华师一附中2024届高三《平面向量》 补充作业15 试卷带答案

华师一附中一轮复习补充作业15 π 1.如图，在ΔABC中，ZBAC=3,AD=2DB,P为CD上一点，且满足2.在ΔABC中，AC=6,BC=8,ZC=90,P为ΔABC所在的平面内的动点，且PC=1,则.的取值范围是.3.已知等边三角形ΔABC的边长为2，点P是该三角形外接圆上的动点，则------------PA.PB+PB.------------4．“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。“太极和八卦组合了太极八卦图(如图1).某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O为是正八边形的中心，MN是圆O的一条直径，且正八边形ABCDEFGH内切圆的半径为2+2,|AB|=|MN|=4.若点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则PM.PN的取值范围是5.设正四面体ABCD的棱长为a，E,F分别是BC，AD的中点，则AE.AF的值为 36.已知ΔABC是边长2的等边三角形，点D,E分别是AB,BC上的点，且AD= 3AB，23BE23BC,连接D、E并延长到点F，使DE=EF.则AF.BC的值为7.已知单位向量a、b满足a-b=2，则a在b方向上的投影向量为是.满足ΔABC满足AB=2，ZC=60且O为ΔABC的外接圆圆心，若2λ-μ,则2λ-μ,则的取值范围为.c10.若平面向量a,b,c满足c=1,a.c=1,b.c=3,a.b=2，则33交线段AB，AC于D,E,且AD=λAB,AE=μAC,则λ+μ的取值范围是值为cλb(λER)的最小值为2动点P,M满足AP=1,PM=MC，则BM的最大值是15.P为ΔABC内任意一点，角A,B,C的对边分别为a,b,c，总有等式SΔPBCPA+SΔPACPB+SΔPABPC=0成立，下列命题：①若P是ΔABC的重心，则有AP=AB+ACSΔABP:SΔABC=2:5；④若P一a的最大值为a的最大值为17.设向量,,满足a=b22c,c,的最大值为18.（多选）在ΔABC中，ZABCAC=5，F是AC的中点，则下列说法正确的是A.若BC=3，点D在线段BC的延长线上，则AB.AD=16———一———一———25C.若点P在线段AC上，则BP.AP的值可以是—25 D.若E是线段AB上一动点，则EA.EB+EF 19.（多选）直角ΔABC中，斜边AB=2，p为ΔABC所在平面内一点，AP=sin2θ.AB+cos2θ.AC（其中θER则()B.点P经过ΔABC的外心A.B.点P经过ΔABC的外心C.点P的轨迹的长度为2D.PC.(PA+PB)的取值范围是-,020.（多选）已知p为ΔABC所在平面内一点，则下列命题正确的是()A.若P为ΔABC的重心，AB.AC=2，则AP.AB=2B.B.若P为锐角ΔABC的外心，AP=xAB+yAC且x+2y=1，则AB=BCλeR),则点P的轨迹经过ΔABC的重心D.若AP=|ABcosB+2|AB+|ACcosC+2|AC,,则点P的轨迹经过ΔABC的内心（)（)()(),若CM与线段AB交于点P，且满足322.已知在ΔABC中，AB=AC=4,BC=4，设点P满足：AP=λAC，若AB.BP=-22，则λ=.23.在ΔABC中，D,E分别是线段AB,BC上的点，且AD=3DB,BE=BC，若24.已知P是半径为圆心角为的一段圆弧AB上的一点，若AC=2CB，则PC.PA的取值范围是.25.已知在直角三角形ABC中，ZA=90。,AB=2AC=4，点P在以A为圆心且与BC相切的圆上，则PB.PC的最大值为.26.已知AB=(2,3),AC=(3,t),BC=1，则AB在AC方向上的投影向量为.27.在ΔABC中，AC=2BC=6，ZACB为钝角，M,N是边AB上的两个动点，且MN=1，若CM.CN的最小值为，则cosZACB=.28.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知HE=2EB,M为线段AB的中点，设P为中间小正方形EFGH内一点（不含边界）.若MP=λME一MB，则λ的取值范围为.,点F为线29.在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且,点F为线段BD上的一动点（包含端点若CF=λCE+μBA(λ,μeR)，则的取值范围为. + +2的最小值为.31.已知圆C1:x2+y2=9;C2:x2+y2=4,定点P(1,0),动点A,B分别在圆C1,C2上运动且满足ZAPB=90o，则线段AB的取值范围为.32.已知ΔABC是圆心为O，半径为R的圆的内接三角形，M是圆O上一点，G是ΔABC 222的重心，若OMLOG，则AM+33.