p(x)3-r(|eM,p(%)

否定勺xRM,—'pM

常用结论

1.从集合的角度理解充分条件与必要条件

若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即4={xlp(x)},B={x\q(x)},则关

于充分条件，必要条件又可以叙述为：

(1)若AU8,则p是g的充分条件；

(2)若AN8,则p是q的必要条件；

(3)若A=8,则p是g的充要条件；

(4)若4B,则p是q的充分不必要条件；

(5)若AB,则p是q的必要不充分条件；

(6)若4幺8且则p是q的既不充分也不必要条件.

2.全称命题与特称命题的否定

(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再

对量词进行改写.

(2)否定结论：对原命题的结论进行否定.

二、教材衍化

1.”(x—l)(x+2)=0"是“x=l”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选B.若x=l,则(x-l)(x+2)=0显然成立，但反之不成立，即若(x-l)(x+2)

=0,则x的值也可能为-2.故选B.

2.命题“m/WR,log/o+2<0"的否定是.

答案：VxSR,log9x+2^0

曙善懸注喳>

一、思考辨析

判断正误(正确的打“J”，错误的打“义”)

(1)当4是p的必要条件时，p是4的充分条件.()

(2)g不是p的必要条件时，“p*q”成立.()

(3)写特称命题的否定时♦，存在量词变为全称量词.()

(4)BxoeM,p(%)与VxWM,—'p(x)的真假性相反.()

答案：(1)J(2)7(3)。(4)7

二、易错纠偏

常见।

、口」(1)全称命题或特称命题的否定出错；

误区

(2)对充分必要条件判断错误.

1.命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是.

答案：存在两个全等三角形的面积不相等

2.设xGR,则“2—x20”是“(x—1)2W1”的条件.

答案：必要不充分

》彰曲素养，⑥。提升明考向•直市考例考法.

考点一全称命题与特称命题(基础型)

复习।

山口1理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

指导

核心素养：数学抽象

2

1.（2020・西安模拟）命题“Vx>0,士>0”的否定是（)

Y

A.3x<0,----r^OB.3x>0,OWxWl

x—\

x

C.Vx>0,-r^OD.Vx<0,OWxWl

元一1

xX

解析：选B.因为有>。,所以或X”,所以口>°的否定是所以

命题的否定是三公>0,OWxWl,故选B.

2.下列命题中的假命题是（）

A.VxCR,ev>0B.VxSN,x2>0

兀

C.Bx0GR,lnx0<lD.Bx0GN*,sin/。=1

解析：选B.对于B.当x=O时，X2=O,因此B中命题是假命题.

3.已知命题p：5mGR,段）=2\一,如是增函数，则“为（）

A.y（x）=2t—是减函数

B.VnjGR,於）=2<—mr是减函数

C../（x）=2r—n?x不是增函数

D.X/mGR,不是增函数

解析：选D.由特称命题的否定可得「。为貝x）=2、一〃?x不是增函数”.

4.（2020•宁夏石嘴山期中）若命题“三十氏〃一2£-4<0”是假命题，则实数a的取值

范围是•

解析：因为命题“m/CR,t2—2z—tz<0"为假命题，所以命题“W/eR,n—2/一aNO”

为真命题，所以/=（一2）2—4X1X（—a）=4a+4W0,即aW-l.

答案：（-8,—1]

曲閩歯

（1）全称命题与特称命题的否定

①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对

量词进行改写；

②否定结论：对原命题的结论进行否定.

（2）全称命题与特称命题真假的判断方法

命题名称真假判断方法一判断方法二

真所有对象使命题为真否定为假

全称命题

假存在一个对象使命题为假否定为真

真存在一个对象使命题为真否定为假

特称命题

假所有对象使命题为假否定为真

3

［提醒］因为命题P与T的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其

真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假.

考点二充分条件、必要条件的判断(基础型)

复习

“口I理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

指导

核心素养：逻辑推理

例11(1)(2020・烟台模拟)已知°,。都是实数，那么?>a>0”是"%'的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

(2)(2020•佛山模拟)已知p：x=2,<7：x-2=\j2-x,则p是q的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】(1)若丄>\,则丄厶">。.当0<a<b时，•成立；当a>0,b<0时，满足丄

x7ababababab

但0<a<b不成立.故》>a>0”是“另'的充分不必要条件，故选A.