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点O,G,H分别为任意ΔABC的外心、重心、垂心，若AB=4则下列各式不正确的是()A.C.34.在△ABC中，A=,O为△ABC的重心,若AO.AB=AO.AC=2,则△ABC的外接圆的半径为.35.设O为△ABC的内心，AB=AC=5,BC=8,AO=mAB+nBC(m,neR)，则36.设O为△ABC的外心，若AO=AB+2AC，则sinZBAC的值为.37.在△ABC中，点O、点H分别为△ABC的外心和垂心，AB=5,AC=3，则OH.BC=。38.在△ABC中，ZABC=，O为△ABC的外心，.=2,.=4，则------BA.BC=。__________39.△ABC是边长为1的正三角形，点P1、P2、P3四等分线段BC。------------.AP----------2……Qk……Qn1是线段BC的n等分点，AQk=μAB+(1μ)AC，其-------------------------------------------------- ;------（3）P为边BC上一动点，当PA.PC取最小值时，则AP的长为。SΔABC=2c2sinA，点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于G，且 ΔAEF=AG.EF，则λ的最小值为.41.在锐角ΔABC中，cosB=，点O为ΔABC的外心.（1）若BO=xBA+yBC，则x+y的最大值为 22OCOCAM线段EF上，且AM=xAB+AD，则=；若点N为线段BD上一AM个动点，则AN.MN的最小值为.一轮复习补充作业17：平面向量参考答案1．设CP=λCD，则AP=AC+CP=AC+λCD=AC+λ(AB−AC)=3|λ=4|λ=4一m=23AC23AC所以△ADC为等边三角形，所以经ACDπ,3342方法一）极化恒等式，简单（方法二）由已知，以C为坐标原点，分别以CB，CA为x轴，y轴的正方向，建立平面直角坐标系，则C(0,0)，B(8,0)，A(0,6)，设P(x,y)，由PC=1可知，x2+y2=1(x>0,y>0)，PA=(−x,6−y)，PB=(8−x,−y)，所以PA.PB=x2+y2−8x−6y=1−8x−6y，因为x2+y2=1，可令x=cosθ,y=sinθ,所以PA.PB=1−8x−6y=1−8cosθ−6sinθ=1−10sin(θ+Q)，其中sinQ=,cosQ=，3．以ABC外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图，因为等边ABC的边长为2，则=2r牵r=2，设A(2,0)，B(−1,3)，C(−1,−)，P(2cosa,2sina)，则PA=(2−2cosa,−2sina)，PB=(−1−2cosa,−2sina)，PC=(−1−2cosa,−−2sina)，所以PA.PB=(2−2cosa,−2sina).(−1−2cosa,−2sina)=2−2sina−2cosa，PA.PC=(2−2cosa,−2sina).(−1−2cosa,−−2sina)=2−2cosa+2sina，所以PA.PB+PA.PC=4−4cosa，因为−1<cosa<1，所以−4<4cosa<4，AF=ADAF=AD又正四面体ABCD的棱长都为aAB,AD=AC,AD=60，2：AE.AF=(AB+AC)根AD=(AB.AD+AC.AD)=(a2cos60。+a2cos60。)26．由AD=AB，BE=BC，得DE=AC，又DE=EF，则DF=AC，又AF=AD+DF=AB+AC，BC=AC−AB，=−2?2?−×232+=−2?2?−×232+?(2)2=6则AF.BC=|（3AB+3AC)|.AC−AB=−AB.AC−3AB+3AC则2222a27．因为a,b,故22得bb34348．由题意a.42225a+b2225a+b,,如图示，设 (→→)(→→)2222→c,最小值为,即8228则以AB为直径的圆的方程为(x−11)2+(y−)222sinCsin60。可得cosAOB|OA||||||AB|2,又因为AOB(0,180),所以2222OC−4λμ,即λ2+μ2−λμ=1，所以(μ−λ)2+(λ)2=1，设〈λ=−sina，可得22μ−=−co|λ=−3sina(−1<λ<0|lμ=−cosa−3sina|设sinm,cosn，则有〈，所以2λ−μ=−sina+cosa=mn2mnm2,1，所以2λ−μ(2,1):acosa,c=1，bcosb,c=3，即a在c上的投影为1，b在c影为3，:A(1,m)，B(3,n)，如图(2)244222)91「ππ)1「ππ)322sinA3设AO=xAB+yAC，则BO=BA+AO=(x−1)AB+yAC，CO=CA+AO=xAB+(y−1)AC，AOAO7373,同理可得9(x−1)2+4y2+6(x−1)y=7,39λ6μ9λ6μAE=μAC，所以AO=.AD+.AE，因为D,O,E三点共线，可得+=9λ6μ9λ6μ9λ6μμ3μ15λ+μ=(λ+μ).(4+1)=11+λ+4μ,设t=λe[8,10]，可得λ+μ=11+t+4，令9λ6μ186μ9λμ1531869t g()>g()，所以当t=时，λ+μ取得最大值，最大值为，所以λ+μ的取值范围是|,|12．建立如图所示直角坐标系，由题意可设OA=a=(2,0),OBOC=c=(x,y)，则c−a=(x−2,y)=AC,c−a−b=(x−2,y−2)，c−b=(x,y−2)=BC，由|c−a−b|=1得(x−2)2+(y−2)2=1，故C在以D(2,2)为圆心，半径为1的圆上，(3)DEDC(3),又经CDE=经ADC，∴DCDA,又经CDE=经ADC，∴DCDA2,所以1222,所以,所以1222,所以,即,则点P的轨迹是以C为圆SABC,SAPC=,即EDC~CDA.|c−a|+2|c−b|=AC+2BC=2EC+BC之2EB=22−02+−22=17.11 2πab,因为,所以,所以1 2πab,因为,所以,所以a,bE[0,π]ab1,3,,minmin14．由题意知|DA|=|DB|=|DC|，即点D到A,B,C三点的距离相等，可得D为ABC的外心，又由DA.DB=DB.DC=DC.DA=−2,所以DA⊥AC，,可得DA.DB−DB又由DA.DB=DB.DC=DC.DA=−2,所以DA⊥AC，同理可得DA⊥BC,同理可得DA⊥BC,DC⊥AB，所以D为ABC为正三角形，且D为为正三角形，且D为ABCABC22,解得DA.DB=DADBDA所以ABC2的正三角形，如图所示，以A为原点建立直角坐标所以ABC,可得设P(cosθ,sinθ)，其中,可得设P(cosθ,sinθ)，其中,又因为PM=MC,即M为PC的中点，可得,又因为PM=MC,即M为PC的中点，可得θE[0,2π]BM23+cosθ2+sinθ23+cosθ2+sinθ2444BM249415．对于①：如图所示：因为D、E、F分别为CA、AB、BC的中点，所以CP=2PE, SABC，同理可得SAPB=SABC、SBPC=SABC，所以S△PBC=S△PAC=S△PAB，又因为S△PBCPA+S△PACPB+S△PABPC=0所以−SPBC−SPAC+SPAB=0lSPAC=2SPAB−SPBC−SPAC+SPAB=0lSPAC=2SPABS△PBC=2a.h2,S△PAC=2b.h3,S△PAB=2c.h1，因为S△PBCPA+S△PACPB+S△PABPC=0，则 所以h1=h2=h3，所以点P是AB, ,,PB=PA+AB=AB−AC, 24C,(21)(31)(24)△PAB(232)(114)|−5SPBC+5SPACPAB222222(π)π2(m=cosc ln=sinc(π)π2(m=cosc ln=sinc<c+:A、O、B、C四点共圆，当|c|最大时，有|c|=OC=2R，R为该圆的半径，（2)2|（2)2|μ|22当且仅当OC是经AOB的平分线时，取等号，此时|c|的最大值为圆的直径大小为2.221(1)(1λ)1(1)(1λ)(1λμ(1 BP.AP=(λ−1)AB+λBC.λ(AB+BC)=(λ−1)λAB2+λ2BC2，λ2AC2−λAB2=25λ2−λAB2，当444λ4λ4λ444λ4λ4λ选项D：设AE=λAB，λ=[0,1]，则EA.EB=λ(1−λ)AB2，因为EF=EA+AF=−λAB+BC 2(1)2212「(1)21]225225 2(1)2212「(1)21]225225若O为AB中点，则AO=AB，故AP=sin2θ.AO+cos2θ.AC，又sin2θ+cos2θ=1，所以O,P,C共线，故P在线段OC上，轨迹长为1，又O是,所以A,P,E三点共线，即点P在边BC的中线上，故点P的轨迹经过ABC的重心，正AB,所以A,P,E三点共线，即点P在边BC的中线上，故点P的轨迹经过ABC的重心，正AB对于B选项，因为AP=xAB+yAC且x+2y=1，所以AP=(1−2y)AB+yAC，整理得：AP−AB=y(AC−2AB)，即BP=y(BC+BA)，设D为AC中点，则BP=2yBD，所以B,P,D三点共线，又因为PD⊥AC，所以BD垂直平分ACAB得ACsinC得ACsinC=ABsinB，sinBsinC)ABAB)ABABsinBλABsinBλABsinB，设BC中点为E，则AB+AC=2AE，所以ACsinC)|( ()()((设BC中点为E，则AB+AC=2AE，所以AB 所以AP.BC=ABcosBAB.BC+ACcosCAC.BC+AE.BC=−BC+BC+AE.BC=AE.BC，所以AP.BC−AE.BC=0，即(AP−AE).BC=0，所以|x=λ1−2CMy=λ22=1，因为CM=λ1CA+λCMy=λ2有(λ−1λ2)2+(λ2)2=1，2=λABAC.cos120−AB即λ(λ+λ2)2−1(λ1+λ2)2 3<4,解得0<λ1+λ2<2，当且仅当λ2(1)34解得λ=34解得λ=BE=BC, 如图所示，建立平面直角坐标系，则P 1(1)(1)(1)(3)(1)(3)则PB.PC=(PD+DB).