(2)当x-2=d2-x时,两边平方可得(X-2)2=2-X,即。一2)(》-1)=0,解得/=2,

々=1.当x=l时，-1=W，不成立，故舍去，则x=2,所以p是q的充要条件，故选C.

【答案】(1)A(2)C

砲目骸

充分条件、必要条件的2种判断方法

(1)定义法：根据p=夕，进行判断.

(2)集合法：根据p,夕成立的对应的集合之间的包含关系进行判断.

［提醒］判断充要条件需注意3点

(1)要分清条件与结论分别是什么.

(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断.

(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明.

口考法金练

1.(2019・高考天津卷)设xWR,贝I"％2-5X<0”是“Lr-11<1”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选B.由X2—5x<0可得0<x<5.由Lr-u<l可得0<r<2.由于区间(0,2)是(0,5)的

真子集，故“X2—5x<0”是11<1"的必要而不充分条件.

2.(2020•安徽淮南二模)设2GR,则“4=一3”是“直线2入+(4—l)y=1与直线6x+

4

(1一Qy=4平行”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选A.当2=—3时，两条直线的方程分别为6x+4y+l=0,3x+2)，­2=0,此

时两条直线平行；

若直线2双+(2—1»=1与直线6x+(l—»)，=4平行，则22X(1—»=—6(1一%),所以2

=-3或4=1,经检验，两者均符合.

综上，'：=—3”是“直线2厶+(4—1))，=1与直线6x+(l—2))，=4平行”的充分不必要

条件，故选A.

考点三充分条件、必要条件的探求及应用(综合型)

复习指导।寻求充分、必要条件的思路

(1)寻求q的充分条件p,即求使q成立的条件p;

(2)寻求q的必要条件p,即求使q为条件可推出的结论p.

例2已知条件p：集合尸={xlx2-8x—20W0},条件q：非空集合S={xll-〃?WxWl

+“}.若p是q的必要条件，求机的取值范围.

【解】由X2—8x—20W0,得一2WxW10,

所以P={xL2WxW10},

由0是令的必要条件，知SGP.

1—加,

则<1—〃?》一2,所以0<m这3.

」+mW10,

所以当时，p是q的必要条件，

即所求〃?的取值范围是[0,3].

【迁移探究】(变结论)若本例条件不变，问是否存在实数优，使〃是q的充要条件.

解：若p是q的充要条件，则2=3,

1—m=-2,机=3,

所以，所以＜

1+m=10,771=9,

即不存在实数优，使「是夕的充要条件.

初悶的

根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项

(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然

后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.

(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间

的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出

5

现漏解或增解的现象.

1.命题“VxC[l,3],%2-aWO”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.心9B.aW9

C.心10D.aW10

解析：选C.命题3],K-nWO"㈡“Vxe[l,3],mWa"O9W4则a,10

是命题“VxW[l,3],%2—aWO”为真命题的一个充分不必要条件.故选C.

2.若“X2—X—6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为.

解析：由k一工一6>0,解得xv—2或工>3.

因为“管一工一6>0”是的必要不充分条件，

所以是｛Hrv—2或x>3｝的真子集，即〃23,故。的最小值为3.

答案：3

,@頫演练，①信突破练好施•突破离分瓶颈.

[基础题组练]

1.（2020•安徽螂埠第一次敎学质量检査）命题p：存在常数列不是等比数列，则命题一'P

为（）

A.任意常数列不是等比数列

B.存在常数列是等比数列

C.任意常数列都是等比数列

D.不存在常数列是等比数列

解析：选C.因为特称命题的否定是全称命题，命题p:存在常数列不是等比数列的否

定命题,：任意常数列都是等比数列，故选C.

2.设U为全集，A,8是集合，则“存在集合C使得A=C,BUl’C”是“AC8=。”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选A.由4UC,易知AA8=0,但4nB=0时未必有AUC,BQ^C,

如图所示，

f

所以“存在集合。使得A&C,B^vC是“AA8=0”的充分不必要条件.