(PD+DC)=PD2−BC2=|PD|2−5，在AC在ACAB,所以AB在ACAC(55)3,3(55)3,3(55),故答案为：,故答案为：ACAC27．取线段MN的中点P，连接CP，过22−CM.CN=(CP+PM).(CP−PM)=CP−PM=CP−,因CM.CN的最小值为，则|CP|的最小在RtBOCsin经OCB=，cos经ACB=在RtBOC1−2=cos经OCAcos经OCB−sin经OCAsin经OCB=1?1−2×=1−2．故答案为：1−228．过点A作AK∥ME，分别交EH,EF于点N,K，过点N作NQ∥AB，交ME的延长线于点Q，过点K作KL∥AB，交ME的延长线于点L，如图，由MP=λME−MB=λME+MA，可知，点P在线段NK上知λ=2.当点P与点K重合时，MP=ML+MA=4ME+MA，可知λ=4.故29．由CF=λCE+μBA=λ(CB+BE)+μBA=λCB+BA+μBA=λCB+λ+μCD，所以λ+μ=1且0≤λ≤1，结合目标式有μ=1−λe[−,0)不(0,1]，f(μ)=+，0,2−4上递减，在[2−4,1]上递增，当μE−,0时f(μ)E(−m,−3]，当μE(0,1]时2cosθ22,因为θE[0,π]，所以θ=π3,在OAB中，由余弦定理得（2))2])2(2「(+−222)2])2(2「(+−22222)22(21)2(21)222222+2AG.OM2+2AG.OM,则GO.OM=0CM2+2CG.OM2CM2+2CG.OM223=会23=会2353OB22353OB22ππ3,所以△ABC为等边三角形.因为AO.AB=AB+AC).AB=AB2+AB2=2，所以AB=2.因为2,所以△ABC外接圆的半径为35.取BC中点D，连接AD，作OE⊥AB，垂足分别为E，AB=ACAD为经BAC的角平分线OeAD；BC=44545,则tan经BAD=； 2，：2S244 L183r,AD=AB+BD=AB+BC5959m：AO=AD=AB+BCm36.设ABC外接圆的半径为R，因为AO=AB+2AC，所以2AC=AO−AB=BO，所以AC=BO=R，且AC//BO，取AC的中点M，连接OM，则OM⊥AC=BO=因为AC//BO，所以OM⊥BO，即经BOM=，所以222(1)222(1) RBC22R2R 44由余弦定理得AB2=AO2+OB2−2AO.OB.cosA=r2+r2−2r2.cosA=2r2−2r.同理AC2=AO2+OC2−2AOOC.cosA=r2+r2−2r2.cosB=2r2−2r2.cosB，...38.如图，设AB,BC的中点为D,E，连接OD,OE,则OD⊥12故BA.BC=|BA|.|BC|cos经BAC=2x212ab12cos12cos,因为P1、P3为线段BC的四等分点，=AB+BC=a+b−a)=a+b，同理可得AP3=a+b，.AP44442225=(15a+14a.b+3b)=.AB+AC+AQ1+AQ2021+...+AQ2021=2023AB+AC=2023a+b,222023212整理得(λ−1)(λ−1)a2−(2λ−1)a.b+λb2=λ2−λ+12(3)234当λ34214x+yt+214x+yt+4t+433 44401）由S=bcsinA=2c2sinAb=4，∵D为BC的中点AD=(AB+AC)，12AD.AB=(AB+AC).AB=12777,AB.ADxABxAD =牵7217 217,解得cos经BAC=1,2xyxxyxx=,设AG=μAE+(1−μ)AF，设AE=xxyxxyxx=,设AG=μAE+(1−μ)AF，AG=λAD=λAB+λAC=μxAB+y(1−μ)AC，则〈=μx224|λ=y(1−μ),解得μ= y4x,解得μ=, y4x(y4x)故AG=AE+AFAG.4x+y4x+y（4x+y4x+y)=AF2−AE2+AE.AF= xy−3x 4x+yAG.EFxy2(3y−2x)y:λ==2=2(3−)之:λ==2=2(3−)之，当且仅当t=2时取等号，所以λ的最小值为.21−x−y>0,x+y<1,x>0,y>0，则(1−x−y)2=x2+y2−xy，整理得3xy=2(x+y)−1，又x(x+y)24,则sin2A.OA+sinsin2A.OA+sin2C.OC=sin2A+sin2C+2sin2Asin2Ccos322(4π)(4π)2(1)(1)222A+sin2Acos2A−1sin22A+3cos22A+1sin22A−sin2Acos2A=3则