3.已知於）=sinx—x,命题p：纵於）<0,则（）

6

A.p是假命题，「p：Vx£（O,兀020

B.p是假命题，—ip：J,段）20

C.〃是真命题，「p：Vx&（0,J,«r）20

D.p是真命题，一1p：Bx^（0>5）,/（x）^0

所以«x）在（0,号上是减函数，因为犬0）=0,所

解析：选C.易知/(x)=cosx—l<0,

以式x）<0,所以命题p：3xG（0,5）,式x）<0是真命题，一>p:Vxsfo.5）,貝X）N0,故选C.

4.（2020•郑州模拟）设平面向量a,b,c均为非零向量，则“0（6—<?）=0"是“。=c”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选B.由〜=c,得》一c=0,得。仍一c）=0;反之不成立.故"a・S-c）=0"是

“b=c”的必要不充分条件.

5.（2020•宁莫银川一中模拟）王昌龄的《从军行》中两句诗为"黄沙百战穿金甲，不破

楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）

A.充分条件B.必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选B.“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，

故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件.故选B.

6.已知命题使2x^+（。-l）x°+gw0”是假命题，则实数a的取值范围是

（）

A.（-8,-1）B.（-1,3）

C.（-3,+8）D.（一3,1）

解析：选B.原命题的否定为VxCR,2x2+0-1）A+|>0,由题意知，其为真命题，则

△=（a—1）2—4X2Xy<0,则一2<a—1<2,她|—l<a<3.

7.（多选）已知a,b,c是实数，下列结论中正确的是（）

A.aai>b2n是“a>6”的充分条件

B.。2>历”是“a>b”的必要条件

C.uac2>bc2,>是“a>加'的充分条件

D.u\a\>\b\n是"a>b”的既不充分也不必要条件

7

解析：选CD.对于A,当〃=-5,b=l时，满足但是avb,所以充分性不成

立；对于B,当a=l,b=—2时，满足〃>b,但是02Vb2,所以必要性不成立；对于C,由

〃c2>bc2得cWO,则有a>b成立，即充分性成立，故正确；对于D,当〃=—5,b=l时，1。1>心1

成立，但是avb,所以充分性不成立，当〃=1,。=一2时，满足少汕，但是㈤〈心，所以必

要性也不成立，故"㈤>肘'是、>兄的既不充分也不必要条件.故选CD.

8.(多选)(2021•预测)下列命题说法错误的是()

A.三元o^R,ev()WO

B.VxWR,2r>X2

C.”+b=0的充要条件是£=-1

D.若x,yWR,且x+y>2,则x,y中至少有一个大于1

解析：选ABC.根据指数函数的性质可得e»0,故A错误：x=2时，2>解不成立，

故B错误；当a=b=O时，/殳有意义，故C错误；因为“x+y>2,则x,y中至少有一个

大于1”的逆否命题为“x,y都小于等于1,则x+yW2”，是真命题，所以原命题为真命

题，故选ABC.

9.若命题P的否定是“Wxe(o,+8),，则命题P可写为

解析：因为P是「P的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可.

答案：3xoG(0>+°°),\[x0^x0+1

10.在△ABC中，“4=8”是“tan4=tan8”的条件.

解析：由A—B,得tanA=tanB,反之，若tanA=tanB,则A—B+kn,kGZ.因为0<4<n,

0<B<n,所以A=B,故"A=8"是"tanA=tan8”的充要条件.

答案：充要

11.条件p：x>a,条件q：x22.

(1)若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是；

(2)若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是.

解析：设厶=口k>4},B={xLr扌2},

(1)因为p是g的充分不必要条件，

所以AB,所以aN2;

(2)因为p是g的必要不充分条件，

所以84,所以"2.

答案:(1)[2,+8)(2)(—8,2)

12.已知集合4={xla-2<r<a+2},8={xLrW-2或x24},则的充要条件是

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他+2W4,

解析：AC1B=0^、<=>0WaW2.

a—2^—2

答案：[0,2]

[综合题组练]

1.（2020•辽宁丹东质量测试（一））已知x,yGR,则“x+yWl”是“xW；且的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件